f?(cosx)?cos2x?2cos2x?1，

于是

f?(x)?2x2?1，其中|x|?1．

所以f??(x)?4x，|x|?1．

注 本题作变换t?cosx，则要求|t|?1．故在最后需指明是f??(x)的定义域． {x|?1?x?1}例22 设y?sinf(x)且

2d2yf有二阶导数．求2dx．

解 y?=cosf(x2)?f?(x2)?2x=2x?f?(x2)?cosf(x2)，

y??=2f?(x2)?cosf(x2)?2x?f??(x2)?2x?cosf(x2)?2x?f?(x2)?[?sinf(x2)]?f?(x2)?2x

=2f?(x2)?cosf(x2)?4x2?f??(x2)?cosf(x2)?4x2?[f?(x2)]2?sinf(x2)． 例23 已知函数f(x)具有任意阶导数且f?(x)?[f(x)]2．则当n为大于2的正整数时f(n)(x)是（ ）．

A．n?[f(x)]n?1． B．n!?[f(x)]n?1． C．[f(x)]2n． D．n!?[f(x)]2n．

分析 已知f?(x)?[f(x)]2．应求出f??(x)，f(3)(x)，．用数学归纳法推出n阶导数．

解 当n?2时，f?(x)?[f(x)]2，f??(x)=2f(x)?f?(x)=2?[f(x)]3，以及

f(3)(x)=2?3?[f(x)]2?f?(x)=1?2?3?[f(x)]4=3!?[f(x)]4，， f(n)(x)=(n?1)!?[fn(x)]?=n!?[f(x)]n?1?f'(x)=n!?[f(x)]n?1．故选

B．

例24 设f(x)?3x3?x2|x|，则使f(n)(0)存在的最高阶数n为（ ）．

A．0． B．1． C．2． D．3． 解 逐阶计算导数来验证，记f1(x)?3x3，易见f1(n)(0)都存在，再记f2(x)?x2|x|，则由求导公式和定义，有

3?? x?03x2, x?06x, x?0?x，?f2(x)??3， f2?(x)??2，f2??(x)??, ??6x, x?0 x?0?????x，??3x, x?0即f??(x)?6|x|，则有f?(0)?f??(0)?0．由|x|在x?0不可导，知f2(3)(0)不

222再存在，即n?2，选C．

例25 设y?sin2x．求y(100)(0)．

分析 求函数的高阶导数一般先求一阶导数，再求二阶，

三阶，．．．，找出n阶导数的规律，然后用数学归纳法加以证明．或者是通过恒等变形或者变量代换，将要求高阶导数的函数转换成一些高阶导数公式已知的函数或者是一些容易求高阶导数的形式．用这种方法要求记住内容提要中所给出的一些常见函数的高阶导数公式． 解法1 y=sin2x=1?1cos2x．则

22y??sin2x， y???2cos2x， y(3)??22?sin2x， y(4)??23?cos2x， y(5)?24?sin2x，

， y(100)??299?cos2x，

故y(100)(0)=?299．

解法

2 利用公式

(sinkx)(n)=

kn?sin(kx?k?)2．由

，得y??2sixn?cxosx

y(100)(x)=299?sin(2x?

99?)， 2故y(100)(0)=?299．

解法3 利用幂级数展开式f(n)(x0)?an?n!．

y?sin2x=

111111?cos2x=?[1?2x?(2x)2?22222!4!?1(2x)100?100!?]，

故y(100)(0)=?299．

注 解法3用到了幂级数展开式，这是第十章无穷级数的内容．

例26 设y?ln(x2?3x?2)．求y(50)． 分析 先求出y??2x?3，若继续求导，将很难归纳出n阶

x2?3x?2导数的表达式．此类有理分式函数，常常是将其分解为部分分式之和，再使用已有的公式．

解 由于y??y(50)?(1(49))x?12x?311，则 ??x2?3x?2x?1x?249!49!1(49)(?1)49?49!(?1)49?49!?=???()=

(x?1)50(x?2)50(x?1)50(x?2)50x?2dx．

例27 设函数y?y(x)由方程ex?y?cos(xy)?0确定，求dy. 分析 由方程F(x,y)?0确定的隐函数的求导通常有两种方

法，一是只需将方程中的y看作中间变量，在F(x,y)?0两边同时对x求导，然后将y?解出即可；二是利用微分形式不变性，方程两边对变量求微分，解出dy，则dx前的函数即为所求．

解法1 在方程两边同时对x求导，有

ex?y(1?y?)?sin(xy)(y?xy?)?0，

所以

ysin(xy)?ex?yy??x?y． e?xsin(xy)

解法2 在方程ex?y?cos(xy)?0两边求微分，得

dex?y?dcos(xy)?0，

即ex?y(dx?dy)?sin(xy)(xdy?ydx)?0，从而

ysin(xy)?ex?ydy?x?ydx，所以 e?xsin(xy)ysin(xy)?ex?y． y??x?ye?xsin(xy)例28 设函数y?f(x)由方程y?1?xexy所确定．求y?|x?0， y??|x?0．解 将x?0代入方程y?1?xexy，得y?1．先求y?|x?0，下面用两种解法求y?|x?0．

解法1 对方程两边关于x求导，可得

y??exy?x?exy?(y?xy?)．

将x?0，y?1代入上式中可求得y?|x?0?1．

解法2 对方程两边关于x微分得

dy?xdexy?exydx

dyexy(1?xy)即dy?xedy?xyedx?edx．化简得?．将x?0，y?1代入

dx1?x2exy2xyxyxy上式中求得y?|x?0?1．

下面求y??．对等式y??exy?x?exy?(y?xy?)两边关于x求导，得

y??=exy(y?xy?)?exy(y?xy?)?xexy(y?xy?)2?xexy(y??y??xy??)，

将x?0，y?1，y?|x?0?1代入上式解得y??|x?0?2．

注 求y??时，也可将等式

exy(1?xy)两边对x求导求得，y??1?x2exy或利用对数求导法．请读者自行完成这两种方法，并比较一