三角函数线

课标要求 1. 理解并掌握单位圆、有向线段的概念； 2. 正确利用与单位圆有关三角函数线 的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来 [来源:学科网]一、考点突破 知识点 题型 说明 三角函数线的引入，为我们解决三角函数问题提供了选择题 填空题 几何方法，体现了数形结合的思想，其主要作用是解三角不等式、比较三角函数值的大小和求函数定义域

二、重难点提示

重点：正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值。 难点：正确地用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值。

考点：有向线段与三角函数线 1. 有向线段：

坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标轴方向相反时为负。 有向线段：带有方向的线段。 【要点诠释】

有向线段的数值由其长度大小和方向来决定。如在数轴上，|OA|=3，|OB|=3

uuuruuurOA?3，OB??3

2. 三角函数线的定义：

设任意角?的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x,y)，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角?的终边或其反向延长线交于点T。

由以上四个图可以看出：

当角?的终边不在坐标轴上时，有向线段OM?x,MP?y，于是有

yyxxyMPAT??y?MP，cos????x?OM，tan?????AT r1r1xOMOA我们就分别称有向线段MP,OM,AT为正弦线、余弦线、正切线。 sin??【要点诠释】

（1）三条有向线段的位置：

正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；

正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。

（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与α的终边的交点。

（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值。

（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后。

例题1 在单位圆中画出适合下面条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合。

sin α≥

3 2思路分析：根据三角函数线，在单位圆中首先作出满足sin α＝的终边，然后由已知条件确定角α的终边范围。

答案：（1）作直线y＝

13，cos α＝－的角

223，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成2的区域（图（1）中阴影部分）即为角α的终边的范围，

故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋

2??≤α≤2kπ＋，k∈Z}；

33

技巧点拨：

利用单位圆解三角不等式（组）的一般步骤： ①用边界值定出角的终边位置； ②根据不等式（组）定出角的范围； ③求交集，找单位圆中公共的部分； ④写出角的表达式。

例题2 利用三角函数线比较下列各组数的大小： （1）sin

2?4?2?4?2?4?与sin；（2）tan与tan；（3）cos与cos。 353535思路分析：观察发现题中涉及的角并非都是特殊角，故求值比较大小行不通，可以画出三角函数线比较大小。

答案：

2?4?2?4?与的正弦线、余弦线、正切线，sin＝M1P1，sin＝M2P2， 35352?4?2?4?tan＝AT1，tan＝AT2，cos＝OM1，cos＝OM2，

3535如图，画出角

由图形观察可得：M1P1＞M2P2，AT1＜AT2，OM1＞OM2， ∴（1）sin

2?4?2?4?2?4?＞sin；（2）tan＜tan；（3）cos＞cos。 353535技巧点拨：利用三角函数线比较三角函数值的大小，是三角函数的一个重要应用，也是

典型的数形结合思想的应用。

利用三角函数线求复合函数的定义域

求函数的定义域就是要求出使函数有意义的自变量的取值集合。对于复合函数，应使得内层、外层函数及函数的和、差都有意义。利用简单函数的定义域或三角函数线求含有三角函数的复合函数的定义域是常见问题。应当熟悉各种类型的函数对自变量的要求，如分式、无理式、对数式等有意义的条件等。三角函数线是用几何方法来表示数，是利用数形结合思想解决有关问题的有力工具。 【满分训练】

4sinx)的定义域； （1）求函数y＝lg(3－211?lg(?cosx)的定义域。 224sin2x?0的x的范围，用三角函数线求解； 思路分析：（1）求定义域，就是求使3－11（2）求定义域即求满足sinx?和cosx?的公共部分。

22（2）求函数y?sinx?答案：（1）∵3－4sin2x>0， ∴sin2x<

3， 4