即×1×sin B,解得sin B=.

则B=45°或B=135°.

当B=45°时,AC=AB+BC-2AB·BC·cos B=1+(

2

2

2

2

)-2×1×

2

=1,

此时AC+AB=BC,△ABC为直角三角形,不符合题意; 当B=135°时,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=12+(

)2-2×1×

=5,解得AC=

,符合题意.故选B.

222

13.(2014·四川·文T8)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于( )

A.240(C.120(

-1) m B.180(-1) m D.30(

-1) m +1) m

【答案】C

【解析】如图,作AD⊥BC,垂足为D.由题意,得DC=60×tan 60°=60DB=60×tan 15°=60×tan(45°-30°) =60×

=60×

=(120-60

)

m.

所

以

(m),

BC=DC-DB=60-(120-60)=120-120=120(-1)(m),故选C.

14.(2013·全国1·文T10)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=( )

A.10 B.9 C.8 D.5

【答案】D

【解析】由23cos2A+cos 2A=0,得cos2A=.

∴cos A=±.

∵A∈,∴cos A=.

∵cos A=,∴b=5或b=-(舍).

15.(2013·全国2·文T 4)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为

( ) A.2C.2

+2 -2

B.D.

+1 -1

【答案】B

【解析】A=π-(B+C)=,

由正弦定理得,

则a=,

∴S△ABC=absin C=×2×()×+1.

二、填空题

1.(2019·全国2·理T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则△ABC的面积为

___________. 【答案】

【解析】∵b=a+c-2accos B, ∴(2c)+c-2×2c×c×=6,

2

2

2

222

即3c=36,解得c=2∴a=2c=4

.

2

或c=-2(舍去).

∴S△ABC=acsin B=×4×2=6.

2.(2019·全国2·文T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B= . 【答案】

【解析】由正弦定理,得sin Bsin A+sin Acos B=0.∵A∈(0,π),B∈(0,π),∴sin A≠0,∴sin B+cos B=0,即tan B=-1,∴B=.

3.(2019·浙江·T14)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若∠BDC=45°,则 BD= ,cos∠ABD= . 【解析】如图所示,

设CD=x,∠DBC=α,则AD=5-x,∠ABD=-α,在△BDC中,由正弦定理得=3?sin α=.在△ABD

中,由正弦定理得=4?cos α=.由sinα+cosα=

22

=1,解得x1=-(舍

去),x2=?BD=.在△ABD中,由正弦定理得?sin∠ABD=?cos∠ABD=.

4.(2018·浙江·T13)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=B=___________,c=___________.

,b=2,A=60°,则sin

【答案】 3

【解析】由正弦定理,

可知sin B=.

∵a=>b=2,∴B为锐角.

.

∴cos B=

∴cos C=-cos(A+B)=sin Asin B-cos Acos B=.

由余弦定理,得c=a+b-2abcos C=7+4-2×2×

222

=7+4-2=9.∴c=3.

5.(2018·北京·文T 14)若△ABC的面积为(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B= ________;的取值范围

是 . 【答案】(2,+∞)

【解析】由余弦定理得cos B=,

∴a+c-b=2accos B.

又∵S=(a2+c2-b2),∴acsin B=×2accos B,

222

∴tan B=,∴∠B=.又∵∠C为钝角,

∴∠C=-∠A>,∴0<∠A<.

由正弦定理得.