设CN＝x km．在Rt△ACN中，∠A＝45°，
CNCNx
∵tan45°＝，∴AN＝＝＝x．
AN tan45° tan45°在Rt△ECN中，∠CEN＝70°， CECNx
∵tan70°＝，∴EN＝＝．
EN tan70° tan70°∵CN⊥AD，BM⊥AD，∴∠ANC＝∠AMB＝90°．
ACCNAN
∴CN∥BM．∴＝＝．
ABBMAM又∵C为AB中点， ∴AB＝2AC，AC＝BC．
1分
A
2分
45° E
C 70° N
B 45° M
∴BM＝2CN＝2 x，AN＝MN． 3分 由题可知，∠MDB＝45°． 在Rt△BMD中，∠MDB＝45°，
∵tan45°＝BMDM，∴DM＝BM2x
tan45°＝ tan45°＝2x． 4分
∴18.5－2x－x
tan70°＝x
∴x＝18.5×tan70°
1＋3×tan70°≈5.5．
∴AE＝AN－EN＝5.5－5.5
tan70°
＝3.5．
因此，E处距离港口A大约3.5 km．
24．（本题9分）
(1)证明：在□ABCD中，∠A＝∠C，AD∥BC，AD＝BC ∵E、F分别是AD、BC的中点∴AE＝11
2AD，CF＝2BC
又∵AD＝BC，∴AE＝CF． 1分
∵AD∥BC，∴∠AEF＝∠CFE． ∵EM平分∠AEF，FN平分∠EFC．
∴∠AEM＝∠FEM＝12∠AEF，∠CFN＝∠FEN＝1
2∠CFE．
∵∠AEF＝∠CFE，∠AEM＝12∠AEF，∠CFN＝1
2∠CFE．
∴∠AEM＝∠CFN．
在△AME和△CNF中
?∠A＝∠C ?
? AE＝CF?
? ∠AEM＝∠CFN
∴△AME≌△CNF（ASA）
∵∠FEM＝∠FEN，∴EM∥FN．
二模数学
第 9 页 共 6 页
D
（第23题）
6分 7分
8分
3分
4分
∵△AME≌△CNF，∴EM＝FN． ∵EM∥FN，EM＝FN，
∴四边形EMFN是平行四边形． （2）∠EFM＝∠BMF， AM＝BM（或：M是AB中点）． 25．（本题8分）
（1）解：∵y＝x2－2(m＋1)x＋2m＋1的图像经过点（0，0） 1
∴2m＋1＝0 ∴m＝－
2
5分 7分 9分
1分
111
当m＝－时，y＝x2－x＝(x－)2－
22411
∴顶点C的坐标(，－)
24
3分
（2）解：当y＝0时x2－2(m＋1)x＋2m＋1＝0
∴x1＝2m＋1，x2＝1 ∴AB＝|2m|
222
∵y＝x－2(m＋1)x＋2m＋1＝(x－m－1)－m ∴顶点C的坐标(m＋1，－m2) ∵以A、B、C为顶点的三角形是直角三角形 ∴2m2＝|2m|
4分 5分 6分
当2m2＝2m时，m1＝0，m2＝1 当2m2＝－2m时，m1＝0，m2＝－1 当m＝0时，AB＝0（舍）
答：m的值为1或－1 8分 26．（本题8分）
（1）证明：连接AO并延长交BC于点E，交⊙O于点F．
A ∵AP是⊙O的切线，AF是⊙O的直径， D ∴AF⊥AP，∴∠FAP＝90°． 1分 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC．
O ∴∠AEB＝∠FAP＝90°，
∴AF⊥BC． 2分 E B C ∵AF是⊙O的直径，AF⊥BC，
F ∴BE＝CE． 3分
∵AF⊥BC，BE＝CE， （第26题） ∴AB＝AC． 4分
P
1
（法二：连接OP，则OP⊥AC，易证∠ABC＝∠AOC＝∠AOP，∠AOP＝∠CAP．）
2
（法三：易证∠AFC＋∠FAC＝∠FAC＋∠CAP＝90°，∠AFC＝∠CAP＝∠BCA．又∠ABC＝∠AFC，∴∠ABC＝∠BCA．）
（2）解：连接FC，OC．
设OE＝x，则EF＝5－x．
∵AF是⊙O的直径，∴∠ACF＝90°．
二模数学
第 10 页 共 6 页
∵AC＝AB＝4，AF＝25，∴在Rt△ACF中，∠ACF＝90°， ∴CF＝AF2－AC2＝2．
∵在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，∴CE2＝OC2－OE2． ∵在Rt△FEC中，∠FEC＝90°，∴CE2＝CF2－EF2．
∴OC2－OE2＝CF2－EF2. 即52－x2＝22－（5－x）2．
35 解得x＝．
5
45
∴EC＝OC2－OE2＝． 6分
5
85 ∴BC＝2EC＝．
5
8
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝．
55
∵AD∥BC，∴∠PAC＝∠ACB．
∵PA，PC是是⊙O的切线，∴PA＝PC．∴∠PAC＝∠PCA．
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∴∠PAC＝∠ABC，∠PCA＝∠ACB．
APACAC
∴△PAC∽△ABC，∴＝．∴AP＝·AB＝25．
ABBCBC25
∴PD＝AP－AD＝．
5
（法二：易证△ABE∽△AOP．） 27．（本题9分）
8分
（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AB＝AC2＋BC2＝82＋62＝10． ∵DE⊥AB，∴∠EDA＝90°．
ADAE
∵∠A＝∠A，∠EDA＝∠C＝90°，∴△AED∽△ABC，∴＝．
ACAB
AD
∴AE＝·AB＝5．∴CE＝AC－AE＝8－5＝3．
AC
∵DE⊥AB，∴∠DEF＝90°．∵∠EDA＝∠DEF＝90°，∴EF∥AB．
CEEF
∴△CEF∽△ACB，∴＝．
ACABCE15
∴EF＝·AB＝． 3分
AC4
（2）解：设AD＝x.
ADDEAE
∵△AED∽△ABC，∴＝＝．
ACBCAB
AD3AD5
∴DE＝·BC＝x，AE＝·AB＝x．
AC4AC45
∴CE＝AC－AE＝8－x．
4CEEF
∵△CEF∽△ACB，∴＝．
ACAB
CE25
∴EF＝·AB＝10－x．
AC16
5分
4分
二模数学 第 11 页 共 6 页
175157516
∴S△DEF＝ DE·EF＝－ x2＋x＝－(x－)2＋6．
21284128516
∴当x＝时，S△DEF取最大值为6．
5
因此，△DEF的面积的最大值为6． （3）193
7分 9分
5
二模数学第 12 页 共 6 页