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2016年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知复数i?（1+ai）为纯虚数，那么实数a的值为（ ） A．﹣1 B．0 C．1 D．2

2．集合A={x|x≤a}，B={x|x2﹣5x＜0}，若A∩B=B，则a的取值范围是（ ） A．a≥5 B．a≥4 C．a＜5 D．a＜4

3．某单位共有职工150名，其中高级职称45人，中级职称90人，初级职称15人．现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称人数分别为（ ） A．9，18，3 B．10，15，5 C．10，17，3 D．9，16，5 4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

A． B．1 C．2 D．4

5．在极坐标系中，直线ρsinθ﹣ρcosθ=1被曲线ρ=1截得的线段长为（ ） A．

B．1

C．

D．

6．一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的最长棱长为（ ）

..

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A．2 B． C．3 D．

7．已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）那么以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的短轴长为（ ） A．3 B．6 C．9 D．12 8．已知

1， 2为平面上的单位向量， 1与2的起点均为坐标原点O， 1与2夹角为

．平

面区域D由所有满足为（ ） A．

B．

C．

=λ

1+μ2的点

P组成，其中，那么平面区域D的面积

D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在

的展开式中，x3的系数值为______．（用数字作答）

10．已知等比数列{an}中，a2=2，a3?a4=32，那么a8的值为______．

11．如图，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，若CP=AC，则∠COA=______；AP=______．

12．若，且，则sin2α的值为______．

13．某货运员拟运送甲、乙两种货物， 每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表：货物 体积（升/件） 重量（公斤/件） 利润（元/件）

20 10 8 甲

10 20 10 乙

110 100 运输限制

在最合理的安排下，获得的最大利润的值为______． 14．已知函数f（x）=|lnx|，关于x的不等式f（x）﹣f（x0）≥c（x﹣x0）的解集为（0，+∞），其中x0∈（0，+∞），c为常数．当x0=1时，c的取值范围是______；当

时，c的值是

______．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．在△ABC中，（Ⅰ）求AB的长度；

，AC=2，且

．

..

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（Ⅱ）若f（x）=sin（2x+C），求y=f（x）与直线相邻交点间的最小距离．

AC=2，，

16．A1A⊥底面ABC，A1A=1，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，E、F分别为棱C1C、BC的中点． （Ⅰ）求证 AC⊥A1B；

（Ⅱ）求直线EF与A1B所成的角；

（Ⅲ）若G为线段A1A的中点，A1在平面EFG内的射影为H，求∠HA1A．

17．现有两个班级，每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打只打一场比赛）．根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间如表所示，现只有一块比赛场地，各场比赛的出场顺序等可能． 比赛项目 男单 女单 混双

25分钟 20分钟 35分钟 平均比赛时间

（Ⅰ）求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率； （Ⅱ）求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行；

（Ⅲ）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可）．

18．设函数f（x）=aex﹣x﹣1，a∈R． （Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围； （Ⅲ）求证：当x∈（0，+∞）时，ln

＞．

19．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），焦点F，O为坐标原点，直线AB（不垂直x轴）过点F且与抛物线C交于A，B两点，直线OA与OB的斜率之积为﹣p． （Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）若M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点D，求证：

．

20．数列{an}中，给定正整数m（m＞1），

足ai+1≤ai（i=1，2，…，m﹣1），称数列{an}的前m项单调不增． （Ⅰ）若数列{an}通项公式为：（Ⅱ）若数列{an}满足：

．定义：数列{an}满

，求V（5）．

，求证V（m）=a

﹣b的充分必要条件是数列{an}的前m项单调不增． （Ⅲ）给定正整数m（m＞1），若数列{an}满足：an≥0，（n=1，2，…，m），且数列{an}的前m项和m2，求V（m）的最大值与最小值．（写出答案即可）

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2016年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知复数i?（1+ai）为纯虚数，那么实数a的值为（ ） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部为0求得a的值． 【解答】解：∵i?（1+ai）=﹣a+i为纯虚数， ∴﹣a=0，即a=0． 故选：B．

2．集合A={x|x≤a}，B={x|x2﹣5x＜0}，若A∩B=B，则a的取值范围是（ ） A．a≥5 B．a≥4 C．a＜5 D．a＜4 【考点】集合的包含关系判断及应用． 【分析】由x2﹣5x＜0，可得B=（0，5），再利用集合的运算性质即可得出． 【解答】解：由x2﹣5x＜0，解得0＜x＜5， ∴B=（0，5），

∵A∩B=B，∴a≥5． 则a的取值范围是a≥5． 故选：A．

3．某单位共有职工150名，其中高级职称45人，中级职称90人，初级职称15人．现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称人数分别为（ ） A．9，18，3 B．10，15，5 C．10，17，3 D．9，16，5 【考点】分层抽样方法．

【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系，即可求出各职称分别抽取的人数． 【解答】解：用分层抽样方法抽取容量为30的样本， 则样本中的高级职称人数为30×中级职称人数为30×初级职称人数为30×

=18， =3．

=9，

故选：A．

4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

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