例3 四边形ABCD内接于圆，其边AB与DC的延长线交于点P，AD与BC的

延长线交于点Q。由Q作该圆的两条切线QE和QF，切点分别为E，F。求证：P，E，F三点共线。 证 如图。 FA连接PQ，并在PQ上取一点M，使得

DGB，C，M，P四点共圆，连CM，PF。设PF与圆的另CQ易如 一交点为E’，并作QG丄PF，垂足为G。B(E')EQE2=QM·QP=QC·QB ①

M∠PMC=∠ABC=∠PDQ。

从而C，D，Q，M四点共圆，于是

PM·PQ=PC·PD ② 由①，②得

PM·PQ+QM·PQ=PC·PD+QC·QB， P即PQ2=QC·QB+PC·PD。

易知PD·PC=PE’·PF，又QF2=QC·QB，有

PE’·PF+QF2=PD·PC+QC·AB=PQ2，

即PE’·PF=PQ2-QF2。又

PQ2－QF2=PG2－GF2=(PG+GF)·(PG－GF)

=PF·(PG－GF)，

从而PE’=PG－GF=PG－GE’，即GF=GE’，故E’与E重合。 所以P，E，F三点共线。

例4 以圆O外一点P，引圆的两条切线PA，PB，A，B为切点。割线PCD交

圆O于C，D。又由B作CD的平行线交圆O于E。若F为CD中点，求证：A，F，E三点共线。

证 如图，连AF，EF，OA，OB，OP，BF，OF，

延长FC交BE于G。 A易如OA丄AP，OB丄BP， FCDPOF丄CP，所以P，A，F，O，B

五点共圆，有∠AFP=∠AOP=∠POB= O∠PFB。

GEB又因CD∥BE，所以有

∠PFB=∠FBE，∠EFD=∠FEB，

而FOG为BE的垂直平分线，故EF=FB，∠FEB=∠EBF， 所以∠AFP=∠EFD，A，F，E三点共线。

2. 线共点的证明

证明线共点可用有关定理(如三角形的3条高线交于一点)，或证明第3条直线通过另外两条直线的交点，也可转化成点共线的问题给予证明。

例5 以△ABC的两边AB，AC向外作正方形ABDE，ACFG。

△ABC的高为AH。求证：AH，BF，CD交于一点。

证 如图。延长HA到M， M使AM=BC。连CM，BM。 设CM与BF交于点K。 E 在△ACM和△BCF中， GAC=CF，AM=BC，

A∠MAC+∠HAC=180°， DFK∠HAC+∠HCA=90°，

并且∠BCF=90°+∠HCA， BCH因此∠BCF+∠HAC=180°

∠MAC=∠BCF。

从而△MAC≌△BCF，∠ACM=∠CFB。

所以∠MKF=∠KCF+∠KFC=∠KCF+∠MCF=90°， 即 BF丄MC。

同理CD丄MB。AH，BF，CD为△MBC的3条高线，故AH，BF，CD三线交于一点。

例6 设P为△ABC内一点，∠APB－∠ACB=∠APC－∠ABC。又设D，E分别

是△APB及△APC的内心。证明：AP，BD，CE交于一点。

证 如图，过P向三边作垂线，垂足分别为R，S，T。

连RS，ST，RT，设BD交AP于M，CE交AP于AN。

易知P，R，A，S；P，T，B，R； RMNSDP，S，C，T分别四点共圆，则 E ∠APB－∠ACB=∠PAC+∠PBC P=∠PRS+∠PRT CBT=∠SRT。

同理，∠APC－∠ABC=∠RST，

由条件知∠SRT=∠RST，所以RT=ST。 又RT=PBsinB，ST=PCsinC， 所以PBsinB=PCsinC，那么

PBPC?。 ABAC 由角平分线定理知

ANACABAM???。 NPPCPBMP 故M，N重合，即AP，BD，CE交于一点。 例7

O1与

O2外切于P点，QR为两圆的公切线，其中Q，R分别为

O1，

O2上的切点，过Q且垂直于QO2的直线与过R且垂直于RO1的直线交于点I，IN垂直于O1O2，垂足为N，IN与QR交于点M。证明：PM，RO1，QO2三条直线交于一点。

证 如图，设RO1与QO2交于点O，

连MO，PO。

因为∠O1QM=∠O1NM=90°，所以Q，共圆，有∠QMI=∠QO1O2。

而∠IQO2=90°=∠RQO1， 所以∠IQM=∠O2QO1， 故△QIM∽△QO2O1，得

QO1O1O2 ?QMMIIRQMO1NOPO2O1，N，M四点

同理可证

RO2O1O2?。因此 RMMIQMQO1 ① ?MRRO2因为QO1∥RO2，所以有

O1OQO1 ② ?ORRO2由①，②得MO∥QO1。 又由于O1P=O1Q，PO2=RO2， 所以

O1OO1QO1P， ??ORRO2PO2即OP∥RO2。从而MO∥QO1∥RO2∥OP，故M，O，P三点共线，所以PM，RO1，QO2三条直线相交于同一点。

3. 塞瓦定理、梅涅劳斯定理及其应用

定理1 (塞瓦(Ceva)定理):

设P，Q，R分别是△ABC的BC，CA，AB边上的点。若AP，BQ，CR相交于一点M，则

ABPCQAR???1。 PCQARBQMBPC证 如图，由三角形面积的性质，有

ARS?AMCBPS?AMBCQS?BMC, , . ???RBS?BMCPCS?AMCQAS?AMB以上三式相乘，得

BPCQAR???1. PCQARB定理2 (定理1的逆定理):

设P，Q，R分别是△ABC的BC，CA，AB上的点。若则AP，BQ，CR交于一点。

证 如图，设AP与BQ交于M，连CM，交AB于R’。

由定理1有

BPCQAR'BPCQAR???1. 而???1，所以 PCQAR'BPCQARBBPCQAR???1，PCQARBAR'AR?. R'BRB于是R’与R重合，故AP，BQ，CR交于一点。

定理3 (梅涅劳斯(Menelaus)定理):

一条不经过△ABC任一顶点的直线和三角形三边BC，CA，AB(或它们的延长线)分别交于P，Q，R，则

ABPCQAR???1 PCQARBRQCP证 如图，由三角形面积的性质，有

BARS?ARPBPS?BRPCQS?CRP, , . ???RBS?BRPPCS?CPRQAS?ARP将以上三式相乘，得

BPCQAR???1. PCQARB

定理4 (定理3的逆定理):

设P，Q，R分别是△ABC的三边BC，CA，AB或它们延长线上的3点。若

BPCQAR???1， PCQARB则P，Q，R三点共线。

定理4与定理2的证明方法类似。

塞瓦定理和梅涅劳斯定理在证明三线共点和三点共线以及与之有关的题目中有着广泛的应用。

例8 如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD。在CD上取一点E，

BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：∠GAC=∠EAC。 证 如图，连接BD交AC于H，

过点C作AB的平行线交AG的延长线于I，过点C作AD的平行线交AE

A的延长线于J。

对△BCD用塞瓦定理，可得

DCGBHDE???1 ① HGBHDECFEBGCJI