诱导公式

一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明

1. 能借助单位圆中的三角函数线推导诱导公式二，并由此探究相关的其他诱导公诱导公式 式； 2. 诱导公式与同角三角函数基本关系式的综合运用； 3. 各种诱导公式的特征 选择题[来源:Zxxk.Com]诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳 转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式。这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大的意义 填空题 二、重难点提示

重点：诱导公式的探究，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明，提高对数学内部联系的认识。

难点：发现圆的几何性质（特别是对称性）与三角函数性质的联系，特别是直角坐标系内关于直线y＝x对称的点的性质与（

?±α）的诱导公式的关系。 2

π＋α[来源:学_科_网]考点一：角的对称 角 2kπ＋α（k∈Z） －α 图示 与角α终边的关系 角 相同 π－α 关于原点对称 关于x轴对称 [来源:学*科*网]?－α 2?＋α 2

图示 与角α终边的关系 关于y轴 对称 关于直线y＝x 对称 考点二：诱导公式 组数 角 正弦 余弦 正切 口诀 【核心归纳】

1. 诱导公式的作用是将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值，使用过程中的关键：一是符号问题，二是函数名称问题。要熟记口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指握。

2. 诱导公式是一个有机的整体，解题时要根据角的特征，选取适当的公式进行化简计算，对形如nπ±α型的角，要注意对n进行讨论。

3. 由诱导公式可以看出，在三角函数中，角和三角函数值之间是多值对应关系，一个角对应一个三角函数值，而一个三角函数值则对应多个角。

【规律总结】

1. 利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐. 特别注意函数名称和符号的确定. 2. 注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化. 技巧点拨：注意整体思想的使用。

一 2kπ＋α （k∈Z） sinα cosα tanα 二 π＋α －sinα －cosα 三 －α －sinα cosα －tanα 四 π－α sinα －cosα －tanα 五 六[来源学科网ZXXK] ?－α 2cosα sinα ?＋α 2cosα －sinα tanα 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 ?的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化，并在解题过程中去理解和掌2

例题1 （利用诱导公式求值） 计算：（1）sin（－

31?10?）－cos（－）； 63（2）7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°； （3）cos（－120°）sin（－150°）＋tan 855°。

思路分析：利用诱导公式将负角、大角的三角函数转化为锐角的三角函数。 答案：（1）原式＝－sin（4π＋＝sin

7?4???）－cos（2π＋）＝－sin（π＋）－cos（π＋）6363??11＋cos＝＋＝1； 6322（2）原式＝7cos（180°＋90°）＋3sin（180°＋90°）＋tan（2×360°＋45°）＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°＝0－3＋1＝－2；

（3）原式＝cos 120°（－sin 150°）＋tan 855°＝－cos（180°－60°）sin（180°－30°）＋tan（135°＋2×360°）＝－（－cos 60°）sin 30°＋tan 135°＝－（－cos 60°）sin 30°＋tan（180°－45°）＝－（－cos 60°）sin 30°－tan 45°＝

技巧点拨：

1. 对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三化为正角的三角函数，若化了以后的正角大于360°，再利用诱导公式一，化为0°到360°间的角的三角函数，若这时角是90°到180°间的角，再利用180°－α的诱导公式化为0°～90°间的角的三角函数；若这时角是180°～270°间的角，则用180°＋α的诱导公式化为0°～90°间的角的三角函数；若这时角是270°～360°间的角，则利用360°－α的诱导公式化为0°～90°间的角的三角函数。

2. 求已知角三角函数值时，一般先把负角化为正角，再化为0～2π范围内的三角函数，最后化成0～

例题2 （利用诱导公式化简三角函数式） 化简下列各式： （1）

113×－1＝－。 224?范围内的三角函数求值。 2sin(540???)?cos(??)；

tan(??180?)cos(??4?)?cos2(???)?sin2(??3?)（2）。 2sin(??4?)sin(5???)cos(????)思路分析：将式中各三角函数中的角构造成诱导公式中需要的形式进行化简，将角统一然后再运用同角基本关系式化简。

答案：（1）原式＝＝

sin[360??(180???)]?cos?sin(180???)]?cos?＝

?tan(180???)tan??sin?cos?＝－cos2 α；

sin?cos?cos??(?cos?)2?sin2(???)（2）原式＝

sin??sin(???)cos2(???)cos??cos2??(?sin?)2＝ 2sin??(?sin?)?(?cos?)cos3?sin2?＝＝－cos θ。 ?sin2??cos2?技巧点拨：

1. 进行三角函数式化简时：一是注意化异角为同角、化异名为同名、化异次为齐次即化异为同是关键；二是对“切弦混合”问题，一般作“切化弦”处理。

2. 化简结果要求是：角尽量少，函数名尽量少，函数次数尽量低，尽量不含分母，若必须有分母时分母中尽量不含根式等。

转化与化归思想在求三角函数值中的应用

2?【满分训练】已知sin（π－α）－cos（π＋α）＝ （<α<π）。

32求：（1）sin α－cos α；

（2）sin3（2π－α）＋cos3（2π－α）的值。

思路分析：借助同角三角函数基本关系及立方差公式求解。 答案：（1）已知sin（π－α）－cos（π＋α）＝得：sin α＋cos α＝

2， 32， 3对上式平方得：2sin α·cos α＝－∵

7， 9?<α<π，∴sin α>0>cos α， 22故sin α－cos α＝(sin??cos?)

＝sin2??cos2??2sin?cos? ＝1?(?)＝

794； 374，cos α－sin α＝－， 183（2）由（1）得：sin α·cos α＝－

sin3（2π－α）＋cos3（2π－α）＝cos3α－sin3α. ＝（cos α－sin α）（cos2α＋sin αcos α＋sin2 α） ＝（－

2247）×（1－）＝－。

27318技巧点拨：

1. 本题体现了转化思想，解决本题可通过观察sin α＋cos α与sin α－cos α的关系及cos3α－sin3 α与cos α－sin α，sin α·cos α的关系来解，通过这种转化，使复杂的问题变得简单明了，符合处理数学问题时的简单化原则。

2. 诱导公式一～四的作用在于化任意角的三角函数为0～

?范围内的角的三角函数， 2其步骤可简记为“负化正，大化小”，充分体现了将未知化为已知的转化与化归思想。

（答题时间：40分钟）