（3）公式应用弹性理论，对已出现塑性区情况条件不严格；但因塑性区的范围不大，其影响
为工程所允许，故临界载荷为地基承载力，应用仍然较广。
表 6.2 承载力系数N1、N1、Nq、Nc与?的关系值
43? 0° 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10° 11° 12° 13° 14° 15° 16° 17° 18° 19° 20° 21° 22° Nq 1.00 1.06 1.12 1.18 1.25 1.32 1.39 1.47 1.55 1.64 1.73 1.83 1.94 2.05 2.17 2.30 2.43 2.57 2.73 2.89 3.06 3.24 3.44 Nc 3.00 3.23 3.32 3.41 3.51 3.61 3.71 3.82 3.93 4.05 4.17 4.29 4.42 4.55 4.69 4.84 4.99 5.15 5.31 5.48 5.66 5.84 6.04 N1 4N1 3? 23° 24° 25° 26° 27° 28° 29° 30° 31° 32° 33° 34° 35° 36° 37° 38° 39° 40° 41° 42° 43° 44° 45° Nq 3.65 3.87 4.11 4.37 4.64 4.93 5.25 5.59 5.95 6.34 6.76 7.22 7.71 8.24 8.81 9.44 10.11 10.85 11.64 12.51 13.46 14.50 15.64 Nc 6.24 6.45 6.67 6.90 7.14 7.40 7.67 7.95 8.24 8.55 8.88 9.22 9.58 9.97 10.37 10.80 11.26 11.74 12.25 12.79 13.37 13.99 14.65 N1 4N1 30.00 0.01 0.03 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.21 0.23 0.26 0.29 0.32 0.36 0.39 0.43 0.47 0.51 0.56 0.61 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.11 0.13 0.16 0.18 0.21 0.24 0.28 0.31 0.35 0.39 0.43 0.48 0.52 0.58 0.63 0.69 0.75 0.81 0.66 0.72 0.78 0.84 0.91 0.98 1.06 1.15 1.24 1.34 1.44 1.55 1.68 1.81 1.95 2.11 2.28 2.46 2.66 2.88 3.12 3.38 3.66 0.88 0.96 1.04 1.12 1.21 1.31 1.42 1.53 1.65 1.78 1.92 2.07 2.24 2.41 2.60 2.81 3.04 3.28 3.55 3.84 4.15 4.50 4.88
3【例题6.2】有一条形基础，宽度b?3.0m，埋置深度d?1.0m，地基土的湿容重??18kNm，饱30和容重?sat?20kNm，??10，c?15kPa，试求地基的临塑荷载pcr，塑性荷载p1、p1值；若
43地下水位上升至基础底面，假定土的抗剪强度指标不变，pcr、p1、p1有何变化？
430解：（1）查表6.2在??10时，承载力系数Nq?1.73，Nc?4.17，N1?0.18，N1?0.24
43将参数代入相应公式得：
pcr?Nq?0d?Ncc?1.73?18?1?4.17?15?93.65kPa
9
p1?N1?b?Nq?0d?Ncc44
?0.18?18?3?1.73?18?1?4.17?15?103.41kPap1?N1?b?Nq?0d?Ncc33
?0.24?18?3?1.73?18?1?4.17?15?106.65kPa(2)地下水位上升到基础底面，不会对承载力系数产生影响，此时水位以下土重应取有效重度，则：
r'?rsat?rw?20?10?10kPa
pcr?Nq?0d?Ncc?1.73?18?1?4.17?15?93.65kPap1?N1?b?Nq?0d?Ncc44
?0.18?10?3?1.73?18?1?4.17?15?99.05kPap1?N1?b?Nq?0d?Ncc33
?0.24?10?3?1.73?18?1?4.17?15?100.85kPa比较可见，当地下水上升到基底时，地基的临塑荷载没有变化，地基的塑性荷载降低，例题的减少量在5%左右。不难看出，当地下水位上升到基底以上，临塑荷载也将降低。由此可见，对于工程而言，做好排水工作，防止地表水渗入地基，保持水环境对于保证地基具有足够的承载力具有重要意义。 【例题6.3】某宾馆设计采用框架结构独立基础，基础底面尺寸： 承受偏心荷载。L?b?3.00?2.40m，
30基础埋深1.00m，地基土分三层：表层为素填土，天然容重?1?17.8kNm，厚h1＝0.80m，?1?16，
2c?15kPa；第二层为粉土：?2?18.8kN/m,?2?24，c2＝20kPa,h2?7.4m，计算宾馆地基的临
30界荷载。
【解】应用偏心荷载作用下临界荷载计算公式：
p1?N1?b?Nq?0d?Ncc
330查表6.2，知当??24时，承载力系数Nd?3.87，Nc?6.45， N1?0.96
3?0应为基础深度d?1.00m范围内的加权平均重度，按式计算：
10
?0?0.8?1?0.2?20.8?0.2?18.0kN/m
3c?c2?20kPa
参数代入可得：
p1?0.96?18.8?2.4?3.87?18?1?6.45?20?241.98kPa
3宾馆地基的临界荷载为241.98kPa。
6.3地基极限承载力的理论公式
在土力学的发展中，已经提出了许多极限荷载公式，1920年普朗特尔(L.Prandtl)首先根据塑性平衡理论导出了介质达到极限荷载时，沿着曲面发生滑动的数学方程，并认为介质的抗剪强度性质，可以用强度指标c,?表示，但是，他的研究结果只适用于无重量的介质的极限平衡平面课题。
随后不少学者根据他的研究结果，引用来求解地基土的极限荷载，并进一步作了不同形式的修正和补充，以便在工程中加以应用。太沙基根据普朗特尔相似的概念，导出了考虑地基土自重影响的极限荷载公式。但这些公式都忽略了基础底面以上覆盖土层的抗剪强度的影响，故只适用于计算浅基础的极限荷载。
梅耶霍夫进一步考虑了基础底面以上覆盖层的抗剪强度的影响，从而提出了浅基础和深基础的极限荷载公式。
6.3.1普朗特尔极限承载力公式
普朗特尔公式是求解宽度为b的条形基础，置于地基表面，在中心荷载P作用下的极限荷载pu值。
普朗特尔的基本假设及结果，归纳为如下几点：
（1）地基土是均匀，各向同性的无重量介质，即认为土的??0，而只具有c,?的材料。
11
（2）基础底面光滑，即基础底面与土之间无摩擦力存在，所以基底的压应力垂直于地面。
（3）当地基处于极限平衡状态时，将出现连续的滑动面，其滑动区域将由朗肯主动区I，径向剪切区
?0II或过渡区和朗肯被动区III所组成。其中滑动区I 边界BC或AC为直线，并与水平面成（45＋2）角；即三角形ABC是主动应力状态区；滑动区II的边界CE或CＤ为对数螺旋曲线，其曲线方程为
r?r0e?tg?，r0为起始矢径；θ为射线r与r0夹角，滑动区III的边界E G，DF为直线并与水平面成角。 ）（45-0?2对以上情况，普朗特尔得出极限荷载的理论公式：
pu?cNc
???tan?式中，Nc为承载力系数；Nc??e查得。
???2??tan????1?cot?，是土的内摩擦角?的函数，可从表6-2
2??4?【例题6.4】有一条形基础，宽度b?2.0m，埋置深度d?0m，地基土的湿容重??18kNm3，
0??16，c?15kPa，试用普朗特尔公式得出极限荷载。
【解】依据普朗特尔公式pu?cNc
可以查表得到：??160时，Nc?11.6，又有c?15kPa，参数代入公式可得：
pu?15?11.6?174kPa
6.3.2赖斯纳极限承载力公式
一般基础均有一定的埋置深度，若埋置深度较浅时，为简化起见，可忽略基础底面以上两侧土的抗剪强度，而将这部分土作为分布在基础两侧的均布荷载q??d作用在GF 面上，如图6.7 所示。这部分超载限制了塑性区的滑动隆起，使地基极限承载力得到了提高。
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