(2)如图2,当M在线段OD上,连接NE,当EN∥BD时,求证:BM=AB; (3)在图3,当M在线段OD上,连接NE,当NE⊥EC时,求证:AN2=NC?AC. 【分析】(1)先判断出OD=OA,∠AOM=∠DON,再利用同角的余角相等判断出∠ODN=∠OAM,判断出△DON≌△AOM即可得出结论;
(2)先判断出四边形DENM是菱形,进而判断出∠BDN=22.5°,即可判断出∠AMB=67.5°,即可得出结论;
(3)设CE=a,进而表示出EN=CE=a,CN=据勾股定理得,AC=
(a+b),
a,设DE=b,进而表示AD=a+b,根
同(1)的方法得,∠OAM=∠ODN,得出∠EDN=∠DAE,进而判断出△DEN∽△ADE,得出AC=
,进而得出a=
b,AN=AC﹣CN=
b,即可表示出CN=
b,
b,即可得出结论.
【解答】解:(1)∵正方形ABCD的对角线AC,BD相交于O, ∴OD=OA,∠AOM=∠DON=90°, ∴∠OND+∠ODN=90°, ∵∠ANH=∠OND, ∴∠ANH+∠ODN=90°, ∵DH⊥AE, ∴∠DHM=90°, ∴∠ANH+∠OAM=90°, ∴∠ODN=∠OAM, ∴△DON≌△AOM, ∴OM=ON;
(2)连接MN, ∵EN∥BD,
∴∠ENC=∠DOC=90°,∠NEC=∠BDC=45°=∠ACD, ∴EN=CN,同(1)的方法得,OM=ON, ∵OD=OD, ∴DM=CN=EN,
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∵EN∥DM,
∴四边形DENM是平行四边形, ∵DN⊥AE, ∴?DENM是菱形, ∴DE=EN, ∴∠EDN=∠END, ∵EN∥BD, ∴∠END=∠BDN, ∴∠EDN=∠BDN, ∵∠BDC=45°, ∴∠BDN=22.5°, ∵∠AHD=90°,
∴∠AMB=∠DME=90°﹣∠BDN=67.5°, ∵∠ABM=45°,
∴∠BAM=67.5°=∠AMB, ∴BM=AB;
(3)设CE=a(a>0) ∵EN⊥CD, ∴∠CEN=90°, ∵∠ACD=45°, ∴∠CNE=45°=∠ACD, ∴EN=CE=a, ∴CN=
a,
设DE=b(b>0), ∴AD=CD=DE+CE=a+b, 根据勾股定理得,AC=
AD=
(a+b),
同(1)的方法得,∠OAM=∠ODN, ∵∠OAD=∠ODC=45°,
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∴∠EDN=∠DAE,∵∠DEN=∠ADE=90°, ∴△DEN∽△ADE, ∴∴∴a=∴CN=
, ,
b(已舍去不符合题意的) a=
b,AC=b,
b?
b=2b2
(a+b)=
b,
∴AN=AC﹣CN=
∴AN2=2b2,AC?CN=∴AN2=AC?CN.
【点评】此题是相似形综合题,主要考查了正方形的性质,平行四边形,菱形的判定,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,判断出四边形DENM是菱形是解(2)的关键,判断出△DEN∽△ADE是解(3)的关键.
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