例2 街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm的小 圆板，规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在正方形的边，可重掷一次；若掷在正方形内，须再交5角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上，可获1元钱.试问： （1）小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？ （2）小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？

解 （1）考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7 cm和9 cm的正方形围成的区域内，所以概率为

92?7922=

3281.

14（2）考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的圆内，因正方形有四个顶点，所以概率为

?92??81.

例3 （12分）在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，含有麦锈病 种子的概率是多少？从中随机取出30毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？ 解 1升=1 000毫升，

9分

12分 2分 4分 7分

记事件A：“取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”. 则P（A）=

101000=0.01，即取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率为0.01.

记事件B：“取30毫升种子含有带麦锈病的种子”. 则P（B）=

301000=0.03，即取30毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为0.03.

例4 在Rt△ABC中，∠A=30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M，求使|AM|＞|AC|的概率. 解 设事件D“作射线CM，使|AM|＞|AC|”.

在AB上取点C′使|AC′|=|AC|，因为△ACC′是等腰三角形， 所以∠ACC′=

?180??302?=75°,

1590A=90-75=15，?Ω=90，所以，P（D）=

=

16.

例5 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离 去.求两人能会面的概率.

解 以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x-y|≤15.在如图所示平面直角坐标系下，（x,y）的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.由几何概型的概率公式得： P（A）=

SAS=

602?4522=

3600?20253600=

716.

60所以，两人能会面的概率是

716.

1.如图所示，A、B两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C、D，问A与C，B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少？

解 记E：“A与C，B与D之间的距离都不小于10米”，把AB三等分，由于中间长度为303

13=10（米），

13

∴P（E）=

1030=

13.

2.（20082江苏，6）在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率为 . 答案

?16

3.如图所示，有一杯2升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率.

解 记“小杯水中含有这个细菌”为事件A，则事件A的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件.

∵?A=0.1升，?Ω=2升， ∴由几何概型求概率的公式， 得P（A）=

?A?Ω=

0.12=

120=0.05.

4.在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率. 解 如图所示，把圆弧 三等分，则∠AOF=∠BOE=30°，记A为“在扇形AOB内作一射线OC，使 ∠AOC和∠BOC都不小于30°”，

要使∠AOC和∠BOC都不小于30°，则OC就落在∠EOF内， ∴P（A）=

3090??=

13.

5.将长为l的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.

解 设A=“3段构成三角形”，x,y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l-x-y. 则试验的全部结果可构成集合

Ω={（x，y）|0＜x＜l,0＜y＜l,0＜x+y＜l},

l2要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第3段，即x+y>l-x-y?x+y＞y＜

l2,x+l-x-y＞y

?,y+l-x-y＞x?x＜

l2.

故所求结果构成集合 A=?(x,y)|x???y?l2,y?l2,x?l??2?.

由图可知，所求概率为

1?l????2?2?l22P（A）=

A的面积Ω的面积==

14.

2

一、选择题

14

1.在区间（15，25］内的所有实数中随机取一个实数a,则这个实数满足17＜a＜20的概率是（ ）

A.

13�� B.

12�� C.

310 D.

710��

答案��C��

2.在长为10厘米的线段AB上任取一点G，用AG为半径作圆，则圆的面积介于36?平方厘米到64?平方厘米的概率是

A.C.

925

( )

��

B. D.

1625��

31015��

答案��D��

3.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是 A.

112

B.

38 ��

C.

116

D.

56 ��

( )

��

答案��C��

4.如图为一半径为2的扇形（其中扇形中心角为90°），在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为

( )

A.

2?�� B.

1?�� C.

12 D.1-

2?��

答案��D

5.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于

A.

14S4的概率是

D.

23 ��

( )

�� B.

12�� C.

34

答案��C

6.已知正方体ABCD—A1B1C1D1内有一个内切球O,则在正方体ABCD—A1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是 A.

?4 ��

B.

?8

C.

?6

( ) D.

?12�� ��

答案��C 二、填空题

7.已知下图所示的矩形，其长为12，宽为5.在矩形内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为 .

15

答案 33

8.在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于答案

1725

65”的概率为 .

三、解答题

9.射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环，从外向内白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色， 金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径是122 cm，靶心直径12.2 cm,运动员在70米 外射箭，假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，求射中“黄心”的概率. 解 记“射中黄心”为事件A，由于中靶点随机的落在面积为内，而当中靶点在面积为的概率

114?3122 cm的大圆

22

14?312.2 cm的黄心时，事件A发生，于是事件A发生

22

P（A）=

414??12.2??1222=0.01,

2所以射中“黄心”的概率为0.01.

10.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6∶30至7∶30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7∶00至8∶00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？ 解 设事件A“父亲离开家前能得到报纸”.在平面直角坐标系内，以x和y分别表示报纸送到和父亲离开家的时间，则父亲能得到报纸的充要条件是x≤y,而（x,y)的所有可能结果是边长为1的正方形，而能得到报纸的所有可能结果由图中阴影部分表示，这是一个几何概型问题，?A=1-122

123

3

12=

78，?Ω =1，

?A所以P（A）=

?Ω=

78.

11.已知等腰Rt△ABC中，∠C=90°.

（1）在线段BC上任取一点M，求使∠CAM＜30°的概率； （2）在∠CAB内任作射线AM，求使∠CAM＜30°的概率. 解 （1）设CM=x，则0＜x＜a.（不妨设BC=a）. 若∠CAM＜30°，则0＜x＜故∠CAM＜30°的概率为

?3?区间?0,a?的长度??3??区间(0,a)的长度33a，

P（A）==

33.

（2）设∠CAM=?，则0°＜?＜45°. 若∠CAM＜30°，则0°＜?＜30°，

16