导数在研究函数中的应用 单元测试
一、选择题
1．下列函数在(?∞，?∞)内为单调函数的是（ ） Ａ．y?x2?x Ｃ．y?e?x
Ｂ．y?x Ｄ．y?sinx
答案：Ｃ
2．函数y?xlnx在区间(0，1)上是（ ）
Ａ．单调增函数 Ｂ．单调减函数
?1??1?Ｃ．在?0，?上是单调减函数，在?，1?上是单调增函数
ee?????1??1?Ｄ．在?0，?上是单调增函数，在?，1?上是单调减函数
?e??e?
答案：Ｃ
3．函数f(x)?(x?2)2(x?1)3的极大值点是（ ）
4Ａ．x??
5
答案：Ｄ
Ｂ．x?1 Ｃ．x??1 Ｄ．x??2
4．已知函数f(x)?x3?px2?qx的图象与x轴相切于(1，0)极大值为Ａ．极大值为
4，极小值为（ ） 274，极小值为0 274 275 27Ｂ．极大值为0，极小值为?Ｃ．极大值为0，极小值为?Ｄ．极大值为
答案：Ａ
5，极小值为0 27?π?5．函数y?x?2cosx在?0，?上取最大值时，x的值为（ ）
?2?
1
Ａ．0 Ｂ．
π 6Ｃ．
π 3Ｄ．
π 2
答案：Ｂ
6．设函数f(x)在定义域内可导，y?f(x)的图象如图1所示，则导函数y?f?(x)的图象可能为（ ）
答案：Ｂ
二、填空题
7．函数y?2x2?lnx(x?0)的单调增区间为 ．
?1??∞? 答案：?，?2?
8．函数f(x)?alnx?bx2?3x的极值点为x1?1，x2?2，则a? ，b? ．
答案：?2，?
9．函数f(x)?x4?2x2?5在[?2，2]上单调递增，则实数a的取值范围是 ．
答案：4
1 210．函数f(x)?ax3?x2?x?5在(?∞， ?∞)上单调递增，则实数a的取值范围是 ．
?1??∞? 答案：?，?3?
2
11．函数f(x)?x5?5x4?5x3?1在[?1，2]上的值域为 ．
答案：[?10，2]
12．在一块正三角形的铁板的三个角上分别剪去三个全等的四边形，然后折成一个正三棱柱，尺寸如图2所示．当x为 时，正三棱柱的体积最大，最大值是 ．
aa3答案：，
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三、解答题
13．已知x?0，证明不等式x?ln(1?x)．
证明：原不等式等价于证明x?ln(1?x)?0． 设f(x)?x?ln(1?x)，则f?(x)?1?1x． ?1?xx?13
∵x?0，∴f?(x)?0． ∴f(x)在x?(0，?∞)上是单调增函数． 又f(0)?0?ln1?0，
∴f(x)?f(0)?0即x?ln(1?x)?0，亦即x?ln(1?x)．
14．已知函数f(x)?x3?3ax2?2bx在x?1处有极小值?1，试求a，b的值，并求出f(x)的单调区间．
解：由已知，可得f(1)?1?3a?2b??1， 又f?(x)?3x2?6ax?2b， ① ∴f?(1)?3?6a?2b?0， ②
11由①，②，解得a?，b??．
32故函数的解析式为f(x)?x3?x2?x．
1由此得f?(x)?3x2?2x?1，根据二次函数的性质，当x??或x?1时，f?(x)?0；
31当??x?1，f?(x)?0．
31???1?因此函数的单调增区间为??∞，??和(11?． ，?∞)，函数的单调减区间为??，33????
12，问：（1）要使平均x（元）
40成本最低，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？
15．已知某工厂生产x件产品的成本为C?25000?200x?25000?200x?解：（1）设平均成本为y元，则y?x12x40?25000?200?x，
x40?250001?，令y??0得x?1000． 2x40当在x?1000附近左侧时y??0；
在x?1000附近右侧时y??0，故当x?1000时，y取极小值，而函数只有一个点使y??0，y??故函数在该点处取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1000件产品． ?x2?x2x（2）利润函数为S?500x??25000?200x???300x?25000?，S??300?，
40?4020?令S??0，得x?6000，当在x?6000附近左侧时S??0；在x?6000附近右侧时S??0，故
当x?6000时，S取极大值，而函数只有一个点使S??0，故函数在该点处取得最大值，因
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