《基本不等式》（第一课时）

教材：高中数学必修5（人教版）第三章

教学目标：

★知识与技能：引导学生从问题中发现基本不等式，让学生理解、掌握基本不等式，

并能运用它解决一些简单问题；培养他们的探究能力以及分析问题解决问题的能力。

★过程与方法：1.通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生

观察、分析、猜想等能力；

2.通过引导学生用多种方法证明推导基本不等式，培养学生的创新思维和探索精神；

3.通过不等式的应用培养学生的应用意识。引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法。

★情感、态度与价值观：在教学中发挥学生学习的主体作用，培养学生勇于探索的精

神，激发他们学习数学的兴趣。

教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式

ab?a?b2的证明过程及应用。

教学难点：1、基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；

2、用基本不等式求最大值和最小值。 教学方法：采用启发式教学和探究式教学的方法让学生掌握本节课的内容，并通过讲

练结合的方法让学生巩固课堂所学的内容。

教学手段：借助PowerPoint课件整合教材内容，利用几何画板作出动画营造轻松生动

的课堂学习氛围。

教学过程：

教学环节 问题情境 师生活动 设计意图 创设问题情境，让学生利用弦图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式，激发学生的学习兴趣。 一、创设情境 在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。 [问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？ 引入新课教师通过几何画板演示，让学生更直观的理解问题，引导学生从中抽象归纳出结论。

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二、新课讲解 抽象归纳可得： 一般地，对于任意实数a、b，有a?b?2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. [问] 你能给出它的证明吗？ [问] 怎样理解“当且仅当”？ 教师引导学生用作差法证明不等式 让学生通过证明进一步理解不等式，并为接下来的学习做准备. 22探索研究 “当且仅当a=b时，等号成立”的含义是： 当a=b时，取等号，即a?b?a2?b2?2ab； 仅当a=b时，取等号，即a2?b2?2ab?a?b. 22特别地，当a>0,b>0时，在不等式a?b?2ab中， 以a、b分别代替a、b，得到什么？ 归纳总结： 教师引导学生得出基本不等式，并给a?b如果a、b都是正数，那么ab?，当且仅当a=b2出规范的文字语言叙述。 时，等号成立. a?b我们称此不等式为基本不等式。 其中称为a,b的算 2 术平均数，ab称为a,b的几何平均数. 让学生理解基本不等式的来源，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础. 教师引导学生通过[问] 你能给出它的证明吗？ 类比上一个不等式证法一：作差比较法 的证明方法进行证证法二：（课本） 明. a?b?ab ① 要证学生由课本的提示2寻求第二种证明不只要证a?b? ② 等式的方法，完成课本填空. 要证②,只要证a?b? ?0 ③ 教师点评：该证明方法叫做分析法,要证③,只要证(?)2?0 ④ 实际上是寻找结论显然, ④是成立的。当且仅当a=b时, ④中的等号成立. 的充分条件,执果 索因的一种思维方法. 探究基本不等式的几何意义： 如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，CB=b.过点C作垂直于直径AB的弦DE，连接AD、BD.

引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华. 学生分小组讨论，交流看法，并指出图中长度为ab通过数形结合，赋予不等式 2

能利用这个图形，得出不等式D A 与ab?a?b(a,b?0)2 的几何a?b的线段. 2ab?a?b2a C b B E 解释吗？ 几何直观。使学生进一步领悟不等式中等号成立的条件. 三、讲解例题例1：已知x?0,求函数y?x?的x值. 1的最小值，并求相应x教师讲解例题，强调取得最值的条件.引导学生通过例题得出结论：“积定和小，和定积大”. 简单易懂、贴近生活的问题，帮助学生学会应用基本不等式.让学生体会基本不等式是解决最值问题的有力工具. 加深理解[问]函数的最值的概念是什么？如何运用基本不等式？ 例2（1）用篱笆围一块面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？ （2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？ [问]怎么把实际问题抽象为数学问题？ 下列命题正确吗？ ①对于任意实数a,b，均有a?b?2ab； 2 ②当a?3时，由于a?44a，当且仅当?2a?3a?3学生自主探究，教师指导，师生归纳让学生加深对基本不等式ab?a?b244a?时，即a=4时，等号成立。所以a?最小总结. a?3a?3值为8. 结论：运用基本不等式求最值时应注意“一正、二定、三相等”. 的理解，明确其使用条件和成立的条件，突破重点和难点. 四、练习巩固 练习： （1）若x?0,3x?x?_________. 12的最小值为________,此时x学生完成练习，教通过练习巩师点评. 固知识

（2）若a>0,b>0,且a+b=4，则ab的最大值为_______,此时a=_____,b=_____. 3

五、课堂小结两个不等式：对任意实数a、b，有a?b?2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 22a?b若a?0,b?0，则有ab?，当且仅当a=b时，2等号成立. 三个注意：运用基本不等式ab?a?b求函数的最大(小)2值时注意：“一正二定三相等” 通过小结巩固知识技教师帮助学生总结课堂所学知识. 能，提高认知水平. 板书设计

六、作业关注学生个必做题：习题3.4 A组 1、2、3 选做题： 1.已知a?3，求证:体差异。通过作业反馈 2 4?a?7. a?3发现和弥补教学中的不足 2.当x??1时，求函数f(x)?x?3x?1的值域. x?1课 题 1. 如果a,b?R，那么a2?b2?2ab（当且仅当a?b时取“=”号） 2. 如果a,b是正数，那么例1： 例2 练习 a?b?ab（当且仅当2a?b时取“=”号） 4