为了获得更明显的物理意义，令
M?H*sin?*，N?H*cos?*
即令
H*?M2?N2??2np
?2?p2H(??p)?4np22222 （4.54）
及 tg?*?这时（4.53）可以写成
??H*sin?*cospt?H*cos?*sinpt?H*sin(pt??*) ?因此，（4.52）的通解为
??Ae?ntsin(?1t??)?（4.55）
H(?2?p2)2?4n2p2sin(pt??*)
从（4.55）可以看出，摆的运动由两部分叠加而成，第一部分就有阻尼的自由振动，它是系统本身的固有振动，它随时间的增长而衰减，第二部分是由外力而引起的强迫振动项，它的振幅不随时间的增长而衰减。因此，考虑强迫振动时主要就考虑后一项
H(?2?p2)2?4n2p2sin(pt??*)，它与外力的频率一样，但相位和振幅都不同了。
我们现在来研究外力的圆频率p取什么值时所引起的强迫振动项的振幅H*达到最大值。
从（4.54）看出，只需讨论当p取何值时(?2?p2)2?4n2p2达到最小值即可。为此，记?(p)?(?2?p2)2?4n2p2，将它对p求导数，并令导数等于零，得到
??(p)??4p(?2?p2)?8n2p
因此，只要2n2??2，即只要阻尼很小时，就解得
p??2?2n2 （4.56）
而当p取此值时，我们有???(p)?8p2?0，因而?(p)在
p??2?2n2 时达到最小值。
把（4.56）代入（4.54），得到相应的最大振幅值为
*Hmax?H4n?4n(??2n)4222?H2n??n22 就是说，当外力的圆频率p??2?2n2时，强迫振动项的振幅达到最大值，这时的圆频率称为共振频率，所产生的现象也叫共振现象。
§4.3 高阶方程的降阶和幂级数解法
4.3.1 可降阶的一些方程类型
n阶微分方程一般地可写为
F(t,x,x?,?,x(n))?0
下面讨论三类特殊方程的降阶问题：
1）方程不显含未知函数x，或更一般地，设方程不含x,x?,?,x(k?1)，即方程呈形状：
F(t,x(k),x(k?1),?,x(n))?0 (1?k?n) （4.57）
若令x(k)?y，则方程即降为关于y的n?k阶方程
F(t,y,y?,?,y(n?k))?0 （4.58）
如果能够求得方程（4.58）的通解
y??(t,c1,c2,?,cn?k)
即 x(k)??(t,c1,c2,?,cn?k) 再经过k次积分得到
x??(t,c1,c2,?,cn)
其中c1,c2,?,cn为任意常数。可以验证，这就是方程（4.57）的通解。
特别地，若二阶方程不显含x（相当于n?2，k?1的情形）。则用变换x??y便把方程化为一阶方程。
d5x1d4x?0的解。 例1 求方程5?4dttdtd4x解 令4?y，则方程化为
dtdy1?y?0 dxtd4x这是一阶方程，积分后得y?ct，即4?ct，于是
dtx?c1t5?c2t3?c3t2?c4t?c5
其中c1,c2,?,c5为任意常数，这就是原方程的通解。 2）不显含自变量t的方程
F(x,x?,?,x(n))?0 （4.59）
我们指出，若令x??y，并以它为新未知函数，而视x为新自变量，则方程就可降低一阶。
事实上，在所作假定下，x??y，x???22dydydy?x??y，dtdxdxdy?dy?x????y???y22，…，采用数学归纳法不难证明，可用表出（k?n）。将这些
dx?dx?表达式代入（4.59）就得到
?dydn?1y?G?x,y,,?,n?1??0
dxdx??这是关于x,y的n?1阶方程，比原方程（4.59）低一阶。 例2 求解方程xx???(x?)2?0。 解 令x??y，直接计算可得x???ydydy?y2?0得到y?0或，于是原方程化为xydxdxdyccx?y?0，积分后得y?，即x??，所以x2?c1t?c2（c1?2c），这就是原dxxx方程的通解。
例3 求数学摆的运动方程
d2?g??sin? dt2l满足初始条件：t?0时，???0?0，
d??0的解。 dtd2?dpd??p，则2?p解 令，这时，方程变为 dtdtd?p积分之，得到
dpg??sin? d?l12gp?(cos??c1) 2l1?d??g或者 ??(cos??c1) （4.60） ?2?dt?l这里c1是任意常数。用初始条件代入（4.60），得到c1??cos?0。于 是（4.60）变为
2?d??2g(cos??cos?0) ???dtl??将上式开方得到
2d?2g??cos??cos?0 （4.61） dtl我们先讨论摆从最大的正偏离角???0到最大的负偏离角????0之间的第一次摆动的情况，这时
d??0，（4.61）的右端取负号，得到 dtd?2g??cos??cos?0 （4.62） dtl将方程（4.62）分离变量，然后积分，并计及初始条件即得
??令
?0td?2g2g???dt??t （4.63）
0llcos??cos?0t0?l?0d?
2g?0cos??cos?0则（4.63）可些写为
l?d?t0?t? （4.64）
2g?0cos??cos?0