课后限时集训(三十三)
(建议用时：60分钟) A组 基础达标
一、选择题
1．(2020·武汉模拟)下列命题中正确的是( ) 1
A．函数y＝x＋的最小值为2
xx2＋3
B．函数y＝2的最小值为2
x＋2
4
C．函数y＝2－3x－(x＞0)的最小值为2－43
xx4
D．函数y＝2－3x－(x＞0)的最大值为2－43
44234
D [由x＞0知3x＋≥43，当且仅当3x＝，即x＝时等号成立，则2－3x－≤2
xx3x4
－43，因此函数y＝2－3x－(x＞0)的最大值为2－43，故选D.]
x14
2．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
ab79
A． B．4 C． D．5 22
141?14?1?b4a?9当且仅当b＝4a，C [由a＞0，b＞0，a＋b＝2知＋＝(a＋b)?＋?＝?5＋＋?≥，
ab2ab?ab?2?ab?24
即b＝2a＝时等号成立，故选C．]
3
3．(2020·太原模拟)已知x，y为正实数，则5A． 33C． 2D [
10B． 3D．3
4x3y＋的最小值为( ) x＋3yx4x3y4xx＋3y＋＝＋－1≥3， x＋3yxx＋3yx4xx＋3y＝，即x＝3y时，等号成立．故选D.] x＋3yx当且仅当
1?a＋b?，则( )
4．若a>b>1，P＝lg a·lg b，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg??2?2?A．R B．Q 第- 1 -页 共5页 C．P C [∵a>b>1，∴lg a>lg b>0， 1 (lg a＋lg b)>lg a·lg b， 2即Q>P.∵ D．P a＋b2 >ab，∴lg 3 a＋b1 >lgab＝(lg a＋lg b)＝Q，即R>Q，∴P 5．要制作一个容积为4 m，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A．80元 C．160元 B．120元 D．240元 C [设容器底面矩形的长和宽分别为a和b，容器的总造价为y元，则ab＝4，y＝4×20＋10×2(a＋b)＝20(a＋b)＋80，∵a＋b≥2ab＝4(当且仅当a＝b＝2时等号成立)，∴y≥160，故选C．] 二、填空题 6．(2020·山东高考)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为________． 8 [∵直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)， 12 ∴＋＝1， xyabxyabab4ab?12?∴2a＋b＝(2a＋b)?＋?＝4＋＋≥4＋2?ab? ba4ab·＝8， bab4a当且仅当＝，即a＝2，b＝4时，等号成立． ab故2a＋b的最小值为8.] 7．(2020·徐州模拟)已知正数a，b满足2a＋b＝3，则ab＋1的最大值为________． 2 [ab＋1＝ 2 2 2 22212222 ×2ab＋1≤×(2a＋b＋1)＝×(3＋1)＝2， 2224 22 2 当且仅当2a＝b＋1，且2a＋b＝3， 即a＝1，b＝1时，等号成立． 故ab＋1的最大值为2.] 8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝__________吨． 400 20 [每次都购买x吨，则需要购买次． 22 2 x∵运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元， 第- 2 -页 共5页 400 ∴一年的总运费与总存储费用之和为4×＋4x万元． x4004×400∵4×＋4x≥160，当且仅当4x＝时取等号， xx∴x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．] 三、解答题 389．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值； 22x－3(2)设0 183 [解] (1)y＝(2x－3)＋＋ 22x－32＝－? ?3－2x＋8?＋3. 3－2x??2?2 3 当x<时，有3－2x>0， 2∴ 3－2x8 ＋≥223－2x3－2x8 ·＝4， 23－2x3－2x81 当且仅当＝，即x＝－时取等号． 23－2x2355 于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－. 222(2)∵0 ∴当x＝1时，函数y＝x4－2x的最大值为2. 2－x≤2· x＋2－x2 ＝2，当且仅当x＝2－x，即x10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 82 [解] (1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， xy又x>0，y>0， 82 则1＝＋≥2 xy828·＝，得xy≥64， xyxy当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立． 所以xy的最小值为64. 第- 3 -页 共5页 82 (2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， xy2x8y?82?则x＋y＝?＋?·(x＋y)＝10＋＋ ?xy? yyx≥10＋2 2x8y·＝18. x当且仅当x＝12且y＝6时等号成立， 所以x＋y的最小值为18. B组 能力提升 1．已知x，y均为正实数，且A．24 C．20 C [∵x，y均为正实数，且 111＋＝，则x＋y的最小值为( ) x＋2y＋26 B．32 D．28 111＋＝， x＋2y＋26 则x＋y＝(x＋2＋y＋2)－4＝6?4≥6×2＋2 ?1＋1?(x＋2＋y＋2)－4＝6?2＋x＋2＋y＋2?－ ??y＋2x＋2??x＋2y＋2??? x＋2y＋2 ·－4＝20，当且仅当x＝y＝10时取等号． y＋2x＋2 ∴x＋y的最小值为20.] a4＋4b4＋1 2．(2020·天津高考)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________． ab4 [∵a，b∈R，ab>0， a4＋4b4＋14a2b2＋11∴≥＝4ab＋≥2ababab22 ?a＝2b， 1 4ab·＝4， ab? 当且仅当?1 4ab＝，?ab? 2 ?a＝，?2即? 2b＝??4 22 时取得等号． a4＋4b4＋1 故的最小值为4.] ab3．近来鸡蛋价格起伏较大，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a元/千克、b元/千克，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3千克鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为实惠)________．(在横线上填甲或乙即可) 第- 4 -页 共5页 3a＋3ba＋b202ab乙 [甲购买产品的平均单价为＝，乙购买产品的平均单价为＝. 621010a＋b＋ ab2aba－b∵－＝≥0，且两次购买的单价不同， 2a＋b2a＋b∴a≠b，∴ a＋b2 a＋b2 －2ab＞0， a＋b∴乙的购买方式的平均单价较小．故答案为乙．] 4．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)(单12 位：万元)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x＋10x(单位：万元)．当年产量不少于80千 310 000 件时，C(x)＝51x＋－1 450(单位：万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析， x该厂生产的商品能全部售完． (1)写出年利润L(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ [解] (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元，1212 依题意得，当0＜x＜80时，L(x)＝(0.05×1 000x)－x－10x－250＝－x＋40x－250； 33 10 000?10 000?， 当x≥80时，L(x)＝(0.05×1 000x)－51x－＋1 450－250＝1 200－?x＋?x? x? 1 －x＋40x－250，0＜x＜80，??3 则L(x)＝? ?x＋10 000?，x≥80. 1 200－???x??? 2 12 (2)当0＜x＜80时，L(x)＝－(x－60)＋950， 3此时，当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950. ?10 000?≤1 当x≥80时，L(x)＝1 200－?x＋200－2?? x? x· 10 000 ＝1 200－200＝1 000， x10 000 当且仅当x＝时，即x＝100时，L(x)取得最大值1 000. x因为950＜1 000，所以当年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．最大利润为1 000万元． 第- 5 -页 共5页