8. 设 B 的各位数字之和为 C，∵ lg44444444= 4444lg4444 < 4444×4= 17776，即44444444 的位数小于17776，∴ A ≤ 9×17776 = 159984，B < 1 + 9×5 = 46，C ≤ 4 + 6 = 10. 又 ∵（7，9）= 1，?(9) = 6，4444= 6×740+4，44444444 ≡ 7 4444 ≡ 74 ≡ (－2)4 ≡ 7（mod 9），∴ B 的各位数字之和为 7.

9.（1）∵ 2730=2×3× 5× 7× 13，2，3，5，7，13两两互质，x13- x= x（x12- 1）， ∴当 2 | x或 2 | x时都有 x（x12-1）≡ 0（mod 2），x（x12- 1）≡ 0（mod 13）. 又 ∵x13-x= x（x6- 1）（x6+ 1），∴ 当 7 | x或 7 | x时都有 x（x6- 1）（x6+ 1）≡ 0（mod 7）.而x13- x= x（x4- 1）（x8+ x4+ 1），∴ 当 5 | x或 5 | x时，都有 x（x4-1）（x8+ x4+ 1）≡ 0（mod5）.又 x13- x= x（x2-1）（x2+ 1）（x8+ x4+ 1），∴ 当 3 | x或 3 | x时，都有x（x2-1）（x2+ 1）（x8+ x4+ 1）≡ 0（mod3）. ∴ 2730 | x13- x. （2）解法一，同上。解法二： x（x+2）（25x2-1）= 24 x3（x+2）+ x（x+2）（x2-1）, x（x+2）（x2-1）= x（x-1）（x+1）（x+2），四个连续自然数的乘积必能被4!=24整除，证得。10. 设质数 p>3，x∈Z，试证：6p | xp- x.

11. p是不等于 2和 5的质数，k是自然数，证明：p|9999.

?p?1?p个9解答：10. ∵质数 p> 3，∴ （6，p）=1，xp- x= x（xp-1- 1）≡ 0（mod p）. 又 p- 1是偶数，∴x（xp-1-1）≡ x（x2- 1）…（mod p）. 于是，当 2 | x或 2 | x 时，x（x2- 1）≡ 0（mod 2）；当 3 | x或 3 | x时，x（x2-1）≡ 0（mod 3）.故 x（xp-1- 1）≡ 0（mod 6）.从而6 | p（xp- x）. 11. 99（10，p）= 1，∴ 10p-1≡ 1（mod p）. 99?10?p?1?k?1. 由条件，

?p?1?k个9∴ （10p-1）k≡ 1（mod p）. ∴ p|99?(n)99.

?p?1?p个912. 设（m，n）=1，证明：m证：∵（m，n）= 1，∴n（mod m）. 对称可得 m

?(m)+ n

?(m)≡1（mod mn）.

?(n)≡1（mod m ），而 m

?(m)x≡ 0（mod m ），∴ m

?(n)?(n)+n

?(m)≡ 1

?(n)+n≡ 1（mod n）. ∴ m+n

?(m)≡ 1（mod mn）.

13. 已知 a =18，m =77，求使 a≡1（mod m）成立的最小自然数 x. x=30.

满足要求的最小自然数 x必为60 的约数。验算可知。 ?(77)??11?1??7?1??60,由定理，

习题3-1

1．解下列不定方程：

（1）7x－15y=31； （2）11x+15y=7； （3）17x+40y=280； （4）525x+231y=42； （5）764x+631y=527； （6）133x－105y=217. 解：（1）辗转相除得15=7×2＋1, ∴ 1 = 15－7×2= 7×(－2)－15×(－1)， ∴ 因此原方程的一个解是 x0＝－2×31＝－62， y0＝－1×31＝－31;

?x??62?15t原方程的通解为?这里t为任意常数.

?y??31?7t（2）辗转相除得15=11×1＋4, 11=4×2＋3, 4=3+1 ∴ 1 = 4－3=4－(11－4×2)= 4×3－11=

(15－11×1) ×3－11=15×3 + 11×(－4)，

∴ 因此原方程的一个解是 x0＝－4×7＝－28， y0＝3×7＝21;

?x??28?15t原方程的通解为?这里t为任意常数.

?y?21?11t（3）用分离整数法：x?280?40y8?6y?16?2y?.

1717观察可知y =－10时，x = 36 + 4= 40.

?x?40?40t∴ 原方程的通解为?这里t为任意常数.

?y??10?17t2. 解下列不定方程：（1）8x-18y+10z=16； （2）4x-9y+5z=8； （3）39x-24y+9z=78；

（4）4x+10y+14z+6t=20； （5）7x-5y+4z-3t=51.

3. 解下列不定方程组：（1） x+2y+3z=10， （2） 5x+7y+3z=25，

x-2y+5z=4； 3x- y-6z=2；

（3） 4x-10y+ z=6， （4） 10x+7y+ z=84，

x-4y- z=5； x-14y+ z= -60；

4. 求下列不定方程的正整数解：（1）5x－14y=11； （2）4x+7y=41； （3）3x+2y+8z=21. 5. 21世纪有这样的年份，这个年份减去 22 等于它各个数字和的495倍，求这年份.

6. 设大物三值七，中物三值五，小物三值二，共物一百三十八，共值一百三十八，问物大中小各几何？

7. 买2元6角钱的东西，要用1元、5角、2角、1角的四种钱币去付，若每种钱币都得用，则共有多少种付法？

8. 把 239分成两个正整数之和，一个数必是 17 的倍数，另一个数必是 24的倍数，求这两位数.

9. 一个两位数，各位数字和的 5倍比原来大 10，求这个两位数.

10. 某人 1981年时的年龄恰好等于他出生那一年的年号的各位数字之和，这个人是在哪一年出生的？

11. 一个四位数，它的个位数上数比十位数字多 2，且此数与将其数字首尾颠倒过来所得的四位数之和为 11770，求此四位数 . 习题 3-2

1．求 x2+ y2= z2中 0< z<60的所有互质的解.

2．求三个整数 x，y，z（x> y> z>0），使 x- y，y- z，x- z都是平方数 . 1．

b a x y z 1 2 3 4 5 1 4 8 1 6 2 3 2 5 2 7 3 4 4 5 9 15 35 5 21 45 7 12 12 20 28 24 40 17 37 13 29 53 25 41 2. 设 x- y= a2，y- z= b2，x- z= c2，则 a2+ b2= c2，因此给出 a，b的值即可求得x，y，z. 3.已知直角三角形斜边与一直角边的差为 9，三边的长互质且和小于 88，求此直角三角形的三边的长 .

4.试证：不定方程 x4-4y4= z2没有正整数解 .

3. 设直角三角形的三边的长为x, y, z. 则由定理，x=a2－b2, y=2ab, z=a2+b2, 由题目得

a2+b2－(a2－b2)=9或a2+b2－2ab=9, 前者无整数解，后者(a－b)2=9, a－b=3. a=4,b=1,则 x=15，y=8，z= 17或a=5,b=2,则x= 21，y= 20，z= 29. a=7,b=4, 则三边的长的和大于88。 4. 因为 z4= (x4-4y4)2 = x8－8x4y4+ 16y8= (x4+ 4y4)－(2xy)4，即(2xy)4+ z4=(x4+4y4)2，就是说，

2

如果x4-4y4= z2有正整数解，则u4+v4= w2有正整数解，与已证定理矛盾，故无正整数解 . 5.试证：每个正整数 n 都可以写为n = x2+ y2- z2，这里 x，y，z都是整数 . 6.求方程 x2－dy2= 1，当 d = 0、d = －1、d < －1 时的非负整数解 . 7.试证：2x2+ y2+3z2=10t2无正整数解 .

5. 适当取正整数 x，使 n - x2= m 为一正奇数，设 y = m + 12 ，因为 y2- m =m -1()22= z2，得 n- x2= y－ z2.

2

6. 当 d= 0时，x=1，y为任意非负整数；当 d= -1时，x= 1，y=0和 x= 0，y= 1；当 d< - 1时，x= 1，y=0.

7. ∵y2+ 3z2是偶数，∴y与 z必同奇同偶 .若 y 与 z同为奇数，则 2x2+ y2+3z2被 8除和 10t2被 8 除的余数不相等，故 y 与 z一定同为偶数 .令 y= 2y1，z=2z1，代入原式得，x2+ 2y21+ 6z21= 5t，同样，x 和 t同奇同偶，也同样排除 x 和 t同奇，令 x= 2x1，t= 2t1，代入得，2x21+ y21+ 3z21= 10t21，由于 0< t1< t，矛盾，从而得证 . 习题 3-3

1. 求不定方程 4x2-4xy-3y2=21的正整数解 . 2. 求不定方程 x2+ y2=170的正整数解 . 3. 求不定方程 x2-18xy+35=0的正整数解 . 4. 求 4x2-2xy-12x+5y+11=0的正整数解 . 5. 求 x2+ xy-6=0的正整数解 . 6. 求 y- (x+3y)/(x+2) =1的正整数解 .

7. 设 n =7（mod 8），则 n 不能表示为 3个平方数的和 . 1. 由4x2－4xy－3y2= 21，得（2x+ y）（2x－3y）= 21. 得 2x+ y= 21， 2x+ y=7， 即 x= 8， x= 3， 2x- 3y=1， 2x- 3y= 3. y= 5， y= 1. 2. 由 x2+ y2=170知，x，y同为奇数或同为偶数.

x，y为偶数，则 x2+ y2有因数 4，而 170无 4因数；

x，y为奇数，设x =2k+1, y = 2h+1, 代入化简得k (k+1)+h (h+1) = 42, 仅当k = 0, h = 6或k = 0, h = 6时可求得：

?x?1,?x?13,?x?7,?x?11, ?????y?13;?y?1;?y?11;?y?7.x?35，x是 35的约数，得 x= 1，y= 2，或x=35，y=2. x64. 由原方程变为：y= 2x－1+ ，2x－5是 6的约数：± 1，±2，±3，±6，通过分析得

2x?53. x2-18xy+ 35=0，得 18y=

x=3，y=11或x=4，y=9.

5. x=1，y=51或 x= 2，y= 11.

6. 原方程变形为 y=2+ 4x- 1，可求得 x= 2，3，5，代入可求 y.

7. x2+ y2+ z2= n=7（mod 8），则 x，y，z必有一奇数 .由 x2≡1（mod 8），有 y2+ z2=6（mod 8），即y，z同奇同偶，同奇不成立，同为偶时，由 y≡4（mod8）产生矛盾 . 8. x2+ y2= p≡3（mod4），当 x，y≡0，± 1，2（mod4）时，x2+ y2≡0，1，2（mod 4）），这产生矛盾，命题得证 .

9. 由原方程组中 x+ y+ z=0得 z= - （x+ y），代入 x3+ y3+ z3= -18，则 xy（x+y）=6，故 xyz= -6，x、y、z都是 6的约数，并且只有一个是负数，可得其整数解 x= -3，y= 2，z= 1. 10. 通过证明 x2+ y2+ z2被 8整除所得的余数不等于 - 1即可 . 11. 通过证明 x3+ y3+ z3被 9整除所得的余数不等于 4即可 . 习题4-2(P138)

1．试写出三个模数是18的一次同余式，分别使它有唯一解，无解，有四个解。 2. 下列同余方程是否有解？为什么？如果有解，有多少个解？ （1）8x+5≡0（mod 23）；（2）15x+7≡0（mod 12）；

（3）34x≡0（mod 51）；（4）30x≡18（mod 114）；（5）174x≡65（mod 1309）. 3.用同解变形法解下列同余方程：（1）3x≡2（mod 7）；（2）9x≡12（mod 15）； （3）15x≡9（mod 6）； （4）20x≡44（mod 72）； （5）40x-191≡0（mod 6191）；（6）256x≡179（mod 337）. 4.用化为不定方程的方法解下列同余方程：

（1）20x≡4（mod 30）； （2）64x≡83（mod 105）； （3）57x≡87（mod 105）； （4）4x≡11（mod 15）； （5）47x≡89（mod 111）； （6）10x≡22（mod 36）. 5.利用欧拉定理解下列同余方程：

（1）6x≡22（mod 36）； （2）3x≡10（mod 29）； （3）258x≡131（mod 348）； （4）11x≡7（mod 13）； （5）3x≡2（mod 17）； （6）243x≡102（mod 551）. 6.用求组合数的方法解下列同余方程：

（1）5x≡13（mod 43）； （2）9x≡4（mod 2401）； 习题4-3(P154)

第2题a取什么值时，下面的同余方程组有解？