第十二编 概率与统计 12.1 随机事件的概率
基础自测
1.下列说法正确的是
（ ）
A.某事件发生的频率为P(A)=1.1
B.不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1
C.小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然发生的事件 D.某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的 答案 B
2.在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为A. P(A)≈C. P(A)＞
mnmnmn，当n很大时，P(A)与B. P(A)＜D. P(A)=
mnmn的关系是 （ ）
mn答案A
3.给出下列三个命题，其中正确命题有
( )
①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是A.0个
B.1个
37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.
C.2个
D.3个
答案A
4.已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8，0.12，0.05，则这台纺纱机在1 小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为 ， . 答案 0.97 0.03
5.甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是答案
5612,乙获胜的概率是
13，则乙不输的概率是 .
126.抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P（A）=
=
16，P（B）
，则出现奇数点或2点的概率之和为 .
23答案
例1 盒中仅有4只白球5只黑球，从中任意取出一只球. （1）“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？
1
（2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？ （3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？
解 （1）“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生，因此它是不可能事件，其概率为0. （2）“取出的球是白球”是随机事件，它的概率是
49.
（3）“取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然要发生，因此它是必然事件，它的概率是1. 例2 某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：
射击次数n 击中10环次数m 击中10环频率mn10 8 20 19 50 44 100 93 200 178 500 453 （1）计算表中击中10环的各个频率；
（2）这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？
解 （1）击中10环的频率依次为0.8，0.95，0.88，0.93，0.89，0.906. （2）这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约是0.9.
例3 （12分）国家射击队的某队员射击一次，命中7～10环的概率如下表所示：
命中环数 概率 求该射击队员射击一次 （1）射中9环或10环的概率； （2）至少命中8环的概率； （3）命中不足8环的概率.
解 记事件“射击一次，命中k环”为Ak（k∈N，k≤10），则事件Ak彼此互斥. 的加法公式得
P（A）=P（A9）+P（A10）=0.32+0.28=0.60. 件概率的加法公式得
P（B）=P（A8）+P（A9）+P（A10） =0.18+0.28+0.32=0.78.
9分
5分
（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生.由互斥事
2分
（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件
10环 0.32 9环 0.28 8环 0.18 7环 0.12 （3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件：即B表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得 P（B）=1-P（B）=1-0.78=0.22.
12分
1.在12件瓷器中，有10件一级品，2件二级品，从中任取3件. （1）“3件都是二级品”是什么事件？ （2）“3件都是一级品”是什么事件？ （3）“至少有一件是一级品”是什么事件？
解 （1）因为12件瓷器中，只有2件二级品，取出3件都是二级品是不可能发生的，故是不可能事件. （2）“3件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故是随机事件.
2
（3）“至少有一件是一级品”是必然事件，因为12件瓷器中只有2件二级品，取三件必有一级品. 2.某企业生产的乒乓球被08年北京奥委会指定为乒乓球比赛专用球.日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：
抽取球数n 优等品数m 优等品频率mn50 45 100 92 200 194 500 470 1 000 954 2 000 1 902 （1）计算表中乒乓球优等品的频率；
（2）从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？（结果保留到小数点后三位） 解 （1）依据公式p=0.954，0.951.
（2）由（1）知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值虽然不同，但随着抽取球数的增多，却都在常数0.950的附近摆动，所以抽取一个乒乓球检测时，质量检查为优等品的概率为0.950. 3.玻璃球盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中取1球. 求：（1）红或黑的概率； （2）红或黑或白的概率.
解 方法一 记事件A1：从12只球中任取1球得红球； A2：从12只球中任取1球得黑球； A3：从12只球中任取1球得白球； A4：从12只球中任取1球得绿球，则 P（A1）=
512mn，可以计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900，0.920，0.970，0.940，
，P（A2）=
412，P（A3）=
212，P（A4）=
112.
根据题意，A1、A2、A3、A4彼此互斥， 由互斥事件概率加法公式得 （1）取出红球或黑球的概率为 P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=
512+
412=
34.
（2）取出红或黑或白球的概率为 P（A1+A2+A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3） =
512+
412+
212=
1112.
方法二 （1）取出红球或黑球的对立事件为取出白球或绿球，即A1+A2的对立事件为A3+A4， ∴取出红球或黑球的概率为
P（A1+A2）=1-P（A3+A4）=1-P（A3）-P（A4） =1-212-
112=
912=
34.
（2）A1+A2+A3的对立事件为A4. P（A1+A2+A3）=1-P（A4）=1-112=
1112.
3
一、选择题
1.已知某厂的产品合格率为90%，抽出10件产品检查，则下列说法正确的是 A.合格产品少于9件 C.合格产品正好是9件 答案D
2.某入伍新兵的打靶练习中，连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的互斥事件是 A.至多有1次中靶 C.2次都不中靶 答案C
3.甲:A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 答案B
4.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是 A.
5216 （ ）
B.合格产品多于9件 D.合格产品可能是9件
（ ）
B.2次都中靶
D.只有1次中靶
（ ）.
C.
31216
D.
91216
（ ）
B.
25216
答案 D
5.一个口袋内装有一些大小和形状都相同的白球、黑球和红球，从中摸出一个球，摸出红球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.5，则摸出黑球的概率是 A.0.8
B.0.2
答案B
6.在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站（假定这个车站只能停靠一辆公共汽车），有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为 A.0.20 二、填空题
7.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为率为
1437
（ ）
C.0.5 D.0.3
（ ）
B.0.60 C.0.80 D.0.12
答案C
，乙夺得冠军的概
，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 .
1928答案
8.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为 . 答案 50% 三、解答题
9.某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28，计算这个射手在一次射击中： （1）射中10环或9环的概率； （2）不够7环的概率.
解 （1）设“射中10环”为事件A，“射中9环”为事件B，由于A，B互斥，则
4