扶梯问题

知识精讲

1．扶梯问题

扶梯问题与流水行船问题十分相像，区别只在与这里的速度并不是我们常见的“千米每小时”，或者“米每秒”，而是“每分钟走多少个台阶”，或是“每秒钟走多少个台阶”．从而在扶梯问题中“总路程”并不是求扶梯有多少“千米”或者多少“米”，而是求扶梯的“静止时可见台阶总数”． 2．扶梯问题解题关键

当人顺着扶梯的运动方向走台阶时，相当与流水行船中的“顺水行驶”，这里的水速就是扶梯自身的台阶运行速度．有：人的速度+扶梯速度=人在扶梯上的实际速度；扶梯静止可见台阶总数=时间×人速+时间×扶梯速=人走的台阶数+扶梯自动运行的台阶数．

当人沿着扶梯逆行时，有：人的速度-扶梯速度=人在扶梯上的实际速度扶梯静止可见台阶总数=时间×人速-时间×扶梯速=人走的台阶数-扶梯自动运行的台阶数．

三点剖析

重难点：扶梯问题．

题模精讲

题模一 基础扶梯问题

例1.1.1、

自动扶梯由下向上匀速运动，每秒向上移动了1级台阶．阿呆在扶梯顶部开始往下行走，每秒走3级台阶．已知自动扶梯的可见部分共100级，那么阿呆从顶部走到底部的过程中，自动扶梯移动了___________级台阶．

答案：

50

解析：

秒，阿呆从顶部走到底部共用了50秒，这段时间扶梯移

动了50级．

例1.1.2、

自动扶梯由上向下匀速运动，甲从顶部向下匀速运动，甲从顶部向下走到底部，共走了90级；乙从底部向上走到顶部，共走了120级．如果乙的速度是甲的速度的2倍，那么扶梯可见部分共有多少级？

答案：

108

解析：

甲、乙的时间比是，所以扶梯可见部分共有级．

例1.1.3、

甲在商场中乘自动扶梯从一层到二层，并在顺扶梯运行方向向上走，同时乙站在速度相等的并排扶梯从二层到一层（乙不动，由电梯运载），当甲乙处于同一高度时，甲反身向下走，结果他走了60级到达一层，如果他到了顶端再从上行扶梯返回，则要往下走80级．那么，自动扶梯静止时露在外面的有__________级．

答案：

40

解析：

根据两个已知的数据60与80联立方程，设电梯速度为V，甲速度为，

电梯级数为S，那么由题意可知乙速度=电梯速度=V．由于甲乙同时出发，两梯速度一致，当他们处于同一高度时候，所用的时间也一样，此时的高度

．此时甲开始转身往下走，走下底端用时为T，

，所以

，得到

例1.1.4、

，，得

，电梯级数=40级．

阿呆和阿瓜比赛攀登自动扶梯，已知他俩攀登扶梯的速度分别为每秒2级台阶和每秒3级台阶，电梯运行后，他俩沿电梯运行方向从一楼登上二楼，分别用时40秒和30秒．那么阿呆攀登静止的电梯需要用________秒．

答案：

60

解析：

阿呆、阿瓜的时间比是扶梯的速度是

级，阿呆攀登静止的电梯需要用

例1.1.5、

，所以阿呆、阿瓜的速度比是级/秒，所以扶梯台阶有

秒．

，即

商场里有一架向上的自动扶梯，甲、乙两人都从1楼乘扶梯到2楼，其间甲向上走了14级台阶，乙向下走了28级台阶，甲、乙的速度比为3:2，请问扶梯可见部分共有多少级台阶？

答案：

35

解析：

甲、乙所走的台阶数之比为，速度比为，故时间比为

，故扶梯所走的台阶数之比为1:3，且相差

甲走时，扶梯运行了

例1.1.6、

级．因此，级．

级，可见部分共有

电梯静止时，30秒内男孩走27级，女孩走了24级，按此速度，两个孩子逆着自动扶梯的方向行走，男孩2分钟到达另一端，而女孩需要两分半钟才能到达，该扶梯静止时共有__________级．

答案：

60

解析：

．各速度满足关系

，解得．

，电梯共