故∠CAM＜30°的概率为 P（B）=
(0,30)的长度(0,45)的长度???=
23.
2
2
12.设关于x的一元二次方程x+2ax+b=0.
（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.
（2）若a是从区间［0，3］任取的一个数，b是从区间［0，2］任取的一个数，求上述方程有实根的概率.
解 设事件A为“方程x+2ax+b=0有实根”.
当a≥0,b≥0时，方程x+2ax+b=0有实根的充要条件为a≥b. （1）基本事件共有12个：
（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1）， （3，2）.
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值. 事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为 P（A）=
9122
2
2
2
=
34.
（2）试验的全部结果所构成的区域为 {(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}. 构成事件A的区域为
{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}. 所以所求的概率为
3?2?12?22P(A)=
3?2=
23.
§12.4 离散型随机变量及其分布列
1.袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为 A.25 答案 C
2.下列表中能成为随机变量X的分布列的是 A.
X P B.
X P C.
1 0.4 2 0.7 3 -0.1 -1 0.3 0 0.4 1 0.4
（ ）
D.6
（ ）
B.10
C.7
基础自测
17
X P D.
X P 答案 C
-1 0.3 0 0.4 1 0.3 1 0.3 2 0.4 3 0.4 3.已知随机变量X的分布列为P（X=i）=
A.
19i2a（i=1，2，3），则P（X=2）等于
C.
13 D.
14
（ ）
B.
16
答案 C
4.一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽两件，其中出现次品的概率 是 . 答案
X 0 1 5.若X的分布列为 则常数c= .
2P 9c-c 3-8c 答案
例1 一袋中装有编号为1，2，3，4，5，6的6个大小相同的球，现从中随机取出3个球，以X表示取出的最大号码. （1）求X的分布列； （2）求X＞4的概率.
解 （1）X的可能取值为3，4，5，6，从而有： P（X=3）=
C3C36147245
13
3=
1202，
P（X=4）=
C1?C3C63=
320，
P（X=5）=
C1?C4C6312=
310，
P（X=6）=
C1?C5C3612=
12.
故X的分布列为
X P 3 1204 3205 3106 12 18
（2）P（X＞4）=P（X=5）+P（X=6）=
310?510=
45.
例2 （12分）某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数，求X的分布列. 解 依题意随机变量X服从超几何分布， 所以P（X=k）=
0C6C4C104k4?k（k=0，1，2，3，4）.
1210 4分
∴P（X=0）=P(X=2)= P(X=4)=
C6C4C1044=
37,P(X=1)=
3C6C4C10413=
435,
C6C4C10422==
,P(X=3)= ,
C6C4C1041=
821,
C6C44C1040114
∴X的分布列为
X P 0 12101 4352 373 8214 114 12分
例3 设离散型随机变量X的分布列为
X P 求：（1）2X+1的分布列； （2）|X-1|的分布列. 解 由分布列的性质知： 0.2+0.1+0.1+0.3+m=1，∴m=0.3. 首先列表为：
X 2X+1 |X-1| 从而由上表得两个分布列为： （1）2X+1的分布列：
2X+1 P （2）|X-1|的分布列：
|X-1| P 0 0.1 1 0.3 2 0.3 3 0.3 1 0.2 3 0.1 5 0.1 7 0.3 9 0.3 0 1 1 1 3 0 2 5 1 3 7 2 4 9 3 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m
1.袋中有3个白球，3个红球和5个黑球.从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球扣1分，取得1个黑球得0分.求所得分数?的分布列. 解 得分?的取值为-3，-2，-1，0，1，2，3.
?=-3时表示取得3个球均为红球，
19
∴P（?=-3）=
?C3C1133=
1165；
=-2时表示取得2个红球和1个黑球，
C3C5C11321∴P（?=-2）=
?=
111；
=-1时表示取得2个红球和1个白球，或1个红球和2个黑球，
C3C3?C3C53C112112∴P（?=-1）=
??1355；
=0时表示取得3个黑球或1红、1黑、1白，
C5?C3C3C5C1133111∴P（?=0）=
??13；
=1时表示取得1个白球和2个黑球或2个白球和1个红球， ∴P（?=1）=
C3C5?C3C3C1131221?1355；
?=2时表示取得2个白球和1个黑球，
C3C5C11321∴P（?=2）=
?111；
C33C113?=3时表示取得3个白球，∴P（?=3）=
?1165；
∴所求分布列为：
? -3 1165-2 111-1 13550 131 13552 1113 1165P 2.袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机地抽取4个球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分. （1）求得分X的分布列； （2）求得分大于6的概率.
解 得分X的所有可能值为：5，6，7，8. （1）P（X=5）=P（X=6）=P（X=7）=P（X=8）=
C4C3C73412213C4C3C?47?435,
18351235135, , .
C4C3C7440?C4C3C74?∴X的分布列为
X P
（2）得分大于6的概率为： P（X=7）+P（X=8）=
12355 4356 18357 12358 135 +
135=
1335.
3.已知随机变量?的分布列为
20