第一章 绪论
1-3．有一矩形断面的宽渠道，其水流速度分布为u?0.002?g(hy?0.5y2)/?，式中?、?分别为水的密度和动力粘度，h为水深。试求h?0.5m时渠底（y=0）处的切应力。 [解] ?du?0.002?g(h?y)/? dydu?0.002?g(h?y) dy????当h=0.5m，y=0时
??0.002?1000?9.807(0.5?0)
?9.807Pa
1-4．一底面积为45×50cm2，高为1cm的木块，质量为5kg，沿涂有润滑油的斜面向下作等速运动，木块运动速度u=1m/s，油层厚1cm，斜坡角22.620 （见图示），求油的粘度。 ?
u
?
[解] 木块重量沿斜坡分力F与切力T平衡时，等速下滑
mgsin??T??Adu dy??mgsin?5?9.8?sin22.62 ?u1A0.4?0.45??0.001??0.1047Pa?s
1-5．已知液体中流速沿y方向分布如图示三种情况，试根据牛顿内摩擦定律???绘出切应力沿y方向的分布图。
y u u [解]
y
?= 0du，定性dyyyuuuuyy0?=?0????
第二章 流体静力学
2-1．一密闭盛水容器如图所示，U形测压计液面高于容器内液面h=1.5m，求容器液面的相对压强。
[解] ?p0?pa??gh
?pe?p0?pa??gh?1000?9.807?1.5?14.7kPa
2-2．密闭水箱，压力表测得压强为4900Pa。压力表中心比A点高0.5m，A点在液面下1.5m。求液面的绝对压强和相对压强。
[解] pA?p表?0.5?g
p0?pA?1.5?g?p表??g?4900?1000?9.8??4900Pa ??p0?pa??4900?98000?93100Pa p02-3．多管水银测压计用来测水箱中的表面压强。图中高程的单位为m。试求水面的绝对压强pabs。
[解] p0??水g(3.0?1.4)??汞g(2.5?1.4)??水g(2.5?1.2)?pa??汞g(2.3?1.2)
p0?1.6?水g?1.1?汞g?1.3?水g?pa?1.1?汞g
p0?pa?2.2?汞g?2.9?水g?98000?2.2?13.6?103?9.8?2.9?103?9.8?362.8kPa
2-4． 水管A、B两点高差h1=0.2m，U形压差计中水银液面高差h2=0.2m。试求A、B两点的压强差。（22.736N／m2）
[解] ?pA??水g(h1?h2)?pB??水银gh2
?pA?pB??水银gh2??水g(h1?h2)?13.6?103?9.8?0.2?103?9.8?(0.2?0.2)?22736Pa
2-5．水车的水箱长3m,高1.8m，盛水深1.2m，以等加速度向前平驶，为使水不溢出，加速度a的允许值是多少？
[解] 坐标原点取在液面中心，则自由液面方程为： z0??ax gl??1.5m时，z0?1.8?1.2?0.6m，此时水不溢出 2gz9.8?0.6 ?a??0???3.92m/s2
x?1.52-6．矩形平板闸门AB一侧挡水。已知长l=2m，宽b=1m，形心点水深hc=2m，倾角?=45，闸门上缘A处设有转轴，忽略闸门自重及门轴摩擦力。试求开启闸门所需拉力。
当x??
[解] 作用在闸门上的总压力：
P?pcA??ghc?A?1000?9.8?2?2?1?39200N
1?1?23J2作用点位置：yD?yc?c??12?2.946m ?2ycAsin45?2?1?sin45hl22?yA?c????1.828m ?sin?2sin452?T?lcos45??P(yD?yA)
P(yD?yA)39200?(2.946?1.828)??30.99kN
lcos45?2?cos45?2-7．图示绕铰链O转动的倾角?=60°的自动开启式矩形闸门，当闸门左侧水深h1=2m，右侧水深h2=0.4m时，闸门自动开启，试求铰链至水闸下端的距离x。
T?
[解] 左侧水作用于闸门的压力：
hh1Fp1??ghc1A1??g1??b
2sin60? 右侧水作用于闸门的压力：
hh2Fp2??ghc2A2??g2??b ?2sin601h11h2?Fp1(x?)?F(x?) p23sin60?3sin60?hh11h1h2h21h2??g1?b(x?)??g?b(x?)
2sin60?3sin60?2sin60?3sin60?1h11h22?h12(x?)?h(x?) 2??3sin603sin60?22?(x?1210.42)?0.4?(x?)
3sin60?3sin60??x?0.795m
2-8．一扇形闸门如图所示，宽度b=1.0m，圆心角?=45°，闸门挡水深h=3m，试求水对闸
门的作用力及方向
[解] 水平分力：
h3.0Fpx??ghcAx??g?h?b?1000?9.81??3?44.145kN
22 压力体体积：
V?[h(h12?h2?h)?h]?()sin45?28sin45?312?32 ?[3?(?3)??3]?()??sin4528sin45?1.1629m3 铅垂分力：
Fpz??gV?1000?9.81?1.1629?11.41kN
合力：
22Fp?Fpx?Fpz?44.1452?11.412?45.595kN
方向：
??arctanFpzFpx?arctan11.41?14.5?
44.1452-9．如图所示容器，上层为空气，中层为?石油?8170Nm3的石油，下层为?甘油?12550Nm3 的甘油，试求：当测压管中的甘油表面高程为9.14m时压力表的读数。 [解] 设甘油密度为?1，石油密度为?2，做等压面1--1，则有 p1??1g(?9.14??3.66)?pG??2g(?7.62??3.66) 5.48?1g?pG?3.96?2g pG?5.48?1g?3.96?2g
GB 空 气 石 油9.14m7.623.6611 甘 油?12.25?5.48?8.17?3.96
1.52A?34.78kN/m2
2-10．某处设置安全闸门如图所示，闸门宽b=0.6m，高h1= 1m，铰接装置于距离底h2= 0.4m，闸门可绕A点转动，求闸门自动打开的水深h为多少米。 [解] 当hD?h?h2时，闸门自动开启
13bh1JCh11112 hD?hc??(h?)??h??h1hcA2212h?6(h?)bh12 将hD代入上述不等式
hh1Ah211h???h?0.4 212h?61?0.1
12h?64 得 h??m?
32-11．有一盛水的开口容器以的加速度3.6m/s2沿与水平面成30o夹角的斜面向上运动，试求容器中水面的倾角。
[解] 由液体平衡微分方程
dp??(fxdx?fydy?fzdz)
fx??acos300，fy?0，fz??(g?asin300)
在液面上为大气压，dp?0
?acos300dx?(g?asin300)dz?0
dzacos300??tan???0.269 0dxg?asin30???150
2-12．如图所示盛水U形管，静止时，两支管水面距离管口均为h，当U形管绕OZ轴以等角速
度ω旋转时，求保持液体不溢出管口的最大角速度ωmax。
[解] 由液体质量守恒知，? 管液体上升高度与 ?? 管液体下降高度应相等，且两者液面同在一等压面上，满足等压面方程：
?2r22g?z?C
hzI?II液体不溢出，要求zI?zII?2h， 以r1?a,r2?b分别代入等压面方程得：
aa>bb??2gh 22a?bgh
a2?b2??max?22-13．如图，??600，上部油深h1＝1.0m，下部水深h2＝2.0m，油的重度?=8.0kN/m3，求：平板ab单位宽度上的流体静压力及其作用点。
[解] 合力
P??b1h11h2h2??油h1??h＋?h 21水油0002sin602sin60sin60＝46.2kN作用点：
1h1P??h?4.62kN1油10 2sin60h1'?2.69m1h2P2??水h2?23.09kN 2sin600'h2?0.77mh2?18.48kN0 sin60h3'?1.155mP3??油h1''''对B点取矩：P1h1?P2h2?P3h3?PhD'hD?1.115m'hD?3?hDsin600?2.03m
2-14．平面闸门AB倾斜放置，已知α＝45°，门宽b＝1m，水深H1＝3m，H2＝2m，求闸门所受
水静压力的大小及作用点。
Ah145°Bh2 [解] 闸门左侧水压力： 1h113P??gh?b??1000?9.807?3??1?62.41kN 112sin?2sin45?作用点： h13h1'???1.414m ?3sin?3sin45闸门右侧水压力： 1h12P2??gh2?2b??1000?9.8?2??1?27.74kN
2sin?2sin45?作用点：
h22'h2???0.943m ?3sin?3sin45 总压力大小：P?P1?P2?62.41?27.74?34.67kN
对B点取矩：
'''P1h1?P2h2?PhD
'62.41?1.414?27.74?0.943?34.67hD
'hD?1.79m
2-15．如图所示，一个有盖的圆柱形容器，底半径R＝2m，容器内充满水，顶盖上距中心为r0
处开一个小孔通大气。容器绕其主轴作等角速度旋转。试问当r0多少时，顶盖所受的水的总压力为零。 Or0 [解] 液体作等加速度旋转时，压强分布为 R p??g(?2r22g?z)?C 积分常数C由边界条件确心，则当r?r0，z?0时，p?pa（大气压），于是， p?pa??g[定：设坐标原点放在顶盖的中?22g(r2?r02)?z] 在顶盖下表面，z?0，此时压强为
1p?pa???2(r2?r02)
2 顶盖下表面受到的液体压强是p，上表面受到的是大气压强是pa，总的压力为零，即
RR1222(p?p)2?rdr???(r?r)2?rdr?0 a0?0?02 积分上式，得 r02?12R?2m R，r0?222-16．已知曲面AB为半圆柱面，宽度为1m，D=3m，试求AB柱面所受静水压力的水平分力Px和竖直分力Pz 。
[解] 水平方向压强分布图和压力体如图所示： 11?D?3Px??gD2b??g??b??gD2b 22?2?83??9810?32?1?33109N 81????Pz??g?D2?b??gD2b 4?416?2?9810?3.142?3?1?17327N 1614h时，闸门可自动打开。 152-17．图示一矩形闸门，已知a及h，求证H>a?
2hh[证明] 形心坐标zc?hc?H?(a?h)??H?a?
5210 则压力中心的坐标为
zD?hD?zc?Jc?JczcA1Bh3;A?Bh 12hh2zD?(H?a?)?1012(H?a?h/10)当H?a?zD，闸门自动打开，即H?a?14h 15
第三章 流体动力学基础
3-1．检验ux?2x2?y, uy?2y2?z, uz??4(x?y)z?xy不可压缩流体运动是否存在？ [解]（1）不可压缩流体连续方程
?ux?uy?uz???0 ?x?y?z（2）方程左面项
?uy?ux?u?4y；z??4(x?y) ?4x；?y?x?z（2）方程左面=方程右面，符合不可压缩流体连续方程，故运动存在。
3-2．某速度场可表示为ux?x?t；uy??y?t；uz?0，试求：（1）加速度；（2）流线；（3）t= 0时通过x=-1，y=1点的流线；（4）该速度场是否满足不可压缩流体的连续方程？ [解] （1）ax?1?x?t
ay?1?y?t 写成矢量即 a?(1?x?t)i?(1?y?t)j
az?0
（2）二维流动，由
dxdy?，积分得流线：ln(x?t)??ln(y?t)?C1 uxuy即 (x?t)(y?t)?C2
（3）t?0,x??1,y?1，代入得流线中常数C2??1
流线方程：xy??1 ，该流线为二次曲线 （4）不可压缩流体连续方程：
?ux?uy?uz???0 ?x?y?z?uy?ux?u?1,??1,z?0，故方程满足。 已知：?x?y?z3-3．已知流速场u?(4x3?2y?xy)i?(3x?y3?z)j，试问：（1）点（1，1，2）的加速度是多少？（2）是几元流动？（3）是恒定流还是非恒定流？（4）是均匀流还是非均匀流？
[解]
ux?4x3?2y?xyuy?3x?y3?zuz?0
ax?dux?ux?u?u?u??uxx?uyx?uzxdt?t?x?y?z
?0?(4x3?2y?xy)(12x2?y)?(3x?y3?z)(2?x)?0代入（1，1，2）
?ax?0?(4?2?1)(12?1)?(3?1?2)(2?1)?0?ax?103同理：
?ay?9
??因此 （1）点（1，1，2）处的加速度是a?103i?9j
（2）运动要素是三个坐标的函数，属于三元流动
?u（3）?0，属于恒定流动
?t（4）由于迁移加速度不等于0，属于非均匀流。
3-4．以平均速度v =0.15 m/s 流入直径为D =2cm 的排孔管中的液体，全部经8个直径d=1mm的排孔流出，假定每孔初六速度以次降低2%，试求第一孔与第八孔的出流速度各为多少？
[解] 由题意qV?v?D24?0.15??4?0.022?0.047?10?3m3/s?0.047L/s
v2?0.98v1；v3?0.982v1；······；v8?0.987v1 qV??d24(v1?0.98v1?0.98v1???0.98v1)?27?d24v1Sn
式中Sn为括号中的等比级数的n项和。
由于首项a1=1，公比q=0.98，项数n=8。于是
a1(1?qn)1?0.988Sn???7.462
1?q1?0.984qV14?0.047?10?3v1?2??8.04m/s
?dSn??0.0012?7.462v8?0.987v1?0.987?8.04?6.98m/s
r3-5．在如图所示的管流中，过流断面上各点流速按抛物线方程：u?umax[1?()2]对称分布，
r0式中管道半径r0=3cm，管轴上最大流速umax=0.15m/s，试求总流量Q与断面平均流速v。
r[解] 总流量：Q??udA??umax[1?()2]2?rdr
A0r0r0 ??2umaxr02??2?0.15?0.032?2.12?10?4m3/s
?断面平均流速：v?Q?222?r0?r0umaxr02?umax?0.075m/s 23-6．利用皮托管原理测量输水管中的流量如图所示。已知输水管直径d=200mm，测得水银差压计读书hp=60mm，若此时断面平均流速v=0.84umax，这里umax为皮托管前管轴上未受扰动水流的流速，问输水管中的流量Q为多大？（3.85m/s）
[解] ?2pAuAp?? ?g2g?g2uApp????A?(?1)hp?12.6hp 2g?g?g??uA?2g?12.6hp?2?9.807?12.6?0.06?3.85m/s
443-7．图示管路由两根不同直径的管子与一渐变连接管组成。已知dA=200mm，dB=400mm，A点相对压强pA=68.6kPa，B点相对压强pB=39.2kPa，B点的断面平均流速vB=1m/s，A、B两点高差△z=1.2m。试判断流动方向，并计算两断面间的水头损失hw。
Q??d2v???0.22?0.84?3.85?0.102m3/s
[解] ??42dAvA??42dBvB
2dB4002 ?vA?2vB?()?1?4m/s
dA200 假定流动方向为A→B，则根据伯努利方程
22pA?AvApB?BvBzA???zB???hw
?g2g?g2g其中zB?zA??z，取?A??B?1.0
22pA?pBvA?vB?hw????z
?g2g68600?3920042?12???1.2
98072?9.807?2.56m?0
故假定正确。 3-8．有一渐变输水管段，与水平面的倾角为45o，如图所示。已知管径d1=200mm，d2=100mm，两断面的间距l=2m。若1-1断面处的流速v1=2m/s，水银差压计读数hp=20cm，试判别流动方向，并计算两断面间的水头损失hw和压强差p1-p2。
[解] ??4d12v1??42d2v2
d122002 ?v2?2v1?()?2?8m/s
d2100假定流动方向为1→2，则根据伯努利方程
2p1?1v12p2?2v2???lsin45???hw ?g2g?g2g其中
p1?p2???lsin45??(?1)hp?12.6hp，取?1??2?1.0 ?g?2v12?v24?64?hw?12.6hp??12.6?0.2???0.54m?0
2g2?9.807 故假定不正确，流动方向为2→1。
由
p1?p2???lsin45??(?1)hp?12.6hp ?g?得 p1?p2??g(12.6hp?lsin45?)
?9807?(12.6?0.2?2sin45?)?38.58kPa
??1?(?uA)??0，这里s为沿程坐标。 ?tA?s[证明] 取一微段ds，单位时间沿s方向流进、流出控制体的流体质量差△ms为
3-9．试证明变截面管道中的连续性微分方程为
?ms?(??1??1?u1?A1??1?u1?Ads)(u?ds)(A?ds)?(??ds)(u?ds)(A?ds)2?s2?s2?s2?s2?s2?s?(?uA)??(略去高阶项)?s因密度变化引起质量差为
?? ?m??Ads
?t 由于?ms??m?
???(?uA)Ads??ds?t?s
??1?(?uA)???0?tA?s
3-10．为了测量石油管道的流量，安装文丘里流量计，管道直径d1=200mm，流量计喉管直径d2=100mm，石油密度ρ=850kg/m3，流量计流量系数μ=0.95。现测得水银压差计读数hp=150mm。问此时管中流量Q多大？
[解] 根据文丘里流量计公式得
3.14?0.222g2?9.8070.1394K?4???0.036 3.873d0.2(1)4?1()4?1d20.1?d12??13.6qV??K(?1)hp?0.95?0.036?(?1)?0.15 ?0.85?0.0513m3/s?51.3L/s3-11．离心式通风机用集流器A从大气中吸入空气。直径d=200mm处，接一根细玻璃管，管
的下端插入水槽中。已知管中的水上升H=150mm，求每秒钟吸入的空气量Q。空气的密度ρ为1.29kg/m3。
[解] p2??水gh?pa?p2?pa??水gh
2pa??水ghv22papap2v20??0?0??????气g?气g2g?气g?气g2g??2g?水v22?9.807?1000?0.15?水h?v2?h??47.757m/s2g?气?气1.29?d22
3.14?0.22?47.757qV?v2??1.5m3/s
443-12．已知图示水平管路中的流量qV=2.5L/s，直径d1=50mm，d2=25mm，，压力表读数为9807Pa，
若水头损失忽略不计，试求连接于该管收缩断面上的水管可将水从容器内吸上的高度h。
[解]
4qV4?2.5?10?3qV?v1?v2?v1?2??1.273m/s244?d13.14?0.05v2?2?d12?d224qV4?2.5?10??5.093m/s22?d23.14?0.02522?3
p?pav2p?(pa?p2)v2?v1pv0?1?1?0?2??1??g2g?g2g?g2g22222?pa?p2v2?v1p5.093?1.2739807??1???0.2398mH2O?g2g?g2g1000?9.807
p2??gh?pa?h?pa?p2?0.2398mH2O ?g3-13．水平方向射流，流量Q=36L/s，流速v=30m/s，受垂直于射流轴线方向的平板的阻挡，截去流量Q1=12 L/s，并引起射流其余部分偏转，不计射流在平板上的阻力，试求射流的偏转角及对平板的作用力。（30°；456.6kN）
[解] 取射流分成三股的地方为控制体，取x轴向右为正向，取y轴向上为正向，列水平即x方向的动量方程，可得：
?F???qV2v2cos???qVv0
y方向的动量方程：
0??qV2v2sin???qV1v1?qV2v2sin??qV1v1?sin?????30?不计重力影响的伯努利方程：
1p??v2?C
2控制体的过流截面的压强都等于当地大气压pa，因此，v0=v1=v2
qV1v112v0??0.5qV2v224v0
?F??1000?24?10?3?30cos??1000?36?10?3?30 ??F???456.5N?F??456.5N3-14．如图（俯视图）所示，水自喷嘴射向一与其交角成60o的光滑平板。若喷嘴出口直径d=25mm，喷射流量Q=33.4L/s，，试求射流沿平板的分流流量Q1、Q2以及射流对平板的作用力F。假定水头损失可忽略不计。
[解] v0=v1=v2
4Q4?33.4?10?3v0?2??68.076m/s
?d3.14?0.0252x方向的动量方程：
0??Q1v1??Q2(?v2)??Qv0cos60??Q1?Q2?Qcos60??Q?Q2?Q2?0.5Q?Q2?0.25Q?8.35L/s?Q1?Q?Q2?0.75Q?25.05L/sy方向的动量方程：
F??0??Q(?v0sin60?)
?F???Qv0sin60??1969.12N3-15．图示嵌入支座内的一段输水管，其直径从d1=1500mm变化到d2=1000mm。若管道通过流量qV=1.8m3/s时，支座前截面形心处的相对压强为392kPa，试求渐变段支座所受的轴向力F。不计水头损失。
[解] 由连续性方程：
v1?v244
4qV4qV4?1.84?1.8?v1?2??1.02m/s；v2?2??2.29m/s?d13.14?1.52?d23.14?1.02伯努利方程：
pvpv0?1?1?0?2?2?g2g?g2g?p2?p1???v1?v21.02?2.29?392?103?1000??389.898kPa22222222qV??d12?d22
动量方程：
Fp1?F??Fp2??qV(v2?v1)?p1?d12443.14?1.523.14?1.0233?392?10??F??389.898?10??1000?1.8?(2.29?1.02)44?F??692721.18?306225.17?2286?F??382.21kN?F??p2?d22??qV(v2?v1)
3-16．在水平放置的输水管道中，有一个转角??450的变直径弯头如图所示，已知上游管道直径d1?600mm，下游管道直径d2?300mm，流量qV?0.425m3/s，压强p1?140kPa，求水流对这段弯头的作用力，不计损失。
[解] （1）用连续性方程计算vA和vB
v1?4qV4?0.4254Q4?0.425??1.5v???6.02m/s m/s； 22πd12π?0.62πd2π?0..32（2）用能量方程式计算p2
2v12v2?0.115m；?1.849m 2g2g2?v12v2?2
p2?p1??g????140?9.81?(0.115?1.849)?122.98 kN/m
?2g2g?（3）将流段1-2做为隔离体取出，建立图示坐标系，弯管对流体的作用力R的分力为
RX和RY，列出x和y两个坐标方向的动量方程式，得
?p2p1?42d2cos45??Fy??Q(v2cos45??0)
?4d12?p2?42d2cos45??Fx??Q(v2cos45??v1)
将本题中的数据代入：
Fx?p1?4d12?p2?42d2cos45???qV(v2cos45??v1)=32.27kN
Fy?p2?42d2cos45???qVv2cos45?=7.95 kN
F?Fx2?Fy2?33.23kN
??tan?1FyFx?13.830
水流对弯管的作用力F大小与F相等，方向与F相反。
3-17．带胸墙的闸孔泄流如图所示。已知孔宽B=3m，孔高h=2m，闸前水深H=4.5m，泄流量qV=45m3/s，闸前水平，试求水流作用在闸孔胸墙上的水平推力F，并与按静压分布计算的结果进行比较。
[解] 由连续性方程：
qV?BHv1?Bhv2 qV4545?v1???3.33m/s；v2??7.5m/sBH3?4.53?2动量方程：
Fp1?Fp2?F???qV(v2?v1)??F???Fp1?Fp2??qV(v2?v1)11 ??F????gH2B??gh2B??qV(v2?v1)221??F???1000?9.807?3?(22?4.52)?1000?45(7.5?3.33)2??F??F??51.4kN(?) 按静压强分布计算
11F??g(H?h)2B??1000?9.807?(4.5?2)2?3?91.94kN?F??51.4kN22
3-18．如图所示，在河道上修筑一大坝。已知坝址河段断面近似为矩形，单宽流量qV=14m3/s，上游水深h1=5m，试验求下游水深h2及水流作用在单宽坝上的水平力F。假定摩擦阻力与水头损失可忽略不计。
[解] 由连续性方程：
qV?Bh1v1?Bh2v2qV1414
?v1???2.8m/s；v2?Bh15h2由伯努利方程：
vv22h1?0?1?h2?0?2?v2?2g(h1?h2)?v12g2g14?()2?2?9.807(5?h2)?2.82
h2?h2?1.63m22由动量方程：
Fp1?Fp2?F???qV(v2?v1)11?gh12??gh22?F???qV(v2?v1)2212 ??F???qV(v2?v1)??g(h12?h24-2 用式)2141??F??1000?14?(?2.8)??1000?9.807?(52?1.632)1.632??F??F??28.5kN?（4-3）证明压强差△p、管径d、重力加速度g三个物理量是互相独立的。
解： = = =
将 、 、 的量纲幂指数代入幂指数行列式得 = -2 0
因为量纲幂指数行列式不为零，故 、 、 三者独立。
4-4 用量纲分析法，证明离心力公式为F= kWv2 / r。式中，F为离心力；
M为作圆周运动物体的质量； 为该物体的速度；d为半径；k为由实验确定的常数。
解：设
据量纲一致性原则求指数 、 、 ：
M： 1 = L ： 1 = T： -2 = - 解得 = 1 = 2 = -1 故
4-6 有压管道流动的管壁面切应力 ，与流动速度 、管径D、动力粘度 和
流体密度 有关，试用量纲分析法推导切应力 的表达式。
解：[解] 由已知 选择 为基本量，m=3，n=5，则组成n-m=2个π项
将π数方程写成量纲形式
解上述三元一次方程组，得
解上述三元一次方程组，得
代入 后，可表达成 即
4-7 一直径为 d、密度为 的固体颗粒，在密度为 、动力粘度为 的流体中
静止自由沉降，其沉降速度 ，其中 为重力加速度， - 为颗粒与流体密度之差。试用量纲分析法，证明固体颗粒沉降速度由下式表示：
解：选 、 、 为基本量，故可组成3个 数，即 其中， 求解各 数，
即 对于 ， 即 对于 ，
即 故 =0 化简整理，解出 又 与 成正比，将 提出，则
4-8 设螺旋浆推进器的牵引力 取决于它的直径D、前进速度 、流体密度 、
粘度 和螺旋浆转速度 。证明牵引力可用下式表示：
解：由题意知，
选 为基本量，故可组成3个 数，即 其中，
即 对于
即 对于
即 故
就F解出得
4-10 溢水堰模型设计比例 =20，当在模型上测得流量为 时，水流对堰体
的推力为 ，求实际流量和推力。
解：堰坎溢流受重力控制，由弗劳德准则，有 ， 由 = =
而 所以， 即
4-13 将高 ，最大速度 的汽车，用模型在风洞中实验（如图所示）以确定
空气阻力。风洞中最大吹风速度为45 。
（1）为了保证粘性相似，模型尺寸应为多大？
（2）在最大吹风速度时，模型所受到的阻力为 求汽车在最大运动速度时
所受的空气阻力（假设空气对原型、模型的物理特性一致）。
解：（1）因原型与模型介质相同，即 故由 准则有 所以， （2） ，又 ，所以 即
4-14 某一飞行物以36 的速度在空气中作匀速直线运动，为了研究飞行物
的运动阻力，用一个尺寸缩小一半的模型在温度为 ℃的水中实验，模型的运动速度应为多少？若测得模型的运动阻力为1450 N，原型受到的阻力是多少？已知空气的动力粘度 ，空气密度为 。
解：由 准则有 即 所以 （2）
5-2 有一矩形断面小排水沟，水深h?15cm，底宽b?20cm,流速??0.15m/s,水温为15℃，试判别其流态。
解：A?bh?20?15300 cm
2 ??b?2h?20?2?15?50 cm，R?A300??6 cm X50??0.01775?0.0114 cm2/s 21?0.0337?15?0.000221?15Re?
?R15?6??7895> 575，属于紊流 ?0.01145-3 温度为t?20℃的水，以Q?4000cm/s的流量通过直径为d?10cm的水管，试判别其流态。如果保持管内液体为层流运动，流量应受怎样的限制？ 解：由式（1-7）算得t?20℃时，??0.0101 cm/s （1）判别流态 因为 ??23Q()d24??4000()?1024??51 cm/s
所以
Re??d51?10??50495?2300 ，属于紊流 ?0.0101（2）要使管内液体作层流运动，则需
Re??d?2300 ?2300?2300?0.0101??2.323 cm/s d10即 ??Q?
?4d??4?102?2.32?182.4 cm3/s
5-4 有一均匀流管路，长l?100m，直径d?0.2m，水流的水力坡度J?0.008,求管壁处和r?0.05m处的切应力及水头损失。 解：因为R?d0.2??0.05 m 442所以在管壁处： ???RJ?9800?0.05?0.008?3.92 N/m
r?0.05 m处： ??r0.05???1.96 N/m2 r0.9?3.92水头损失：hf?Jl?0.008?100?0.8 m
5-5 输油管管径d?150mm,输送油量Q?15.5t/h，求油管管轴上的流速umax和1km长的沿程水头损
23失。已知?油?8.43kN/m，?油?0.2cm/s。
解：（1）判别流态 将油量Q换成体积流量Q
Q?Qm?油Q?Qg?油?15.5?103?9.83m/s ??0.00538.43?10?36000.005?0.283 m/s
??(d2)4
??4?0.152Re??d0.283?0.15??2122?2300，属于层流 ?4?0.2?10（2）由层流的性质可知
umax?2??0.566 m/s
64l?26410000.283（3）hf?????0.822 m
Red2g21220.152?9.85-6 油以流量Q?7.7cm/s,通过直径d?6mm的细管，在l?2m长的管段两端接水银差压计，差压计
33读数h?18cm，水银的容重?汞?133.38kN/m，油的容重?油?8.43kN/m。求油的运动粘度。
3解：列1-2断面能量方程
0?p1?油??1?122g?0?p2?油??2?222g?hf
取?1??2?1.0,?1??2（均匀流），则
hf?p1?p2?油?(?汞133.38?1)h?(?1)?18?266.8 cm ?油8.43假定管中流态为层流，则有
64l?2hf??266.8 cm
Red2g因为??Q?4?d27.7?4?27.23 cm/s 2??0.664l?26420027.232Re?????30.3?2300 属于层流
hfd2g266.80.62?9.8所以，???dRe?27.23?0.6?0.54 cm2/s
30.3
cm2/s的水，实测其流量Q?35cm/s，长15m管段上水头损失5-7 在管内通过运动粘度??0.0133hf?2cmH2O，求该圆管的内径。
64l?2512lQ2解：设管中流态为层流，则hf? ?23Red2gRe?gd而Re?
?d4Q?,代入上式得 ??d?512lQ?4512?15?102?35?0.013d?4??1.94 cm
4?hfg4???2?980
验算：Re?4Q4?35??1766?2300， 属于层流 3??1.94?0.93?d?故假设正确。
5-9 半径r?150mm的输水管在水温t?15℃下进行实验，所得数据为
?水?999.1kg/m3，
?水?0.001139Ns/m2，??3.0m/s,??0.015。
（1）求管壁处、r?0.5r处、r?0处的切应力。
（2）如流速分布曲线在r?r处的速度梯度为 4.34 l/s，求该点的粘性切应力与紊流附加切应力。 （3）求r?0.5r处的混合长度及无量纲常数k如果令???，则k?？
解：（1）????水?280.015?999.1?32??16.86 N/m2
8?0.5r?r??0.5??8.43 N/m2 r?r?0?0
（2）?粘??水dudy?0.001139?4.34?0.0049 N/m2
r?0.5r?紊??0.5r??粘?8.43?0.0049?8.43 N/m2
2（3）?紊??水l(du) dy所以 l??紊?(du2)dy?8.43?0.02121 m= 2.12 cm
999.1?4.342又l?ky?0.5r?2.12?0.283
0.5?15若采用?紊?? ， 则
l???(du2)dy?16.86?0.0299 m
999.1?4.342
k?l2.99??0.4 0.5r0.5?15
5-10 圆管直径d?15cm，通过该管道的水的速度??1.5m/s，水温t?18℃。若已知??0.03，试求粘性底层厚度?l。如果水的流速提高至2.0m/s，如何变化？如水的流速不变，管径增大到30cm，?l又如何变化？
解：t?18℃时，??0.0106 cm/s
2?d1.5?102?15??212264 （1）Re??0.0105?l?32.8d32.8?15??0.0134 cm Re?212260.032.0?102?15?283019 （2）Re?0.010632.8?152930190.03?l??0.01 cm
1.5?102?30?424528 （3）Re?0.010632.8?304245280.03?l?
?0.0134 cm
5-12 铸铁输水管长l=1000m，内径d?300mm，通过流量Q?100L/s，试按公式计算水温为10℃、15℃两种情况下的?及水头损失hf。又如水管水平放置，水管始末端压强降落为多少？
Q100?10?3?4解： ???4?2d??0.32?1.415m/s
(1)t=10℃ 时，符合舍维列夫公式条件，因??1.2 m/s，故由式（5-39）有 ??0.021d3?0.0210.30.3?0.0301
l?210001.4152hf???0.0301???10.25m
d2g0.32?9.8?p??hf?9800?10.25?100.5 kN/m2
(2)t=15℃时，由式（1-7）得
??0.017751?0.0337?15?0.000221?152?0.01141cm2/s
Re?141.5?30?372042
0.01141
由表5-1查得当量粗糙高度??1.3mm, 则由式（5-41）得，
??0.11?(??d680.251.3680.25)?0.11?(?)?0.0285 Re3003720422hf?1.4150.0285?1000?0.32?9.8?9.7m
?p??hf?9800?9.7?95.1 kN/m2
5-13 城市给水干管某处的水压p?196.2kPa，从此处引出一根水平输水管，直径d?250mm，当量粗糙高度?=0.4mm。如果要保证通过流量Q?50L/s，问能送到多远？（水温t?25℃）
0.01775解： t=25℃时，??1?0.0337?25?0.000221?252?0.00896cm2/s
4Q4?50?103Re??d????25?0.00596?284205
由式（5-41）得，
??0.11?(?680.250d?R)?0.11?(.4?68284205)0.25?0.0228 e250??4Q?d2?4?50?10?3??0.252?1.02 m/s
又hp19.62?104f??g?9800?20.02m 由达西公式hl?2f??d2g得
l?2ghfd2?9.8?20.02?0.25??2?0.0228?1.022?4135.5m
5-14 一输水管长l?1000m，内径d?300mm,管壁当量粗糙高度??1.2mm，??0.013cm2/s，试求当水头损失hf?7.05m时所通过的流量。
解：t=10℃时，由式（1-6）计算得??0.0131cm2/s，假定管中流态为紊流过渡区 R?d?e??因为 ???d2gdhf2? Re?h??l???l
f?d2g??
代入柯列勃洛克公式（5-35）得
运动粘度
1???2㏒(??3.7d2.51?d2gdhfl) = -2㏒(
1.2?3.7?3002.51?0.0131302?980?30?705100000)
所以??0.0288
?42gdhfQ?d2?l4Q??4?0.32?2?9.8?0.3?7.05?0.0848m3/s = 84.8 l/s
0.0288?1000检验： ???d2?4?0.0848??0.3?1.22?1.2 m/s
??????80.0288?0.072m/s 8 Re?????1.2?10?1?0.072?103??66
0.0131因为 5?Re??70,属于过渡区，故假定正确，计算有效。
5-16 混凝土排水管的水力半径R?0.5m。水均匀流动1km的水头损失为1 m,粗糙系数n?0.014，试计算管中流速。 解：水力坡度J?hfl1R6?10?3
10.561 谢才系数C?n?0.014?63.641 m2/s
代入谢才公式得
??CRJ?63.640.5?10?3?1.423m/s
5-20流速由?1变为?2的突然扩大管，如分为二次扩大，中间流取何值时局部水头损失最小，此时水头损失为多少？并与一次扩大时的水头损失比较。 解：一次扩大时的局部水头损失为：
(?1??2)2?
2ghm1分两次扩大的总局部水头损失为：
(?1??)2(???2)2??
2g2ghm2在?1、?2已确定的条件下，求产生最小hm2的?值: dhm2?0 ?(?1??)?(???2)?0 d????1??22
即当???1??22时，局部水头损失最小，此时水头损失为
hm2min?1(?1??2)2 4g
(?1??2)2hm12g??2 hm2(?1??2)24g由此可见，分两次扩大可减小一半的局部水头损失。
5-21 水从封闭容器A沿直径d?25mm，长度l?10m的管道流入容器B。若容器A水面的相对压强p1为2个工程大气压，H1?1m,H2?5m，局部阻力系数?进?0.5,?阀?4.0,?弯?0.3，沿程阻力系数
??0.025，求流量Q。
解：取0?0基准面，列1?2断面能量方程
pl?2H1??0?H2?0?0?(???进??阀?3?弯??出)
?gd2g所以，
???=
11l??进??阀?3?弯??出d2g(H1?H2?p)??g10.025?10?0.5?4?3?0.3?00.0252?9.8(1?5?2?98000) 9800164?313.6
= 4.37 m/s Q=
5-22 自水池中引出一根具有三段不同直径的水管如图所示。已知d?50mm，D?200mm,l?100m，?4d2???4?0.0252?4.37?2.15?10?3m3/s=2.15l/s
H?12m，局部阻力系数?进?0.5,?阀?5.0,沿程阻力系数??0.03,求管中通过的流量并绘出总水头
线与测压管水头线。
解：取0?0基准面，则1?2断面方程得
??22gH?0?0?0?0??hw
2.5l?2l?12.5d4?2?2????l(?5)?150.1? hf?? d2gD2gd2gD2gdD2 ?1?()2?
?22ghm?(?进??阀??突扩??突缩)
其中，?突扩Ad2d22?(1?)?(1?2)?0.829
ADD ?突缩?0.5(1?d2D2)?0.469
? hm?(0.5?5?0.879?0.469)?22g?6.85?2g
hw?hf?hw?(150.1?6.85)?22g?156.95?22g
? ??2gH???156.952?9.8?12?1.22m/s
1?156.95Q??4d2???4?0.052?1.22?2.4 l/s
5-23 图中l?75cm，d?2.5cm,??3.0m/s,??0.020,?进?0.5，计算水银差压计的水银面高差hp，并表示出水银面高差方向。 解：以0?0为基准面，据1?2
p2??2l?2?2H?0?0??????进
?g2gd2g2g又(H?
p2)?12.6hf ?g1l?2hp?(?????进)
12.6d2g1753.02 =(1?0.02??0.5)??0.0765m=7.65 cm
12.62.52?9.8
d2?15cm，p2?1.45-25 计算图中逐渐扩大管的局部阻力系数。已知d1?7.5cm，p1?0.7工程大气压，
工程大气压，l?150cm，流过的水量Q?56.6L/s。 解：以2?2断面为基准面，据1?2
p1?1?12p2?2?22l???0???hm ?g2g?g2g又， ?1?4Q?d12?4?56.6?10?3??0.0252?12.81m/s
?2?4Q?d22?4?56.6?10?3??0.152?3.2m/s
p1?p2?1?12?2?22??? hm?l? ?g2g2g(0.7?1.4)?980001.0?12.8121.0?3.22 = 1.5? ??98002?9.82?9.8 = 2.35m
(?1??2)2(12.81?3.2)2???4.71? 又 hm??2g2?9.8? ??hm?0.5 4.716-2 平面不可压缩流体速度分布:
Vx=x2-y2+x; Vy=-(2xy+y).
(1) 流动满足连续性方程否? (2) 势函数φ、流函数ψ存在否? (3)求φ、ψ . 解：（1）由于
?Vx?Vy+=2x＋1－（2x＋1）＝0，故该流动满足连续性方程，流动存在. ?x?x1?Vy?Vx1?()=(?2y?(?2y))＝0, 故流动有势，势函数φ存在，由于该流动满足连?y22?x(2）由ωz=
续性方程，流函数ψ也存在. （3）因 Vx=
???????? == x2-y2+x, Vy==-=-(2xy+y).
?y?y?x?x dφ=
????dx+dy=Vxdx+Vydy=(x2-y2+x )dx+(-(2xy+y).)dy
?y?x φ=
?dφ=
?x3????22
dx+dy=?Vxdx+Vydy =? (x-y+x )dx+(- (2xy+y))dy =-xy2+(x2-y2)/2
3?y?xdψ=
????dx+dy=-Vydx+Vxdy
?y?x ψ=
?dψ=
?????dx+dy=?-Vydx+Vxdy =?(2xy+y)dx+ (x2-y2+x)dy =x2y+xy-y3/3
?y?x2
2
6-3平面不可压缩流体速度势函数 φ=x-y-x,求流场上A(-1,-1),及B(2,2)点处的速度值及流函数值 解: 因 Vx=
???Vx?Vy??????????2y，由于 ==2x-1，Vy ＝+＝0，该流动满足连续性方程，
?y?y?x?x?x?x流函数ψ存在
dψ=
????dx+dy=-Vydx+Vxdy
?y?x ψ=
?dψ=
?????dx+dy=?-Vydx+Vxdy=?2ydx+(2x-1)dy=2xy-y
?y?x 在点(-1,-1)处 Vx=-3; Vy=2; ψ=3 在点(2,2)处 Vx=3; Vy=-4; ψ=6
6-4已知平面流动速度势函数 φ=-解: Vr=
qlnr,写出速度分量Vr,Vθ,q为常数。 2???q?? =-, Vθ===0
?r2?rr??6-5 已知平面流动速度势函数 φ=-mθ+C ,写出速度分量Vr、Vθ, m为常数 解: Vr=
??m?? =0, Vθ===-
r???rrxx
6-6已知平面流动流函数ψ=x+y,计算其速度、加速度、线变形率ε
解： 因 Vx=
,ε
yy
, 求出速度势函数φ.
???? == 1
?y?x Vy=
????=-=-1
?y?x dφ=
????dx+dy=Vxdx+Vydy
?y?x φ=
?dφ=
?????dx+dy=?Vxdx+Vydy=?dx+(-1)dy=x-y
?y?x?xx? ax=
?v?vx,?yy?y ?x?ydVx?Vx?Vx?Vx??Vx?Vy?0； dt?t?x?ydVy?Vy?Vy?Vy??Vx?Vy?0 dt?t?x?y2
2
ay=
6-7 已知平面流动流函数ψ=x-y,计算其速度、加速度,求出速度势函数φ.
解： 因 Vx=
???? == -2y
?y?x????=-=-2x
?y?x Vy=
dφ=
????dx+dy=Vxdx+Vydy
?y?x????dx+dy=?Vxdx+Vydy=?-2ydx+(-2x)dy=-2xy
?y?x φ=
?dφ=
? ax=
dVx?Vx?Vx?Vx??Vx?Vy?4x dt?t?x?ydVy?Vy?Vy?Vy??Vx?Vy?4y; dt?t?x?y ay=
6-8一平面定常流动的流函数为
?(x,y)??3x?y
试求速度分布，写出通过A（1，0），和B（2，3）两点的流线方程. 解：vx??????3 ?1, vy???y?x220平面上任一点处的速度矢量大小都为1?(3)?2，与x和正向夹角都是arctan(3/1)?60。
A点处流函数值为?3?1?0??3，通过A点的流线方程为?3x?y??3。同样可以求解出通过B点的流线方程也是?3x?y??3。
6-9 已知流函数ψ=V∞(ycosα-xsinα),计算其速度,加速度,角变形率(?xy=?yx=求速度势函数φ. 解： 因 Vx=
1?vy?vx(+)),并2?x?y???? == V∞cosα
?y?x????=-= V∞sisα
?y?x????dx+dy=Vxdx+Vydy
?y?x Vy=
dφ=
φ=
?dφ=
?????dx+dy=?Vxdx+Vydy= V∞?cosαdx+ sisαdy
?y?x= V∞( cosαx+ sisαy) ax=
dVx?Vx?Vx?Vx??Vx?Vy?0 dt?t?x?y ay=
dVy?Vy?Vy?Vy??Vx?Vy?0; dt?t?x?y1?vy?vx(+)=0 2?x?y?xy=?yx=
6-10.证明不可压缩无旋流动的势函数是调和函数。
解: 不可压缩三维流动的连续性方程为
?vx?vy?vz?????????0 将关系?vx， ?vy， ?vz代入上式得到 ?x?y?z?x?y?z?????????()?()?()?0 ?x?x?y?y?z?z?2??2??2?或 2?2?2?0
?x?y?z可见不可压缩有势流动的势函数是一调和函数。
6-11 什么样的平面流动有流函数?
答: 不可压缩平面流动在满足连续性方程
?vx?vy??0 ?x?y或
?vx?（-vy）? ?x?y的情况下平面流动有流函数.
6-12 什么样的空间流动有势函数?
答: 在一空间流动中，如果每点处的旋转角速度矢量?=?xi+?yj+?zk都是零矢量，即
?x??y??z?0，或关系
6-13 已知流函数ψ=-解: Vr=
?vz?vy?vx?vz?vy?vx?,?,?成立, 这样的空间流动有势函数. ?y?z?z?x?x?yq?,计算流场速度. 2?q??=-
r??2?r?? Vθ=-=0 ?r2
2
6-14平面不可压缩流体速度势函数 φ=ax(x-3y),a<0,试确定流速及流函数,并求通过连接A(0,0)及B(1,1)两点的连线的直线段的流体流量. 解： 因 Vx=
?????=a(3x2-3y2) ?y?x Vy=
????=-=-6axy
?y?x dψ=
????dx+dy=-Vydx+Vxdy=6axydx+a(3x2-3y2)dy
?y?x ψ=
?dψ=
?????dx+dy=?-Vydx+Vxdy
?y?x =
?6axydx+a(3x2-3y2)dy =3ax2y-ay3
在A(0,0)点 ψA=0； B（1,1）点ψB=2a，q=ψA-ψB=-2a. 6-15 平面不可压缩流体流函数ψ=ln(x +y), 试确定该流动的势函数φ.
解：因 Vx=
2
2
????2y ==2 2?yx?y?x????2x=-=-2 x?y2?y?x????2y2xdx+dy=Vxdx+Vydy=2dx-dy 222x?yx?y?y?x2y2xydx-dy=-2arctan()
x2?y2x2?y2x Vy=
dφ=
??? Vxdx+Vydy=?6-16 两个平面势流叠加后所得新的平面势流的势函数及流函数如何求解?
解: 设想两个平面上各有一平面势流，它们的势函数分别为?1，?2, 流函数分别为?1，?2。现将两个平面重合在一起，由此将得到一个新的平面流动，这一新的流动与原有两个平面流动都不相同。合成流动仍
然是一有势流动，其势函数?可由下式求出：
???1??2
同样，合成流动的流函数?等于 ???1??2
6-17 在平面直角系下, 平面有势流动的势函数?和流函数?与速度分量vx,vy有什么关系? 解: 在平面直角系下, 平面有势流动的势函数?和流函数?与速度分量vx,vy有如下关系.
??????????vx, ???vy ?x?y?y?x6-18什么是平面定常有势流动的等势线? 它们与平面流线有什么关系?
解:在平面定常有势流动中，势函数?只是x,y的二元函数，令其等于一常数后，所得方程代表一平面曲线，称为二维有势流动的等势线。平面流动中，平面上的等势线与流线正交。 6-19 试写出沿y方向流动的均匀流(V=Vy=C=V∞)的速度势函数φ，流函数ψ. 解：因 Vx=
???? ==0
?y?x Vy=
????=-=V∞
?y?x????dx+dy=Vxdx+Vydy=0dx+ V∞dy φ= V∞y
?y?x dφ=
dψ=
????dx+dy=-Vydx+Vxdy=- V∞dx ??- V∞x
?y?x6-20 平面不可压缩流体速度分布为：Vx=x-4y；Vy=-y-4x 试证：
（1）该流动满足连续性方程， (2) 该流动是有势的，求φ, (3)求ψ， 解：（1）由于
?Vx?Vy??1-1=0，故该流动满足连续性方程, 流函数ψ存在 ?x?y1?Vy?Vx?(
?y2?x)=0, 故流动有势, 势函数φ存在.
(2）由于ωz=
3）因 Vx=
?????=x-4y ?x?y Vy=
????=-=-y-4x
?y?x????dx+dy=Vxdx+Vydy= (x-4y) dx+(-y-4x)dy
?y?xdφ=
dφ=
φ=
??????dx+dy=?Vxdx+Vydy=? (x-4y) dx+(-y-4x)dy
?y?xx2?y2?4xy =
2dψ=
????dx+dy=-Vydx+Vxdy=(y+4x)dx+(x-4y)dy
?y?xψ=
?dψ=
?????dx+dy=?-Vydx+Vxdy=?(y+4x)dx+(x-4y)dy
?y?x =xy+2(x2-y2)
6-21 已知平面流动流函数ψ=arctg
y，试确定该流动的势函数φ. x解：因 Vx=
????x ==2 2?yx?y?x Vy=
????y=-=2 2?y?xx?y????xydx+dy=Vxdx+Vydy=2dx+dy 222x?yx?y?y?xdφ=
dφ=
φ=
??????xydx+dy=?Vxdx+Vydy=? 2dx+dy
x?y2x2?y2?y?x =lnx2?y2
2
2
6-22 证明以下两流场是等同的，(Ⅰ)φ=x+x-y, (Ⅱ)ψ=2xy+y. 证明:对 (Ⅰ)φ=x+x-y
Vx=
2
2
??=2x+1 ?x??=-2y ?y
Vy=
对 (Ⅱ) ψ=2xy+y
Vx ???=2x+1 ?y Vy=-
??=-2y ?x 可见?与?代表同一流动.
6-23 已知两个点源布置在x轴上相距为a的两点，第一个强度为2q的点源在原点，第二个强度为q的点源位于（a, 0）处，求流动的速度分布（q?0）。 解: 两个流动的势函数分别为
2qqln(x2?y2)1/2及ln(x?a)2?y2)1/2, 合成流动的势函数为2?2???vx?2qqln(x2?y2)1/2+ln((x?a)2?y2)1/2, 2?2?qxqx?a???2qq? ?(ln(x2?y2)1/2+ln((x?a)2?y2)1/2)=
?x2?y22?(x?a)2?y2?x?x2?2?qyqy???2qq??( ln(x2?y2)1/2+ln((x?a)2?y2)1/2)=2222?x?y2?(x?a)?y?y?y2?2?vy?6-24 如图所示，平面上有一对等强度为?(??0)的点涡，其方向相反，分别位于（0，h），（0，-h）两固定点处，同时平面上有一无穷远平行于x轴的来流v?，试求合成速度在原点的值。
v0yΓoΓx 解: 平面上无穷远平行于x轴的来流v?, 上,下两点涡的势函数分别为v?x，??arctan((y?h)/x), 2????arctan((y?h)/x), 因而平面流动的势函数为v?x?arctan((y?h)/x)+ arctan((y?h)/x), 2?2?2????y?h?v?? ?x2?x2?(y?h)2vx???y?h???x?xv???,+,将原点坐标(0,0)代入后可得y2222222?x?(y?h)?y2?x?(y?h)2?x?(y?h)?, vy?0. ?h6-25 如图，将速度为v?的平行于x轴的均匀流和在原点强度为q的点源叠加，求叠加后流场中驻点位置。 vx?v??yv∞qvoθv∞x 解: 均匀流和在原点强度为q的点的势函数分别为v?x及
qlnx2?y2, 因而平面流动的势函数为2???v?x+
到x????qx??qyq?v??v??, ,令vx?0,vy?0, 得lnx2?y2, vx?y?x2?x2?y2?y2?x2?y22?q,y?0. 2?v?6-26如图，将速度为v?的平行于x轴的均匀流和在原点强度为q的点源叠加，求叠加后流场中驻点位置, 及经过驻点的流线方程.
yv∞qvoθv∞x 解: 先计算流场中驻点位置.
均匀流和在原点强度为q的点的势函数分别为v?x及
qlnx2?y2, 因而平面流动的势函数为2???v?x+
??qx??qyq?v??v??, ,令vx?0,vy?0, 得lnx2?y2, vx?y?x2?x2?y2?y2?x2?y22?到x??q,y?0.此即流场中驻点位置. 2?v?qyarctan(),因而平面流动的流函数为2?xqyqy??v?y+arctan(), 在驻点??0, 因而经过驻点的流线方程为v?y+arctan()=0
2?x2?x均匀流和在原点强度为q的点的流函数分别为v?y,
6-27 一强度为10的点源与强度为-10的点汇分别放置于（1，0）和（-1，0），并与速度为25的沿x 轴负
向的均匀流合成，求流场中驻点位置。
1010ln((x?1)2?y2)0.5, ?ln((x?1)2?y2)0.5, 因而2?2?1010平面流动的势函数为???25x+ln(x?1)2?y2-ln(x?1)2?y2
2?2?解: 均匀流, 点源与点汇的势函数分别为-25x,
vx?
??10x?110x?1??25??, 2222?x2?(x?1)?y2?(x?1)?y vy???10y10y?? ?y2?(x?1)2?y22?(x?1)2?y2令vx?0,vy?0, 得到x??2/5??1,y?0.此即流场中驻点位置.
6-28 一平面均匀流速度大小为v?，速度方向与x轴正向夹角为?，求流动的势函数?和流函数?。 解: vx?v?cos?,vy? v?sin?,
dφ=
????dx+dy=Vxdx+Vydy
?y?xdφ=
φ=
??????dx+dy=?Vxdx+Vydy=?v?cos?dx+v?sin?dy=v?cos?x+
?y?xv?sin?y
dψ=
????dx+dy=-Vydx+Vxdy
?y?xdψ
ψ=
?=
?????dx+dy=?-Vydx+Vxdy=?-v?sin?dx+v?cos?dy=-v?sin?x+v?cos?y
?y?x第七章
7.1 水以来流速度v0=0.2m/s顺流绕过一块平板。已知水的运动粘度??1.145?10?6m2/s，试求距平板
前缘5m处的边界层厚度。 【解】计算x=5m处的雷诺数
Rex?v0x/??8.7?105
该处的边界层属湍流
??0.37
xRex15?0.375(8.7?10)155?0.12m
7.2 流体以速度v0=0.8m/s绕一块长 L=2m的平板流动，如果流体分别是水（?1?10（?2?8?10?5?6m2/s）和油
m2/s），试求平板末端的边界层厚度。
【解】先判断边界层属层流还是湍流
6 水：ReL?v0L/?1?1.6?10 5 油：ReL?v0L/?2?2?10
油边界层属层流
?2L8?10?5?2??5.477?5.477?0.077m
v00.8水边界层属湍流
??0.37LReL15?0.372(1.6?106)15?0.042m
7.3 空气以速度v0=30m/s吹向一块平板，空气的运动粘度??15?10m/s，边界层的转捩临界雷诺数
?62Rexcr?106，试求距离平板前缘x=0.4m及x=1.2m的边界层厚度。空气密度??1.2kg/m3。
6【解】（1）x=0.4m，Rex?v0x/??0.8?10?Rexcr，为层流边界层
?x15?10?6?0.4?5.477?0.0024m ??5.477v0306（2）x=1.2m，Rex?v0x/??2.4?10?Rexcr，为湍流边界层
??0.37xRex15?0.371.2(2.4?106)15?0.023m
7.4 边长为1m的正方形平板放在速度v0=1m/s的水流中，求边界层的最大厚度及双面摩擦阻力，分别按全板都是层流或者都是湍流两种情况进行计算，水的运动粘度??10m/s。
6【解】b=1m, L=1m, ReL?v0L/??10
?62?L10?6?1层流： ??5.477?5.477?0.005m
v01Cf?FD?1.46ReL?1.46?10?3
12?v0Cf2bL?1.46N 2L1?0.37?0.023m 湍流： ??0.3711ReL5(1?106)5Cf?0.072?4.5?10?3 0.2(ReL)FD?
12?v0Cf2bL?4.5N 2?627.5 水渠底面是一块长L=30m，宽b=3m的平板，水流速度v0=6m/s，水的运动粘度??10m/s，试求：（1）平板前面x=3m一段板面的摩擦阻力；（2）长L=30m的板面的摩擦阻力
5【解】设边界层转捩临界雷诺数Rexcr?5?10，因为
v0xcr/??5?105,
所以 xcr?0.083m
(1) x=3m，平板边界层为混合边界层
Rex?v0x/??18?106
Cfm?0.0745Rex?(0.0745Rexcr?1.46Rexcr5180)RexcrRex
?0.0026?(0.0053?0.002)?0.0025FD?Cfm12?v0bL?406N 2(2) L=30m，平板边界层为混合边界层
ReL?v0L/??180?106
Cfm?0.0745ReL?(0.0745Rexcr?1.46Rexcr51800)RexcrReL
?0.0016?(0.0053?0.002)?0.0015912FD?Cfm?v0bL?2577N
2
?627.6 一块面积为2m?8m的矩形平板放在速度v0?3m/s的水流中，水的运动粘度??10m/s，平
板放置的方法有两种：以长边顺着流速方向，摩擦阻力为F1；以短边顺着流速方向，摩擦阻力为F2。试求比值F1/F2。
【解】设定转捩雷诺数RexcrRexcr??5?105?10?6?5?10，那么 xcr???0.17m
v035长边顺着流速方向时，b1=2m，L1=8m，L1>xcr，整个平板边界层为混合边界层，那么摩擦阻力为
2?v0F1?Cfm1b1L1
2短边顺着流速方向时，b2=8m，L2=2m，L2>xcr，整个平板边界层也为混合边界层，那么摩擦阻力为
F2?Cfm2这里 Cfm1?2?v0b2L2 20.0745ReL10.074?(0.0745Rexcr0.0745?1.46Rexcr1.46Rexcr)Rexcr?2.40?10?5 ReL1)Rexcr?2.98?10?5 ReL2 Cfm2?5ReL2?(Rexcr?所以
F1Cfm1??0.804 F2Cfm27.7 平底船的底面可视为宽b=10m，长L=50m的平板，船速v0=4m/s，水的运动粘度??10m/s，如果
5平板边界层转捩临界雷诺数Rexcr?5?10，试求克服边界层阻力所需的功率。
?626【解】ReL?v0L/??200?10，平板边界层为混合边界层
Cfm?0.0745ReL?(0.0745Rexcr?1.46Rexcr52000)RexcrReL
?0.0016?(0.0054?0.002)?0.001612FD?Cfm?v0bL?6400N
2P?FDv0?25.6KW
7．8有45kN的重物从飞机上投下，要求落地速度不超过10m/s，重物挂在一张阻力系数CD?2的降落伞
下面，不计伞重，设空气密度为??1.2kg/m，求降落伞应有的直径。 【解】物体重量G=45kN，降落时，空气阻力为
312?d2FD??vCD
24不计浮力，则阻力FD应大于重力G，即
12?d2?vCD?G 24d?21.85m
7．9汽车以80km/h的时速行驶，其迎风面积为A=2m2，阻力系数为CD=0.4，空气的密度为??1.25kg/m，试求汽车克服空气阻力所消耗的功率。
【解】v=80km/h=22.2m/s
3FD?12?vACD?246.42N 2P=vFD?5.470KW
7．10 列车上的无线电天线总长3m，由三节组成，每节长均为1m，它们的直径从根部到顶部分别为
d1?1.50cm,d2?1.0cm,d3?0.50cm。列车速度v=60km/h，空气密度??1.293kg/m3，圆柱体的阻
力系数CD?1.2，计算空气阻力对天线根部产生的力矩。 【解】由阻力计算公式FD?12?vACD，得到各段的阻力分别为 2F1?3.23N，F2?2.15N，F3?1.08N
对天线根部产生的力矩为
M?135F1?F2?F3?7.54N?m 22237-11炉膛的烟气以速度V0=0.5m/s向上腾升，气体的密度为??0.25kg/m，动力粘性系数
??5?10?5N?s/m2，粉尘的密度???1200kg/m3，试估算此烟气能带走多大直径的粉尘？
【解】当粉尘受到的气流作用力和浮力大于重力时，粉尘将被气流带走。 气流作用于粉尘的力就是阻力FD:
FD?1?V2CDA 2A为迎风面积，粉尘可近似地作圆球，迎风面积就是圆面积。
Re=V0d/??1，则
CD?24/Re
FD?粉尘重量为 G=
???1??V2?24???d2?3??Vd ??2??Vd?13?d??g 613粉尘的浮力为 FB??d?g
6因此 F+FB?G
13?d(????)g?3??Vd 6d?代入数字，得
d?1.9556?10?4218?V
(????)gm, Re=?V0d/??0.49?1
37．12 使小钢球在油中自由沉降以测定油的粘度。已知油的密度??900kg/m，小钢球的直径d?3mm，密度??7788kg/m，若测得钢球最终的沉降速度v=12cm/s，求油的功力粘度。 【解】钢球所受阻力的计算公式为FD?CD?24/Re FD?钢球重量为 G=
'312?vCDA 2???122??v?24???d?3??vd ??2??vd?13?d??g 613钢球的浮力为 FB??d?g
6因此 F+FB?G
13?d(????)g?3??vd 6d?218?v
?(???)g代入数据，得到 ??0.28Pa?s
第九章 堰流与闸孔出流
9.1堰流的类型有哪些？它们有哪些特点？
答：堰流分作薄壁堰流、实用堰流、宽顶堰流三种类型。
薄壁堰流的特点：当水流趋向堰壁时，堰顶下泄的水流形如舌状，不受堰顶厚度的影响，水舌下缘与堰顶只有线接触，水面呈单一的降落曲线。
实用堰流的特点：由于堰顶加厚，水舌下缘与堰顶呈面接触，水舌受到堰顶的约束和顶托，越过堰顶的水流主要还是在重力作用下自由跌落。
宽顶堰流的特点：堰顶厚度对水流的顶托作用已经非常明显。进入堰顶的水流，受到堰顶垂直方向的约束，过流断面逐渐减小，流速增大，在进口处形成水面跌落。此后，由于堰顶对水流的顶托作用，有一段水面与堰顶几乎平行。
9.2堰流计算的基本公式及适用条件？影响流量系数的主要因素有哪些？
答：堰流计算的基本公式为Q??s?mb2gH，适用于矩形薄壁堰流、实用堰流和宽顶堰流。影响流量系数m的主要因素有局部水头损失、堰顶水流垂向收缩的程度、堰顶断面的平均测压管水头与堰上总水头之间的比例关系。
9.3 用矩形薄壁堰测量过堰流量，如何保证较高的测量精度？ 答：（1）上游渠宽与堰宽相同，下游水位低于堰顶；
（2）堰顶水头不宜过小，一般应使H>2.5m，否则溢流水舌受表面张力作用，使得出流不稳定； （3）水舌下面的空气应与大气相通，否则溢流水舌把空气带走，压强降低，水舌下面形成局部真空，会导致出流不稳。
9.4 基本的衔接与消能措施有哪几种？各自的特点是什么？ 答：基本的衔接与消能措施有底流消能，挑流消能，面流消能。
底流消能：底流消能就是在建筑物下游采取一定的工程措施，控制水跃的发生位置，通过水跃产生的表面旋滚的强烈紊动以达到消能的目的。
挑流消能：在泄水建筑物末端设置挑流坎，因势利导将水股挑射入空气中，使水流扩散并与空气摩擦，消耗部分动能，然后当水股落入水中时，又在下游水垫中冲击、扩散，进一步消耗能量。
面流消能：当下游水深较大而且比较稳定时，可将下泄的高速水流导向下游水流的表层，主流与河床之间被巨大的底部旋滚隔开，可避免高速水流对河床的冲刷。同时，依靠底部的旋滚消耗部分下泄水流的余能。 9.5 水跃衔接的形式有哪几种？工程上采用哪种形式的水跃衔接，为什么？ 答：水跃衔接的形式有3种形式，分别是临界水跃，远离水跃，淹没水跃。
远离水跃的跃前断面与建筑物之间有一急流段，流速大，对河床有冲刷作用，如果用这种方式消能，就必须对这段河床进行加固，工程量大，很不经济，所以工程上不采用远离水跃与下游水流衔接。淹没水跃衔接在淹没程度较大时，消能效率较低，也不经济。对于临界水跃，不论其发生位置或消能效果在工程
320上都是有利的，但这种水跃不稳定，如果下游水位稍有变动，就转变为远离水跃或淹没水跃。因此，综合考虑，采用淹没程度较小的淹没水跃进行衔接与消能较为适宜，在进行泄水建筑物消能设计时，一般要求
?'=1.05~1.1。
9.6 自由溢流矩形薄壁堰，上游堰高P1=3m，堰宽和上游渠宽相等均为2m，堰上水头 。 H?0.5m，求流量Q（流量系数m0?0.403?0.053H?0.0007）
P1H解：m0?0.403?0.05332H0.00070.50.0007??0.403?0.053??0.413 P1H30.5 Q?m0b2gH?1.29m3/s
9.7 一铅垂三角形薄壁堰，夹角??90°，通过流量Q?0.05m3/s，求堰上水头H。
2.47(H=0.05~0.25m时, Q?1.4H；H=0.25~0.55m，Q?1.343H)
52解：假设堰上水头H=0.05~0.25m，由公式Q?1.4H，计算得到H??不满足假设条件。
由公式Q?1.343H2.4752?Q???0.26m, ?1.4?25，计算得到H?0.26m，满足H=0.25~0.55m，所以堰上水头
H?0.26m。
9.8 某水库的溢洪道采用堰顶上游为三圆弧段的WES型实用堰剖面。堰顶高程为340m，上 下游河床高程均为315m，设计水头Hd?15m。溢洪道共5孔，每孔宽度b?10m，闸墩 墩头形状系数?0?0.51，边墩为圆弧形，其形状系数?k?0.7。求当水库水位为355m， 下游水位为332.5m时，通过溢洪道的流量。设上游水库断面面积很大，行近流速V0≈0。 （?1?1?0.2[(n?1)?0??k]H0） 'nb320，
解：流量计算公式为Q??1?smnb'2gH其中 H0?H?355?340?15m，因为H0?Hd，所以 m?md?0.502，
ht?332.5?315?17.5m，P2?340?315?25m，因为hs?ht?P2?0，为自由
出流，?s?1，
n?5，b'?10m，?1?1?0.2[(n?1)?0??k]得到 Q?5358m/s
3H015?1?0.2(4?0.51?0.7)?0.83， '50nb9.9 某溢流坝采用梯形实用堰剖面。已知堰宽及河宽均为15m，上、下游堰高均为4m，堰 顶厚度?=2.5m。上游堰面铅直，下游堰面坡度为1：1。堰上水头H?2m，下游水面在堰
顶以下0.5m。求通过溢流坝的流量Q。（不计行近流速）
折线型实用堰的流量系数表
下游坡度 a:b 1:1 1:2 1:3 1:5 1:10 P1/H 2.0 2~3 2~3 0.5~2 0.5~2 0.5~2 0.33 0.33 0.34 0.34 0.34 1.0 0.37 0.36 0.36 0.35 0.35 δ/H 0.75 0.42 0.40 0.40 0.37 0.36 0.5 0.46 0.42 0.42 0.38 0.36 解：由已知条件，得到无侧向收缩，?1?1；自由出流，?s?1；H0?H?2m，
P1??2，?1.25，a:b?1:1，查表得到流量系数 m?0.36， HHQ?mB2gH?0.36?15?19.6?2?95.6m3/s
2?29.10 图为通过宽顶堰的自由出流，试证明堰顶水深为h?H0。 21?2?
证明：宽顶堰自由出流时的堰顶水深，可用巴赫米切夫理论分析。巴赫米切夫最小理论假设：万物在重力场作用下，总要跌落到能量最小的地方。堰流也一样，在堰顶具有最小能量。当堰顶为水平时，最小单位能量时的水深就是临界水深hc，即堰上水深等于临界水深hc。
列断面1-1、c-c的伯努利方程
222?0v0?cvcvc?hc??? H? 2g2g2g32032令流速系数??1?c??，设?c?1，则局部水头损失系数??1?1。又有临界水深与临界流速的关2?2vc系为hc?2。将ζ和hc的关系式代入上式，得
2g2?0v0?1?11?H0?H??hc?hc???1hc 2??2g2???2整理后得到堰顶水深
2?2 h?hc?H0
1?2?29.11 有一无侧收缩宽堰自由出流，堰前缘修圆，水头H?1m，上、下游堰高均为0.5m，堰
3?宽B?2.5m，边墩为圆弧形。求过堰流量Q。（m?0.36?0.01P1HP1.2?1.51H，不计行近流
速）
解：由已知条件，得到?1?1，?s?1，H0?H?1m，P1?0.5m
0.51m?0.36?0.01?0.36?0.01?0.37
P10.51.2?1.51.2?1.51H3?3?P1HQ?mB2gH?0.37?2.5?19.6?1?4.09m3/s
9.12有一具有直角前缘的单孔宽顶堰自由出流，已知堰上水头H?1.8m，上、下游堰高均 为0.5m，堰上游渠宽B0?3m，堰顶宽度B?2m，边墩为圆弧形，求通过流量Q。
320323?（m?0.32?0.01P1HP1H，?1?1?310.2?P1H?40.46?0.75速）
BB(1?)，不计行近流 B0B0解：自由出流?s?1，P1?P2?0.5m，H0?H?1.8m，
P1?0.28，m?0.32?0.01H3?P1HP1H?0.32?0.010.46?0.753?0.28?0.36，
0.46?0.75?0.28?1?1?310.2?P1H?4BB122(1?)?1?3?4(1?)?0.61 B0B030.2?0.28332Q??s?1mB2gH?1?0.61?0.36?2?19.6?1.8?4.69m3/s
9.13 试证明宽顶堰上闸孔自由出流的流量计算公式为Q??eB2g(H0??2e)。
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