n A15.10 证明：在不同介质分界面上矢量位A的切向分量是连续的。
解由得 B???A 媒质① 媒质② ?l ?B?dS????Ad?SSS??Ad?lC
C ?h A2 （1）
在媒质分界面上任取一点P，围绕点P任作一个跨越分界面的狭小矩形回路C，其长为?l、宽为?h，如题5.10图所示。将式（1）应用于回路C上，并令?h趋于零，得到
C 题5.10图
?A?dl?A1?l?A2?l?lim?BdS
?h?0S
由于B为有限值，上式右端等于零，所以 A1?l?A2?l?0
由于矢量?l平行于分界面，故有
A1t?A2t
5.11 一根极细的圆铁杆和一个很薄的圆铁盘样品放在磁场B0中，并使它们的轴与B0平行，（铁的磁导率为?）。求两样品内的B和H；若已知B0?1T、??5000?0，求两样品内的磁化强度M。
解 对于极细的圆铁杆样品，根据边界条件H1t?H2t，有
H?H0?B0?0 B??H?M?B?B0 ?01(?4999 ?1)B0??0?0?0?0对于很薄的圆铁盘样品，根据边界条件B1n?B2n，有
B?B0
H?B??B0?
?H?M?B?0?H?(1?0?1?)B0?4999
5000?05．12 如题5.12图所示，一环形螺线管的平均半径r0?15cm，其圆形截面的半径
a?2cm，鉄芯的相对磁导率?r?1400，环上绕N?1000匝线圈，通过电流I?0.7A。
（1）计算螺旋管的电感；
（2）在鉄芯上开一个l0?0.1cm的空气隙，再计算电感。（假设开口后鉄芯的?r不变）
（3）求空气隙和鉄芯内的磁场能量的比值。
解 （1）由于a??r0，可认为圆形截面上的磁场是均匀的，且等于截面的中心处的磁
场。由安培环路定律，可得螺旋管内的磁场为 H?NI 2?r0a r0 o l0 22?aNI
与螺线管铰链的磁链为 ??NS?H?故螺线管的电感为
2r0L??I??a2N22r0? 图 题5.12
I
（2）当铁芯上开有小空气隙时，由于可隙很小，可忽略边缘效应，则在空气隙与鉄芯的分界面上，磁场只有法向分量。根据边界条件，有B0?B??B，但空气隙中的磁场强度
1400?4??10?7?0.022?10002?2.346H
2?0.15H0与铁芯中的磁场强度H?不同。根据安培环路定律，有
H0l0?H?(2?r0?l0)?NI
又由于B0??0H0、B???0?rH?及B0?B??B，于是可得 B?22???aNI 0r所以螺线管得磁链为 ??NSB??rl0?(2?r0?l0)?0?rNI
?rl0?(2?r0?l0)故螺线管得电感为
??0?ra2N24?2?10?7?1400?0.022?10002L????0.944H
I?rl0?(2?r0?l0)1400?0.001?2???0.15?0.001? （3）空气隙中的磁场能量为 W?1?H2Sl
m0000212 鉄芯中的磁场能量为 Wm???0?rH?S(2?r0?l0)故
Wm0Wm?2?rl01400?0.001???1.487 2?r0?l02??0.15?0.0015.13 证明：单匝线圈励磁下磁路的自感量为L0?1Rm，Rm为磁路的磁阻，故NI激励下，电感量为L?N2Rm。磁路中单匝激励下的磁场储能Wm0?Rm?022，则NI激励下的Wm?N2Wm0。
解 在单匝线圈励磁下，设线圈中的电流为I，有?0?L0I?2NI
磁路的磁通为 ??N?0?Rm22N 故电感量为 L??IRmI。则在NI激励下，Rm?2R1I2在单匝线圈励磁下，Wm0?L0I??m?02。在NI激励下，磁路的磁能为
22Rm212N2I2N2Rm2Wm?LI???022Rm2?N2Wm0
5.14 如题5.14图所示，两个长的矩形线圈，放置
在同一平面上，长度分别为l1和l2，宽度分别为w1和
① l1 I1w2，两线圈最近的边相距为S，两线圈中分别载有电流I1和I2。设l1>>l2，且两线圈都只有一匝，略去端
部效应。证明：两线圈的互感是
② w1 w2 r S ?l(S?w1)(S?w2) M?02ln2?S(S?w1?w2) l2 题5.14图
解 由于l1>>l2，因此可近似认为线圈①中的电流在线圈②的回路中产生的磁场与两根无限长的平行直线电流产生的磁场相同。线圈①中的电流I1在线圈②的回路中产生的磁场为
B12??0I111(?) 2?rr?w1与线圈②交链的磁通?12为
?0I1l2?S?w2S?w1?w2? 11(?)ldr?ln?ln2????rr?w12??SS?w1?S?0I1l2(S?w1)(S?w2) ln2?S(S?w1?w2)?l?(S?w1)(S?w2) 故两线圈间的互感为 M?12?02lnI12?S(S?w1?w2) 5.15 长直导线附近有一矩形回路，回路与导线不共面，如题5.15图(a)所示。证明：直
?I?12?012?导线与矩形回路间的互感是
S?w2M??A B ?0aR ln221222122?[2b(R?C)?b?R]B RR 1 C P Q
b A b R C a
P Q 题5.15图(a)
题5.15图(b)
解 设长直导线中的电流为I，则其产生的磁场为 B?由题5.15图(b)可知，与矩形回路交链的磁通?为
?0I 2?r?I?aI??0?B?dS?02?S2?R1?R?aIR1dr?0ln1 r2?R其中 R?[C2?(b?R2?C2)2]12?[R2?b2?2bR2?C2]12
1故直导线与矩形回路间的互感为
?0aR1?0a[R2?b2?2bR2?C2]12
M??ln?ln?I2?R2?R?-5.16 如题
匝线圈，通过电求作用在它上面
解 由安培H?nI
设铁心在磁场力磁场能量为
m0aR ln221222122p[2b(R-C)+b+R]
I x ? 5.16图所示的长螺旋管，单位长度密绕n流I，鉄心的磁导率为?、截面积为S，的磁场力。
环路定理可得螺旋管内的磁场为 的作用下有一位移dx，则螺旋管内改变的
图 题5.16
2dWm则作用在鉄心上的磁场力为 Fx?dx磁力有将铁心拉进螺旋管的趋势。
dWm??2H2Sdx??0H2Sdx?I?c1(???0)n2I2Sdx 21?(???0)n2I2S 2