精选题7 弯曲变形
1. 已知梁的弯曲刚度EI为常数，今欲使梁的挠曲线在x=l/3处出现一拐点，则比值Me1/Me2为： (A) Me1/Me2=2； (B) Me1/Me2=3； (C) Me1/Me2=1/2； (D) Me1/Me2=1/3。 答：(C)
2. 外伸梁受载荷如图示，其挠曲线的大致形状有下列(A)、(B)、(C)，(D)四种： 答：(B)
3. 简支梁受载荷并取坐标系如图示，则弯矩M、剪力FS与分布载荷q之间的关系以及挠曲线近似微分方程为：
dM?FS,(A)dxdFS?q,dxd2wM(x)?；
EIdx2dwM(x)?； 2EIdxd2wM(x)??； 2EIdxd2wM(x)??。 2EIdxF Me
A l C l/ 3 B 2Me1AxlMe2BFAaBa直线FCa(A)(B)(C)(D)(B)
dM??FS,dxdFS??q,dxdFS?q,dxdFS??q,dxq ( x ) x EI w dM??FS,(C)dxdM?FS,(D)dx答：(B)
4. 弯曲刚度为EI的悬臂梁受载荷如图示，自由端的
Fl3Mel2?挠度wB?（↓） 3EI2EI则截面C处挠度为：
M?2?F?2?F?2?Fl/3?2?(A)； (B)； ?l??e?l?（↓）?l???l?（↓）
3EI?3?2EI?3?3EI?3?2EI?3?Me?(Fl/3)?2?Me?(Fl/3)?2?F?2?F?2?(C)（↓）；(D)。 l?ll????????l?（↓）
3EI?3?2EI3EI?3?2EI?3??3?32323232答：(C)
1
5. 画出(a)、(b)、(c)三种梁的挠曲线大致形状。 答：
(a)(b)直线(c)MeMeMeMeMeMe(a)直线(b)直线 (c)直线6. 试画出图示梁的挠曲线大致形状。
MeMeaaaa答：
M
7. 正方形截面梁分别按(a)、(b)两种形式放置，则两者间的弯曲刚度关系为下列中的哪一种：
(A) (a)＞(b)； (B) (a)＜(b)； (C) (a)=(b)； (D) 不一定。 答：(C)
(a)(b)zFFxMe直线z8. 试写出图示等截面梁的位移边界条件，并定性地画出梁的挠曲线大致形状。
wFxaaa
w?0??0w左?w右w?0
??w3?。 ?=0；x=2a，w2=0，w3=0；x=a，w1=w2；x=2a，w2答：x=0, w1=0, w1
9. 试画出图示静定组合梁在集中力F作用下挠曲线的大致形状。 F 答：
直线F
2aaaa 2
10. 画出图示各梁的挠曲线大致形状。 答：
11. 作图示外伸梁的弯矩图及其挠曲线的大致形状。
2FFBl/2l/2CFAlBl(a)ClMe=FlDAlMe=FlBl(b)ClFDM xMeMxMe直线直线(a)(b)答：
MFl/4x
Al/2DFl/2挠曲线拐点12. 弯曲刚度为EI的等截面外伸梁如图示。当梁内任一纵向层总长度均不因其自重引起的弯曲而有所改变时,证明两支座间的距离应为l-2a=0.577l。
llw??提示:Δl??dx?dx?? ??00???证：
MqaqalaalqqMxx 令外伸端长度为a，内跨长度为2b，b?l?a，因对称性，由题意有： 2 3
b?wlw?a?q2?qa2??Δl???dx?M(x)dx????x?dx??0???2??dx?0EI?0EI??0?2????
wb?q2??qbx?x?dx?0??0EI?2?l 得 a3 + 3a2b -2b3 = 0 a3 + a2b + 2a2b -2b3 = 0 a2 + 2ba -2b2 = 0 a?(3?1)b b?l?a 2 a = 0.211l
即 l -2a = 0.577l 证毕。
13. 等截面悬臂梁弯曲刚度EI为已知，梁下有一曲面，方程为w = -Ax3。欲使梁变形后与该曲面密合（曲面不受力），试求梁的自由端处应施加的载荷。 解：M(x)?EIw????6EIAx FS(x) = -6EIA x=l， M = -6EIAl
F=6EIA（↑），Me=6EIAl（）
14. 变截面悬臂梁受均布载荷q作用，已知q、梁长l及弹性模量E。试求截面A的挠度wA和截面C的转角θC。 wb(x)3b0h3h?x 解：I(x)?1212lM(x)6qlEw?????x 3I(x)b0hEw???Ew??3ql2x?C 3b0hql3x?Cx?D 3b0hqAxl/3Clb(x)b0Bb(x)hl6F6Flwlx3ql32ql4由边界条件x?l,w?w??0得C? ,D??33b0hb0h8ql32ql4 wA??（↓） ， ?C?（） 33Eb0h3Eb0h
4
15. 在刚性圆柱上放置一长2R、宽b、厚h的钢板，已知钢板的弹性模量为E。试确定在铅垂载荷q作用下，钢板不与圆柱接触部分的长度l及其中之最大应力。
1ql2/2解：钢板与圆柱接触处有 ?
REIq2EI? 故 l?RqEbh3 6qRlRhMql2/2EI/REh ?? ???Wzbh2/6bh2/62R16. 弯曲刚度为EI的悬臂梁受载荷如图示，试用积分法求梁的最大挠度及其挠曲线方程。
q解：EIw???M(x)??0(l?x)3
6lq EIw???0(l?x)4?C
24l EIw??wq0Axl?q(x)?q0?1??x??l?xBq0(l?x)5?Cx?D 120lq0l3q0l4,D?? C? 24120q0q0l3q0l4q0l45(l?x)?x? EIw?? wmax??（↓） 120l2412030EI17. 图示梁的左端可以自由上下移动，但不能左右移动及转动。试用积分法求力F作用处点A下降的位移。 解：EIw???Fl?Fx C?0, EIw?Fl3D??
3Fl2F3Flx?x? 2633wFEIAlBxFl3 wA??（↓）
3EI18. 简支梁上自A至B的分布载荷q(x)=-Kx2，K为常数。试求挠曲线方程。 解：M??(x)?q??Kx2
K 二次积分 M(x)?x4?Ax?B
12wAlq(x)?kx2xEIB x=0， M=0， B=0
5
Kl3 x=l， M=0， A??
12K4Kl3x EIw???M(x)?x?1212K5Kl32x?x?C EIw??6024K6Kl33x?x?Cx?D EIw?36072 x=0， w=0， D=0
4Kl5 x=l， w=0， C??
360 w??K(x6?5l3x3?4l5x)（↓） 360EI19. 弯曲刚度为EI的悬臂梁原有微小初曲率，其方程为y=Kx3。现在梁B端作用一集中力，如图示。当F力逐渐增加时，梁缓慢向下变形，靠近固定端的一段梁将与刚性水平面接触。若作用力为F，试求： （1）梁与水平面的接触长度； （2）梁B端与水平面的垂直距离。 解：(1) 受力前C处曲率 受力后C处曲率
1?6Ka，弯矩M(a)1 = 0 ?(a)11?0，弯矩M(a)2 = -F (l - a) ?(a)2AClBF11??M(a)2?M(a)1 ?(a)2?(a)1 ?6Ka??F(l?a)Fl ? a? EIF?6EIKM(x1)1?0
?d2y?1????6K(a?x1),(2) 同理, 受力前x1截面处 2???(x1)1?dx?x?a?x1d2y11 受力后x1截面处 ?,M(x1)2??F(b?x1) 2?(x1)2dx1d2y1?F(b?x1) ?6K(a?x)?12EIdx1Fbx12Fx3??Cx1?D 积分二次 y1?3Kax?Kx?2EI6EI2131 6
C=0， D=0 b?l?a? yB?y16EIKl
F?6EIKx1?b36(EIKl)3 ?2EI(F?6EIK)qAlB20. 图示弯曲刚度为EI的两端固定梁，其挠度方程为 qx4?Ax3?Bx2?Cx?D EIw??24式中A、B、C、D为积分常数。试根据边界条件确定常数A、B、C、D，并绘制梁的剪力FS、弯矩M图。 解：x = 0，w = 0，D = 0 EIw???qx?3Ax2?2Bx?C 63ql/2FSxql/2xql2/12ql2/12 x?0,w??0,C?0 EIw????FS(x)??qx?6A
l x?,2FS?0,qlA?
12Mql2/24 x?l,ql2 w??0代入w?方程 B??245q0l421. 已知承受均布载荷q0的简支梁中点挠度为w?，则图示受三角形分布
384EI载荷作用梁中点C的挠度为wC= 。
5q0l4答：（↓）
768EIAClEIq0B22. 试用叠加法计算图示梁A点的挠度wA。 解：wA?(F/2)aF(a/2)F(a/2)a?? 3EI3EI2EI2332FCEIaaAFEIa/2a/2B13Fa3?（↓） 48EI23. 试求图示梁BC段中点的挠度。
1?(qa)a3qa(3a)3?5q(2a)4???解：w?? ??2?3EI3EI?384EI39qa4?（↓） 8EI
7
qEIAaB2aEICEI3aD24. 已知梁的弯曲刚度EI。试用叠加法求图示梁截面C的挠度wC。 解：
qqAEICl/2al/2B5ql4q(l?2a)l3q(l?2a)4q(l?2a)3?awC????EIA768EI96EI25696EIBEIaqa2(3l2?2a2) ?（↓） l/2l/296EI q/2q/2wC2 CC Cw C3=0wC1q/2q/2
q?l? FB???a?2?2?
C|w |=|w | BC2q/2
q025. 已知梁的弯曲刚度EI为常数。试用叠加法求图示梁B截面的挠度和转角。
q0Aq0l3已知:?B?24EIBq0l4wB?30EI()(?)AlBl
q0l4q0l411q0l4??解： wB?（↓） 8EI30EI120EIq0l3q0l3q0l3?? ?B?（） 6EI24EI8EI
26. 试用叠加法求图示简支梁跨度中点C的挠度。 解：
AFl/8FCl/4Fl/8BF/2l/4AEI→∞EIl/4Dl/4FCl/4EI→∞Bl/4l/4F/2l/4?F(l/2)3(Fl/8)(l/2)2??F(l/2)2(Fl/8)(l/2)wC???2???? ?48EI16EI16EI3EI???(Fl/8)(l/2)?l5Fl33Fl3l7Fl3???? ?（↓） ?6EI4768EI64EI4384EI?AFCEI→∞Dl/2l/2EIlB27. 试用叠加法求图示简支梁集中载荷作用点C的挠度。
8
解：
wB1FBl31(F/4)l3Fl3??? wC?（↓） 443EI43EI48EI
CAwBw =C4l/2FDBl/2lwB
28. 已知简支梁在均布载荷作用下跨中的挠度为
5ql4wC?，用叠加法求图示梁中点C的挠度。
384EIAq05??q0/2?l45q0l4?解： wC?（↓）
384EI768EI
q0/22q0EICl/23q0/2Bl/2
CAABB Cw C2=0wC1 3q0/2l/2l/2l/2l/2
29. 弯曲刚度为EI的悬臂梁受载荷如图示，试用叠加法求A端的转角θA。
q0x4dx 解：d?A?2EIl2q04q0l3xdx? ?A??0（）
10EI2EIl2
lx2q(x)?q02lBxlq0A30. 弯曲刚度为EI的等截面梁受载荷如图示，试用叠加法计算截面C的挠度wC。
5?(q1?q2)/2?l45(q1?q2)l4?解：wC?（↓）
384EI768EIq1Al/2Cq2Bl/2
31. 如图所示两个转子，重量分别为P1和P2，安装在刚度分别为EI1及EI2的两个轴上，支承轴是A、B、C、D四个轴承。B、C两轴承靠得极近以便于用轴套将此两轴连接在一起。如果四个轴承的高度相同，两根轴在B、C处连接时将出现“蹩劲”现象。为消除此现象可将A处轴承抬高，试求抬高的高度。 2P1?l12P2?l2解： ?B?， ?C? 16EI116EI2Al1/2A2Bl1/2P1Cl2/2P2l2/2D 点A抬高的高度为
PlP?l?l1 ?216EI116EI231122A1A1B,CD2?B?C9
32. 图示梁AB的左端固定，而右端铰支。梁的横截面高度为h，弯曲刚度为EI，线膨胀系数为?l，若梁在安装后，顶面温度为t1，底面温度为t2（t2＞t1），试求此梁的约束力。
AT1T2Bld?d2w?l(t2?t1)?2?解：因温度变化而弯曲的挠曲线微分方程为 dxdxh 由A处边界条件得 w? wBt??l(t2?t1)2hx2
?l(t2?t1)2hl2
而 wBFBFBl3? 3EI wBt?wBFB FB?3EI?l(t2?t1),MA?FBl
2hl33. 图示温度继电器中两种金属片粘结的组合梁，左端固定，右端自由。两种材料的弹性模量分别为E1与E2。线膨胀系数分别为?l1与?l2，并且?l1＞?l2。试求温度升高t℃时在B端引起的挠度。 解：?l1＞?l2，梁上凸下凹弯曲 平衡条件 FN1 = FN2 = FN M1 + M2 = FNh 变形协调 θ1 =θ2，
M1M2? E1E21N +ε1M +ε1t =ε2N +ε2M +ε2t
E1?1AE2?21B2lbhh ε1 =ε2，即ε 得
FN1FMhM2h?1??l1t?N2???l2t E1A12E1I1E2A22E2I2bh3 其中 A1 = A2 = bh，I1 = I2 =
12 则 FN1 = FN2 =
(?l1??l2)tbhE1E2(E1?E2) 22E1?E2?14E1E2(?l1??l2)tbh2E12E2 M1 =2 2E1?E2?14E1E22(?l1??l2)tbh2E1E2 M2 =2 2E1?E2?14E1E2b(?l1??l2)tE1E2l2M1l2M2l2 故 wB? ??22E1I12E2I2h(E12?E2?14E1E2)
10
34. 单位长度重量为q，弯曲刚度为EI的均匀钢条放置在刚性平面上，钢条的一端伸出水平面一小段CD，若伸出段的长度为a，试求钢条抬高水平面BC段的长度b。
qb3qa2/2b??0 解： ?B?24EI6EIABCba?? b?2a
q B bqaqCa=b2qa /2q+a
35. 图示将厚为h = 3 mm的带钢围卷在半径R = 1.2 m的刚性圆弧上，试求此时带钢所产生的最大弯曲正应力。已知钢的弹性模量E = 210 GPa，屈服极限?s= 280 MPa，为避免带钢产生塑性变形，圆弧面的半径R应不小于多少？ 解：?max?EymaxFhF??262MPa，
R?s?Eh， R = 1.12 m 2R?hq0Aq(x)36. 一悬臂梁受分布载荷作用如图示，荷载集度
q(x)?q0cosπ试用叠加原理求自由端处截面Bx，2lq0AxldF=q(x)dxB的挠度wB，梁弯曲刚度EI为常量。 解：
q0x2(3l?x)q(x)dx?x2π(3l?x)?cosxdx dwB?6EI6EI2l2q0l4(π3?24) wB??0dwB?（↑）
3π4EI
lxdxlB37. 试用叠加法求图示简支梁跨中截面C的挠度wC值，梁弯曲刚度EI为常量。
?F(2a)qaqa???a? 解：wC???A3EI8EI6EI???qa(2a)3qa4qa3??????a?
3EI8EI6EI??19qa ??（↓）
8EI
11
4343qAaDaCaqEBaAqaaDaC38. 试求图示超静定梁截面C的挠度wC值，梁弯曲刚度EI为常量。 解： 取悬臂梁为基本系统，wB = 0
F(2a)3Fa(2a)2FB(2a)3AB?? ，
2a3EI2EI3EI7F FB?（↑）
4(7F/4)(2a)3(7F/4)(2a)2F(3a)35Fa3?a??? wC?（↓）
3EI2EI3EI6EI39. 试求图示超静定梁支座约束力值，梁弯曲刚度EI为常量。 解：取悬臂梁为基本系统，wB = 0
FBl3ql4(ql/2)l3(ql2/8)l2A???
3EI8EI3EI2EIql217ql7ql（↑），FA?（↑），MA??（） FB?16161640. 试求图示超静定梁支座约束力值，梁弯曲刚度EI为常量。 解： 去C支座，取简支梁AB为基本系统
5(q0/2)l4FCl35ql? ，FC?0（↑）
384EI48EI1617q0lq0lF?F? A（↑），B（↑）
9696解： 去C支座，取简支梁AB为基本系统 5(q/2)l4FCl35ql? ，FC?（↑）
384EI48EI167qlql FB?（↑），FA?（↓）
323242. 试求图示超静定梁支座约束力值，梁弯曲刚度EI为常量。
q0Al/2Cl/2BFCaqBll/2C41. 试求图示超静定梁支座约束力值，梁弯曲刚度EI为常量。
Al/2CqBl/2qAaCaqCwC2CFCBBaa解：去C支座，取简支梁AB为基本系统
wC1qa(2a)3qa4qa319qa4A??a? wC1?
3EI8EI6EI8EIqa33F(4a)4Fa?C wC2?CA48EI3EI57qa7qa wC = 0，FC?（↑），FA?FB?（↑） 3264 利用对称性取C端固定，以AC段悬梁比拟作基本系统，wA = 0
qFA(2a)3qa2qa37qa?a??0，FA? （↑） A8EI6EI3EI64CFAw A=0 12
43. 试求图示超静定梁支座约束力值，梁弯曲刚度EI为常量。 解：去C支座，取简支梁AB为基本系统
F(2a)311Fa3Fa3Fa2?a?? wC1?（↓） A3EI2EI3EI6EIFC(4a)34FCa3? wC2?（↑）
48EI3EI11F wC = 0，FC?（↑）
85F（↑） FA?FB?16FCaFBaaa另解：因对称性，取C处固定的AC悬臂梁为基本系统，wA = 0
FA(2a)3Fa3Fa25F11F??a，FA? （↑），FC?（↑） 3EI3EI2EI168
44. 试求图示超静定梁支座约束力值，梁弯曲刚度EI为常量。 解：去A支座，以外伸梁为基本系统，wA = 0
A32Fa(Fa)aFaa?A?Aa?0
16EI3EI3EI3F11F13F FA?（↓），FB?（↑），FC?（↑）
323216
45. 试求图示超静定梁支座约束力值，梁弯曲刚度EI为常量。
解：因反对称，wC = 0
取AC段悬臂梁为基本系统，C处只有反对称内力FSC (Me/2)a2FSCa33Me?,FSC?
2EI3EI4a3MeMA FA?（↑），MA?e（）
4a43MeM FB?（↓），MB?e（）
4a4
46. 图示超静定梁A端固定，B端固结于可沿铅垂方向作微小移动，但不可转动的定向支座上。梁弯曲刚度EI为常量，试求挠度wB值。 解：去B支座，以悬臂梁AB为基本系统，θB = 0 ql3MBlql2?,MB? （） 6EIEI6(ql2/6)l2ql4ql4??? wB?（↓）
2EI8EI24EI
13
FCBa/2a/2aMeAaCaBMe/2CaFSCqAlB47. 图示超静定梁AB两端固定，弯曲刚度为EI，试求支座B下沉Δ后，梁支座B处约束力。
解： 取悬臂梁AB为基本系统，wB =Δ，θB = 0
FBl3MBl212EI???? FB? （↓） 33EI2EIl22FlMl6EI? B?B?0 MB?2（）
2EIEIl度wC?AlBΔ另解：由挠曲线反对称，内力一定是反对称，且l/2处有拐点，此处M = 0，挠
?2FSC(l/2)3?12EI??， FSC? （↓）
3EI2l312EI?l6EI? FA?（↑），M?F?2（） ASC32ll
48. 图示超静定梁AB两端固定，弯曲刚度为EI，试求支座B转动φ角后，梁支座的约束力。
解：取悬臂梁AB为基本系统，wB = 0，θB =φ
MBl2FBl36EI???0 FB?2（↑） ?2EI3EIlMBlFBl24EI????? MB? ?（） EI2EIl另解：取简支梁AB为基本系统，θA = 0，θB =φ MlMl2EI? ?A?B?0 MA?（）
3EI6EIlMAlMBl4EI????? MB? （） 6EI3EIl
49. 图示悬臂梁自由端B处与45°光滑斜面接触，设梁材料弹性模量E、横截面积A、惯性矩I及线膨胀系数αl已知，当温度升高ΔT，试求梁内最大弯矩Mmax。 解：取AB悬臂梁为基本系统
变形协调关系 wB?Δlt?ΔlN
FBl3Nl??l?ΔT?l?即 3EIEAAlB45??ABl且 N = FB ?l?ΔT3?l?ΔT?EIA3?l?ΔT?EIAl?M?Nl? N? , max1l23I?Al23I?Al2?EA3EI
14
50. 试用积分法求图示超静定梁支座约束力值，梁弯曲刚度EI为常量。
qq0w解： EIw???M(x)??MA?FAx?0x3 6lqFAB EIw???MAx?Ax2?0x4?C l224lqMF EIw??Ax2?Ax3?0x5?Cx?D
26120l x = 0，θA = 0，C = 0 x = 0，wA = 0，D = 0
FA2q04l?l?0 224lqMF x?l,wB?0,?Al2?Al3?0l5?0
26120lx x?l,?B?0,?MAl? 联立求解得
q0l23ql MA?（），FA?0（↑）
3020q0l27ql MB?（），FB?0（↑）
2020M(x)51. 梁挠曲线近似微分方程为w???，其近似性是 ，EI和 。
答：(1?w?2)?1；略去剪力对位移的影响。
52. 应用叠加原理求梁的变形及位移应满足的条件是 ，和 。 答：线弹性；小变形。
53. 梁变形中挠度和转角之间的关系为 。 答：w?(x)??(x)
54. 等截面纯弯曲梁变形的挠曲线为 曲线，其曲率与外力偶矩间关系为 。
1M答：圆；?e。
?EIq55. 图示简支梁跨中截面C的挠曲线曲率半径为 。 EI8EI?2 答：?C?MCql增大 倍。 答：15。
15
Al/2Cl/2B56. 一超静定梁受载荷如图示，当梁长l增加一倍，其余不变，则跨中挠度wC
qABAqBl2l精选题8 应力状态 强度理论
1. 图示单元体，试求 (1) 指定斜截面上的应力；
(2) 主应力大小及主平面位置，并将主平面标在单元体上。 解：(1) ???40MPa?x??y2??x??y2cos2???xsin2??76.6MPa 60?100MPa ????x??y2sin2???xcos2???32.7MPa
?3?139.35?(2)
?x??y2?max?x??y81.982??()??xy?MPa ?min?121.9822 ?1?81.98MPa，?2?0，?3??121.98MPa
?0??2?xy11200arctan()?arctan?39.35? 2?x??y240200
2. 某点应力状态如图示。试求该点的主应力。 解：取合适坐标轴令?x?25 MPa，?x??129.9 MPa 由?120??129.960?60?129.925?x??y2sin2???xycos2??0 得?y??125MPa 25(MPa)所以
?x??y2?max?x??y2??()??xy ?min2222100 ??50?75?(?129.9)??50?150? MPa
?200?1?100 MPa，?2?0，?3??200 MPa
3. 一点处两个互成45?平面上的应力如图所示，其中?未知，求该点主应力。 解：?y?150 MPa，?x??120 MPa 由 ?45????x??y2sin2???xycos2???x?1502??80
45?80MPa120MPa得 ?x??10 MPa
150MPa 16
?x??y2?max?x??y2??()??xy 所以
?min22 ?214.22?74.22y????45x??45????45? MPa
?45??1?214.22 MPa，?2?0，?3??74.22 MPa
4. 图示封闭薄壁圆筒，内径d?100 mm，壁厚t?2 mm，承受内压p?4 MPa，外力偶矩Me?0.192 kN·m。求靠圆筒内壁任一点处的主应力。
0.192?103?0.05?5.75 MPa 解：?x?π(0.1044?0.14)32tpMepd?x??50 MPa
4tpd?y??100 MPa
2t
Me?x??y2?max?x??y100.72??()??xy? MPa ?min49.3522 ?1?100.7 MPa，?2?49.35 MPa，?3??4 MPa
5. 受力体某点平面上的应力如图示，求其主应力大小。 解：取坐标轴使?x?100MPa，?x?20MPa
40 MPa120?100 MPa20 MPa????x??y2100??y2??x??y2cos2???xsin2?
??100??y2cos120??20sin120??40
得?y?43.1MPa
?x??y2?max?x??y106.332??()??xy?MPa ?min36.7722?1?106.33MPa，?2?36.77MPa，?3?0
17
6. 某点的应力状态如图示，求该点的主应力及最大切应力。 解：
20?x??y2?max?x??y2??()??xy ?min2252.1630?2022 ?MPa ?25?40?5?47.16??42.162304010(MPa)所以?1?52.2MPa，?2?10MPa，?3??42.16MPa
?max??1??32?47.2MPa
50kNB0.75may30z15030140307. 图示工字形截面梁AB，截面的惯性矩Iz?72.56?10?6 m4，求固定端截面A翼缘和腹板交界处点a的主应力和主方向。
50?103?0.75?0.07?36.17 MPa（压应力） 解：???672.56?1050?103?150?30?85?10?9???8.8 MPa
0.03?72.56?10?6?177.05??a?a?3?x??y2?max?x??y2.032??()??xy? MPa ?min?38.222?1?2.03 MPa，?2?0，?3??38.2 MPa
?2?xy11?2?8.8 ?0?arctan()?arctan?77.05?
2?x??y236.178. 图示矩形截面拉杆受轴向拉力F，若截面尺寸b、h和材料的弹性模量E，泊松比?均已知，试求杆表面45?方向线段AB的改变量?LAB解：?x?F，?y?0，?xy?0 bhAF45??？
hb???FF，???（??45?）
??2bh2bh21FFF(??)?(1?v) E2bh2bh2EbhF(1??)?2Ebh18
B所以?45?? ?LAB?AB?45??2h?2F(1??)
2Eb
9. 一边长为50 mm的正方形硬铝板处于纯剪切状态，若切应力??80 MPa，并已知材料的弹性模量E?72 GPa，泊松比??0.34。试求对角线AC的伸长量。 解：?45??80MPa，?135???80MPa
?3?145??45??1?3 (80?0.34?80)?1.48?10972?10?LAC?52
?LAC?52?1.48?10?3?0.00105 mm
10. 一变形体A四周和底边均与刚性边界光滑接触，上边受均布压力?0。已知材料的的弹性模量E，泊松比?，求竖向和水平方向上的应变和应力。 解：?y???0，?x??z，?x??z?0
?0y?x???01 [?x??(?y??z)]?0，得到?x??z???1EAx2??0?0112?2?y?[?y??(?x??z)]?[??0??()]??(1?)
EE??1E1??
11. 设地层由石灰岩组成，其密度??2.5?103 kg/m3，泊松比??0.2。计算离地面200m深处的地压应力。
解： ?y??2.5?103?9.8?200??4.9 MPa
?x??z，?x??z?0 ?x?1[?x?0.2?(?4.9??z)]?0 E?z?y200m?x得到?x??z??1.22 MPa
12. 一体积为10?10?10 mm3的立方铝块，将其放入宽为10 mm的刚性槽中。 已知铝的泊松比??0.33，求铝块的三个主应力。
6?103??60MPa, ?1?0 解： ?3??0.01?0.01F=6kN由 ?2?1(?2?0.33?60)?0 得 ?2??19.8MPa E 19
13. 直径为D的实心圆轴，受外力偶Me作用如图。测得轴表面点A与轴线成45?方向的线应变为?，试导出用Me、D、?表示的切变弹性模量G的表达式。 解：??45???， ?45????
?45?1?(1??)?，所以??2G? EdMeA45?Me又??
16Me8MeG?，所以
?D3?D3E14. 直径d?100 mm的圆轴，受轴向拉力F和力偶矩Me作用。材料的弹性模量泊松比??0.3。现测得圆轴表面的轴向线应变?0?500?10?6，45?E?200 GPa，
方向的线应变?45??400?10?6，求F和Me。 解：F?E?0?A?785 kN 设力偶矩引起的切应力为?
MeF45?MeF??45?50??，?45?50??
???45??11[(50??)?106?0.3?(50??)?106] (??45????45?)?9E200?10?6?2 ?400?10
16M ??34.6 MPa，又??3π?(0.1)?????45?? Me?6.8 kN·m
2??15. 直径d?100 mm的实心钢球，受静水压力p?42 MPa作用。求直径和体积的缩减量。设钢球的弹性模量E?210 GPa，泊松比??0.3。 解：因为?1??2??3??q??42 MPa
所以??1?2?(1?2?0.3)(?1??2??3)???3?42??0.24?10?3 3E210?101?16.8?5 ?1?[?1??(?2??3)]???8?103E210?10?得 ?V??V??0.24?10?3?()?1003??1.257?10?2 mm3
6?d??1d??8?10?5?100??8?10?3 mm
20
16. 边长a?100 mm的立方体，已知弹性模量E?200 GPa，泊松比??0.3。如将立方体沉入100 m深的水中，求其体积变化。 解：因为?1??2??3???gh??1MPa
??1?2?1?0.6?6 (?1??2??3)??(?3)??6?103E200?10bP45? ?V??V???6?10?6?0.1?0.1?0.1??6 mm3 17. 图示拉杆，b，h及材料的弹性常数E、F，
Bh?均为已知。试求线段AB的正应变和转角。 FF解：?x?，?45??135?
bh2bh!F所以?AB?(?45???135)?(1??)
E2bhEF?Fv又因为?x?，?y?
bhEbhEFvFF(1?v) 所以?AB??45??( ?)??bhEbhEbhE?????AFCdlBa18. 图示曲拐ABC在水平面内，悬臂端C处作用铅垂集中力F。在上表面E处，沿与母线成45方向贴一应变片，已测得线应变?45?，求载荷F值。已知长度l、a、直径d及材料的常数E、v。 解：应力状态如图示，??32Fl16Fa， ??33?d?d2??
?EA45??45???2??，??45????/2??所以?45??所以F?!(???v??45?) E45E?45??d3?/216l(1?v)?16a(1?v)
19. 三个弹性常数之间的关系：G?E/[2(1??)]适用于
(A)任何材料在任何变形阶段； (B)各向同性材料在任何变形阶段； (C)各向同性材料应力在比例极限范围内； (D)任何材料在弹性变形范围内。 答：C
20. 一实心均质钢球，当其外表面处迅速均匀加热，则球心O点处的应力状态。 (A)单向拉伸应力状态； (B)二向拉伸应力状态； (C)三向等值拉伸应力状态； (D)三向压缩应力状态。 答：C
21
21. 混凝土立方体试样作单向压缩试验时，若在其上、下压板面上涂有润滑剂，则试样破坏时将沿纵向剖面裂开的主要原因。
(A)最大压应力； (B)最大切应力； (C)最大伸长线应变； (D)存在横向拉应力。 答：C
22. 已知单元体的主应力为?1，?2，推证两相互垂直的截面上的正应力之和为常数 。 证：????2?1??22??1??22cos2?
?1????1??22??1??22cos2(??90?)
???????1??2?常数 得证。 23. 受内压的薄壁圆筒，已知内压为p，平均直径为D，壁厚为t，弹性常数为E、?。试确定圆筒薄壁上任一点的主应力、主应变及第三、第四强度理论的相当应力。
pDpD解：?1?，?2?，?3?0
2t4t11pDpDpD?1?(?1???2)?(??)?(2??)
EE2t4t4tE11pDpDpD?2?(?2???1)?(??)?(1?2?)
EE4t2t4tE113pD?3pD? ?3?[0??(?1??2)]?[0??]?EE4t4tEpD ?r3??1??3?2t?Dp?r4?1[(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2]?23pD 4t24. 图示正方形截面棱柱体，弹性常数E、?均为已知。试比较在下列两种情况下的相当应力?r3。 (a) 棱柱体自由受压；
(b) 棱柱体在刚性方模内受压。 解：(a) ?1??2?0，?3???
???r3??1??3??
(a)(b) 22
(b) ?3???, ?1??2?0
所以 ?1??2????(1?v)
所以 ?r3??1??3????(1?2?)???? (1??)(1??)y1m25. 图示重W?1800N的信号牌，受最大水平风力
F?400 N，立柱直径d?60 mm。试用第三强度理论计算立柱危险点处的相当应力。 解：???WM???102.68 MPa AWzFP3m??9.43 MPa ?r3??1??3?2?24??2??2?4?2?104.4 MPa
zx
26. 纯剪切状态的单元体如图，则其第三强度理论相当应力为 。 答：?r3?2?
27. 图示单元体所示的应力状态按第四强度理论，其相当应力?r4为：
(A)3?/2； (B)?/2； (C)7?/2； (D)5?/2。 答：C
28. 第三强度理论和第四强度理论的相当应力分别为?r3和?r4，对于纯剪切状态，恒有?r3/?r4? 。 答：2/3
29. 按第三强度理论计算图示单元体的相当应力?r3? 。 答：60 MPa
23
?????/220 MPa30 MPa50 MPa30. 图示单元体，第三、四强度理论的相当应力分别为
?r3? ，?r4? 。 答：?2?4?2， ?2?3?2
??31. 图示为承受气体压力p的封闭薄壁圆筒，平均直径为D，壁厚为t，气体压强p均为已知，用第三强度理论校核筒壁强度的相当应力为?r3? 。 答：?r3?pD 2tF Dtp
32. 铸铁轴向受压时，沿图示斜面破坏，试用莫尔强度理论解释该破坏面与竖直线夹角?应大于45?还是小于45?？
证：利用莫尔理论作极限莫尔圆、包络线和应力圆与单元体间的对应关系来解释。单元体上的O?O面对应于应力圆上的点
? O，以此为基准面及基准点。根据莫尔理论由极限莫尔圆得到的包络线与单向受压极限莫尔圆的交点G（即破坏点）可以观出
?GC22?< /2πOG圆弧对应的圆心角
2??π/2。由点面对应关系而知
包络线?o??45?o这时在单元体上的破裂面与竖直线间的夹角??π/4。
?OC133. 试用强度理论证明铸铁在单向压缩时的强度条件为??[??]。 证：?1?0，?3???
所以 ?1?[?][?]?????[?] 3??[?][?]??? 所以 ??[??]
24
精选题9 组合变形
1. 偏心压缩杆，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，则外力作用点到形心的距离e和中性轴到形心的距离d之间的关系有四种答案： (A) e?d； (B) e?d； (C) e越小，d越大； (D) e越大，d越大。 答：C
2. 三种受压杆件如图所示，杆1、杆2与杆3中的最大压应力（绝对值）分别为
?max1、?max2和?max3，现有下列四种答案： (A)?max1??max2??max3； (B)?max1??max2??max3； (C)?max2??max1??max3； (D)?max2??max1??max3。 答：C
2aFFF1232a2a2a3aFa3a3. 图示空心立柱，横截面外边界为正方形，内边界为圆形（二图形形心重合）。
立柱受沿图示a-a线的压力作用，该柱变形有四种答案： (A) 斜弯曲与轴向压缩的组合； (B)平面弯曲与轴向压缩的组合； (C) 斜弯曲； (D)平面弯曲。 答：B
4. 铸铁构件受力如图所示，其危险点的位置有四种答案：
(A) A点； (B) B点； (C) C点； (D) D点。 答：C
5. 图示矩形截面拉杆，中间开有深度为
BCADF2aaF1F3h的缺口，与不开口的拉杆相比，开口2h/2Fbh/2h/2处最大正应力将是不开口杆的 倍： (A) 2倍； (B) 4倍； (C) 8倍； (D) 16倍。 答：C
25
F6. 三种受压杆件如图所示，杆1、杆2与杆3中的最大压应力（绝对值）分别为
?max1、?max2和?max3，现有下列四种答案： (A)?max1??max2??max3； (B)?max1??max2??max3； (C)?max1??max3??max2； (D)?max1??max3??max2。 答：C
aaF1F2F3a/4aa/4aa/4
7. 正方形等截面立柱，受纵向压力F作用。当力F作用点由A移至B时，柱内最大压应力的比值案：
(A) 1:2； (B) 2:5； (C) 4:7； (D) 5:2。 答：C
8. 图示矩形截面偏心受压杆，其变形有下列四种答案： (A) 轴向压缩和平面弯曲的组合； (B)轴向压缩、平面弯曲和扭转的组合； (C)缩和斜弯曲的组合；
(D)轴向压缩、斜弯曲和扭转的组合。 答：C
axzOFFBAay?Amax有四种答?BmaxF9. 矩形截面梁的高度h?100mm，跨度l?1m。梁中点承受集中力F,两端受力
F1?30kN，三力均作用在纵向对称面内，a?40mm。若跨中横截面的最大正
5应力与最小正应力之比为。试求F值。 3hF1解：偏心距e??a?10mm
2FyaF1l/2l/2hb跨中截面轴力 FN?F1
26
跨中截面弯矩Mmax?F1?bhFlFl，或 Mmax?F1e?（负弯矩） ?F1e（正弯矩）
44则
?max??minF1?bhF1?bh或
?max??minF1?bhFl?F1e4bh256?，得F?1.7kN
Fl3?F1e4bh26FlF1e?42bh56?，得F?0.7kN Fl3F1e?42bh6FAChBD
10. 偏心拉伸杆受力如图所示，弹性模量为E。试求： (1) 最大拉应力和最大压应力值及其所在位置； (2) 线AB长度的改变量。 解：(1)最大拉应力在AB线上 Fb/2Fh/2F7F ?t max?2?2??hb/6hb/6bhbh最大压应力在CD线上 ?3F?3FF5F ?c max?????bhbhbhbh?l7Fl(2)长度改变量ΔAB??l? ?EbhE
lb11. 矩形截面杆尺寸如图所示，杆右侧表面受均布载荷作用，载荷集度为q,材料的弹性模量为E。试求最大拉应力及左侧表面ab长度的改变量。 qlh/2ql4ql?解：固定端截面上，?max?2?。左侧面上点， bh/6bhbhaqlbbh?x???xqxh/2qx2qx?????， x2Ebhbh/6bhlql2则 Δab???xdx??。 0bhE 27 12. 图示混凝土坝，坝高l?2m，在混凝土坝的右侧整个面积上作用着静水压力，水的质量密度?1?103kg/m3，混凝土的质量密度?2?2.2?103kg/m3。试求坝中不出现拉应力时的宽度b（设坝厚1米）。 解：危险截面在底部。水压力引起弯曲 Mmax?水l?1gl63，?tmax?Mmax?1gl?。 2Wb3自重引起偏心压缩 ?cmax?FNM???2gl。 AWb??cmax?0，得b?1.348m 由 ?tmax13. 梁AB受力如图所示,F?3kN，正方形截面的边长为100 mm。试求其最大拉应力与最大压应力。 解：危险截面在C处 2.5mCyAFB1m?t max??c max?Mmax?6.75MPa WMmaxFN??6.99MPa。 WAx1m?14. 图示截面为带圆孔的方形，其截面核心图形有图(A)、(B)、(C)、(D)四种答案： 答：B
(A)(B)(C)(D)15. 画出正三角形截面的截面核心的大致形状。 答：
16. 分别画出下列截面的截面核心的大致形状。 答：
28 截面核心17. 画出槽形截面的截面核心的大致形状。 答： zyyz18. 试求图示截面的截面核心。 解：截面核心边界点坐标 yF1iz2??0.5m， ay12iy0.5m0.2m0.5m1.0mz1mzF2?az2?0.14m 1m0.5m0.14my0.5m截面核心如图所示。 19. 等截面圆轴上安装二齿轮C与D，其直径D1?200mm，D2?300mm。轮C上的切向力F1?20kN，轮D上的切向力为F2，轴的许用应力[?]?60MPa。试用第三强度理论确定轴的直径，并画出危险点应力的单元体图。 解：根据平衡关系 F2?D1F1 D2F2zAF1C200yD1DD2B400300x危险截面在C与D之间，由 ?r3?My?Mz?T2W22?[?] 得 d?86mm。 危险点处于二向应力状态，如图所示 ??My?MzW22?T?1.6MPa。 ?52MPa，??Wp?20. 图示水平直角折杆受铅直力F作用。圆轴AB的直径d?100mm，
a?400mm，E?200GPa，??0.25。在截面D顶点K处，测得轴向线应变
?0?2.75?10?4。试求该折杆危险点的相当应力?r3。
29
解：点K， ??E?0?55MPa MDFa???又，则 F?13.5kN Wπd3/32危险截面在固定端处 FAaKCDaBa?r3?M?TW22?32(2Fa)?(Fa)πd322?123MPa 21. 手摇绞车的车轴AB的尺寸与受力如图所示，d?30mm，F?1kN，[?]?80MPa。试用最大切应力强度理论校核轴的强度。 解：危险截面在C处 ?r3?M2?T2?101MPa?[?] W400400dACBFF?轴不满足强度条件。 180F22. 图示齿轮传动轴的齿轮A上，作用有径向力Fy1?3.64kN，切向力Fz1?10kN，齿轮B上，作用有切向力Fy2?5kN，径向力Fz2?1.82kN，轴的 许用应力[?]?100MPa。试用第四强度理论确定轴的径。 解：危险截面在B左边支座处 A2M?My?Mz2 Fy1Fz1Fy2Fy1Fy2Fz1Fz2B100300300200400Fz2T?0.1Fz1?0.2Fy2 由?r4?M2?0.75T2?[?]，得d?51.9mm。 W23. 图示传动轴上，皮带拉力F1?3.9kN，F2?1.5kN，皮带轮直径D?60cm，[?]?80MPa。试用第三强度理论选择 y400800CBF2F1F1F2D250x轴的直径。 2?Mz2 解：危险截面在轮B处M?My22Az由?r3?
M?TW?[?]，得d?59.7mm。 30
24. 图示圆截面水平直角折杆，横截面直径为d，B处受铅直力F作用，材料的弹性模量为E，切变模量为G。试求支座C的反力。 解：一次超静定，解除支座C的约束。 FClll33(F?FC)lFC(l/2)22?0 由 wC???3EI3EIG?2I8F得 FC? 9?3E/GAdlFBl/2C25. 图示水平刚架，各杆横截面直径均为d，承受铅直力F1?20kN，水平力F2?10kN，铅直均布载荷q?5kN/m，[?]?160MPa。试用第四强度理论选择圆杆直径。 解：危险截面在固定端A处 2M?My?Mz2?60.5kN?m y1.5mq1.5mxAzF1C1mF2BT?20kN?m 由?r4?M2?0.75T2?[?]，得d?159mm。 Wz26. 图示圆截面水平直角折杆，直径d?150mm，l1?1.5m，l2?2.5m，力F?6kN作用在铅直面内，与z轴成??30?，许用压应力[?c]?160MPa，许用拉应力[?t]?30MPa。试求： (1)弯矩图与扭矩图； (2)危险截面的位置； (3)按第一强度理论校核强度(不计轴力和剪力的影响)。 解：(1)弯矩图与扭矩图如图所示。 (2)危险截面在固定端A处。 (3)危险点处， x2My?Mz2zAl2dyBl1?FC????W?45.27MPa， 7.5137.8T?11.77MPa， Wp?1???()2??2?48.2MPa 22?7.8M图(kN?m)T图(kN?m)?r1??1?[?t]，不满足强度条件。
31
27. 悬臂梁AB的横截面为等边三角形，形心在C点，承受均布载荷q，其作用方向及位置如图所示，该梁的变形有四种答案： (A)平面弯曲； (B)斜弯曲； (C)纯弯曲； (D)弯扭组合。 答：A
AqlBCq28. 开口薄壁管一端固定一端自由，自由端受集中力F作用，梁的横截面和力F的作用线如图所示，C为横截面形心，该梁的变形有四种答案：
(A)平面弯曲； (B)斜弯曲； (C)平面弯曲+扭转； (D)斜弯曲+扭转。 答：D
CF29. 悬臂梁的自由端受垂直于梁轴线的力F作用，力作用方向与梁横截面形状分别如图所示，则
图(a)的变形为___________________； 图(b)的变形为___________________； 图(c)的变形为___________________。 答：斜弯曲；平面弯曲；斜弯曲+扭转
长方形(a)正方形(b)(c)FFF30. 按照第三强度理论，图示杆的强度条件表达式有四种答案： (A)
FMTFMT??[?]； ?()2?4()2?[?]； (B)?AWzWpAWzWp(C)(FM2T?)?()2?[?]； AWzWpzyMFTxFM2T(D)(?)?4()2?[?]。
AWzWp答：D
31. 图示水平的直角刚架ABC，各杆横截面直径均为d?6cm，l?40cm，
a?30cm，自由端受三个分别平行于x、y与z轴ylAzCF22?4?x?[?]，得F?2.17kN 由?r3??x的力作用，材料的许用应力[?]?120MPa。试用第三强度理论确定许用载荷[F]。
解：截面A处, FN?3F, T?0.6F, Mmax?0.943F Ba3F2Fx 32
截面B处，FN?F，Mmax?1.08F。 由?max?F1.08F??[?]，得 F?2.31kN AWFzllyFl则 [F]?2.17kN。
32. 试作图示刚架的内力图（除去剪力图）。 解：
x F FlFlFl
33. 试作图示空间折杆的内力图（除去剪力图）。 x 解： z2llFlFFlFlFlF N图T图Mx、M y图M z图yqqlFql22Fl?2ql /2T图2Fl-ql2ql22F N图ql /2M x图2ql /22FlFlM y图M z图ql2 33 34. 图示圆杆的直径d?200mm，两端承受力与力偶，F?200πkN，E?200?103MPa，??0.3，[?]?170MPa。在杆表面点K处，测得线应变?45?3?10?4。试用第四强度理论校核杆的强度。 ?4F解：杆表面点K处 ?x??20MPa
πd2利用斜截面的应力公式与广义胡克定律得
MeFK45?MeF?x?(1??)?x/2?E?45?1??
则?r4??2?3?2?91.4MPa?[?]，满足强度条件。
35. 图示圆截面钢杆的直径d?20mm，承受轴向力F，力偶Me1?80N?m，
Me2?100N?m，[?]?170MPa。试用第四强度理论确定许用力[F]。
解：横截面外圆周上的点
Me1??16Me24F32Me1???，。 πd2πd3πd3lMe2F由?r4??2?3?2?[?]，得F?8.6kN。
36. 图示圆杆的直径d?100mm，长度l?1m，自由端承受水平力F1与铅直力F2、F3，F1?120kN，F2?50kN，F3?60kN，[?]?160MPa。试用第三强度理论校核杆的强度。 解：危险截面在固定端处
M?(F1d2(F3?F2)l2Fd)?[]，T?3 222lF3F2F1x??F1MT?15.3MPa ??134MPa，??WpAWz则?r3??2?4?2?137.4MPa?[?]，满足强度条件。
37. 梁的斜弯曲是两个互相垂直平面内______________________的组合，该变形最主要的特点是______________________________。 答：平面弯曲；挠曲面与弯矩作用面不重合
34
38. 矩形截面梁产生斜弯曲，某横截面尺寸与弯矩矢量方向如图所示，则中性轴与z轴所成的角度为________________。
答：arctan8?82.87?
Mb2bCzy39. 边长为a的正方形截面梁产生拉弯组合变形，内力关系为My?Mz?FNa，12则中性轴与z轴所成的角度为_______，截面形心到中性轴的距离为_______。 答：45°；
a 240. 画出图示空心截面的截面核心的大致形状。
答：
z
y
41. 画出图示正六边形截面的截面核心的大致形状。
答：
z
y
42. 画出图示T形截面的截面核心的大致形状。
答：
z
yzyzyzy 35
43. 边长为a的正方形截面，其截面核心的边界为______________形，顶点到正方形形心的距离为________________。
a答：正方；
644. 图示截面外边界为矩形，内边界为边长a的正方形，其截面核心的边界为_______形，在z轴上的截距为_______。
23答：菱；a
60
3a2azy45. 等边三角形截面的截面核心的边界为_______________形，核心边界的某个顶点和三角形截面形心的连线与该顶点对应的中性轴所成的角度为__________。 答：等边三角；90°
46. 圆截面杆受弯矩M与扭矩T作用产生弯扭组合变形，M?T。横截面上全应力值相等的点位于______________线上。 答：椭圆
47. 圆截面杆受弯矩M与扭矩T作用产生弯扭组合变形，M?T。按最大切应力强度理论，横截面上相当应力值相等的点位于______________线上。 答：椭圆
48. 矩形截面直杆发生扭转与弯曲组合变形，按照最大切应力强度理论，横截面上角点的相当应力有四种答案：
(A)?r3??； (B)?r3?2?； (C)?r3??2??2； (D)?r3??2?3?2。 （?、?分别表示该点处非零的正应力与切应力大小） 答：A
49. 圆截面直杆，轴向拉伸时轴线的伸长量为ΔL1，偏心拉伸时轴线的伸长量为
ΔL2，设两种情况的作用力相同，两个伸长量的关系有四种答案： (A)ΔL1?ΔL2； (B)ΔL1?ΔL2； (C)ΔL1?ΔL2； (D)不确定。 答：C
50. 偏心拉伸直杆中的最大拉应力必大于最大压应力。该论断正确与否？（ ） 答：非
36