南京师范大学泰州学院本科毕业论文
a1?3tan?3?33，b1?3sin?3?332
由（2-1）得到a2，再由（2-2）得到b2，又通过（2-1）得到a3，通过（2-2）得到b3，如此一直得到a6和b6。而a6???b6。
需要说明的是,Archimedes并不是用我们这里的代数和三角符号而是用纯几何的方法推导的,并且也没有使用我们现在使用的小数表示(小数的正式使用是在十六、十七世纪的事),所以他从a1,b1出发推导出a6，b6是极为烦琐的,计算量是惊人的。
在公元前150年左右,希腊的天文学家Ptolemy制作了一份弦表,以半径的
160作为
长度单位,每一单位分为60分,每一分又分为50秒。他算出了圆心角1度所对弦长为1单位2分50秒,于是圆内接360边形的周长与直径之比是(360?1单位2分50秒)?120单位,即
??3?860?30602?377120?3.1416
这该是自Archimedes以来的巨大进步。
印度在公元500—1000年间,出现了四、五个有名的数学家,印度数学由此而出现了繁荣的景象。对圆周率得出最好近似值的是阿耶波多,他所得到的近似值是3.1416,但直到十二世纪前后印度数学家始终没有使用过该值。在他的《阿耶波多书》里,他是这样说的:100加4,乘以8,再加62000,结果是直径为20000的圆周的近似值,这就导致了圆周率为3.1416,由于书中没有一处地方提示过证明的方法,所以我们无从得知他是如何得出该结果的,但从其准确性上看,他应该是通过推算得出的。出生于1119年的巴士卡拉给圆周率提出了两个值,“当圆的直径乘以3927再除以1250时,商就接近于圆周,要么乘以22再除以7,便是大致的圆周了。”因此,我们自然会认为巴士卡拉能够推算出圆周率的值是:
3.141?63927??1250?22?73.1 429下面看中国,刘徽是三世纪中国著名的数学家,他是用割圆术来求圆周率的。作圆内
Sn为内接n边形的面积,S表示圆的面积,L接正n和2n边形,设Ln为内接n边形的周长，
表示圆的周长,圆的半径为r。如下的式子[2]成立:
Ln?r?2?S2n?S,Ln?L?n???
从而有S?L?r?2
他算到192边形时得到314.1024?100??314.2704。刘徽用
15750?3.14表示圆周率，被
称为“徽率”。刘徽所建立的一般公式S2n?S?Sn?2?S2n?Sn?可以把圆周率计算到任意的精度，它比阿基米德用内接和外切双方逼近的方法更为简洁。在刘徽之后两百年，南
北朝人祖冲之应用刘徽的割圆术，在刘徽的基础上继续推算，球出了精确的七位有效数字的圆周率的值：3.1415926???3.1415927。在《中国科学技术史》中,李约瑟博士指：
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“在这个时期,中国人不久赶上了希腊人,并且在公元五世纪祖冲之和他的儿子祖暅的计算中又出现了跃进,从而使他们领先了一千年。”
祖冲之所得圆周率的精度保持了记录达一千年,直到十五世纪中亚数学家al-Kashi和十六世纪法国数学家Viete才计算出更精确的值,前者到第十四位,后者到第九位。到欧洲文艺复兴之前,圆周率的最好结果是公元1600年Van Ceulen所得的第35位。
2.2.3解析计算时期
欧洲的文艺复兴带来了一个崭新的数学世界?,数学公式的出现使圆周率的计算进入了一个新的阶段,最早的公式之一是数学家Willis所得的:
2??1?3?3?5?5?7?2?2?4?4?6?6?131517
二最著名的公式是：
?4?1?????
该公式有时被归功于Leibniz(1646-1716),但首先发现该公式的似乎应该是数学家 James Gregory(1638-1675)。
在当时这些公式是令人惊奇的,原因是等式的右边完全是算术的,而?是从几何中来的,在以前的计算中一直使用的是几何的方法。但从计算?的角度看,这些公式其实并没有太大的价值。例如,在Gregory的公式中,要使?的准确度达到小数点后4位,要求误差小于0. 00005=1/20000,这将需要计算到级数的第10000项。但是Gregory给出的一个一
般的公式却在计算?时非常有用,该公式[2]是：
?6?1?111?1??????? 3?35?3?37?3?3?33??该结果右边的级数收敛是很快的,其第10项是119?3?93它小于0.00005,所以只要计
算到级数第9项,就可以得到至少小数点后4位准确值,利用下面的公式也可以计算出?的值,只需要把
?4?tan?112和
13分别代如前面的Gregory的一般公式就可以了。
a
??1??1?1??1?1??1?1?如果能够找到一个形如?tan?tan?tan????????具有较大的数
4?2??3??a??b?和b,这样利用一般公式时就能得到较快收敛的级数,在1706年Machin发现了一个这样的公式：
?4?4tan?1?1??1???tan?5?d?1????239?在这里插入符号?的由来。在1647年的时
候,Oughtred曾使用符号
?r?来表示圆的直径与周长之比,在1697年,David Gregory曾用
表示圆的周长与半径之比,首次用?表示现在意义的是数学家WilliamJones在1706年
使用的,大数学家Euler在1737年采用了该符号,接着它便很快成为了标准的符号。
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由于计算公式己经有了,除了需要耐心外,?的计算已经没有什么困难了,而追求更高精度的计算其实没有什么太大的意义了。但还是有一些人花费了巨大的时间和精力用于对?的计算。一个相当典型的例子就是英国人Shanks,他用二十多年的时间算出了小数点后707位,其结果于1837年发表,遗憾的是1945年,Ferguson发现只有前572位是正确的。
在Shanks的结果发表之后不久,中国著名的科学家、数学家李善兰在用尖锥术求圆面积时得到了如下式子: ??4?4????23?1112?4?15?1?32?4?6?1????这也是中国在这一7?时期圆周率计算的代表之一。
在Shanks己知道?是一个无理数。因为早在1761年数学家Lambert就己证明该结果。在Shanks计算?之后不久,Lindemann证明了?是一个超越数,这就意味着?不可能是任何整系数多项式方程的解,这也说明了所谓的“化圆为方”是不可能。
通过纸笔计算去追求圆周率的更高精度,既没意义,也需要太多的精力,并且所得精度也是有限度的,表2-1给出了此时期几个有名的成果[5],Shanks的527的精度保持了很长时间的世界记录,一直到现代计算机的运用。
表2-1 解析法计算圆周率的成果
年代 1665 1699 1706 1719 1794 1844 1873 1946 1948
计算人 I.Newton A.Sharp J.Machin T.de Lagny G.Vega J.Dase W.Shanks D.Ferguson J.Wrench
国籍 英国 英国 英国 法国 奥地利 德国 英国 英国 美国
位数 16 72 100 127 140 205 527 620 808
2.2.4计算机运算时期
前面长达3000多年的时代,数学家们都是用手计算?值,有的甚至花毕生的精力来做这些繁杂的计算工作,多少代数学家的努力,在1948年两个美国人将记录推至小数点后808位,这是人工手算圆周率的新的记录。但是,随着1945年第一台电子计算机问世后,?值的计算不断迈入新的阶段,记录不时被刷新,1949年,三位美国科学家利用计算机将圆周率算至小数点后2037位,前后花去70个小时的上机时间（见表2-2）。随着数学的发展,数学家们在进行数学研究时有意无意的发现了许多计算圆周率的公式,运用数学分析和计算机技术使得?值越来越精确,2002年12月日本东京大学的金田康正教授宣布,耗费601小时56分更新了圆周率计算位数的全球记录,最新的为12411亿位。
在使用计算机计算的时代,圆周率的计算公式和计算方法也不断更新,其中基于1914年印度数学家拉玛奴扬(Ramanujan,S.1887-1920年)的文章 “模方程和?的逼近”中提出的当时计算?值最快的公式,建立了椭圆积分变换理论上的计算方法在日本由金田教授和日立共同开发的名为分解有理数化法(DRM法)的计算方法。
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表2-2 借助计算机计算圆周率部分结果
年代 1949 1955 1957 1958 1959 1959 1961 1966 1967 1986 1987 1988
所用计算机 ENIAC NORC PEGASUS IBM704 IBM704 IBM7090 IBM7090 IBM7030 CDC6600 CLAY-2 SX-2
HIT ACS-820/80
计算者国籍 美国 美国 英国 法国
法国 英国 美国 法国 法国 美国 日本 日本
计算位数 2035 3089 7480 10000 16167 20000 100265 250000 500000 29360000 133326000 201326000
事实上,我们在实际运算中往往只取?的前几位数就可以了,但是人们为什么仍然对?的精确推算乐此不疲呢?德国的一位数学家曾经说过：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度,可以作为衡量这个国家当时数学发展的一个标志。”纵观?的计算发展史,可见此话确有一番道理.在计算机技术高度发达的今天,计算?值又被认为对测试计算机的性能具有科学价值,如上述提到的日立公司认为通过计算圆周率,可以进一步提高编译器、数值计算和节点间通信的程序库、磁记录设备的输入输出性能调节以及长时间高速稳定运行技术。
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