【课后习题】 第12章 一、填空题
1、两个大小完全相同的带电金属小球，电量分别为2q和－1q，已知它们相距为r时作用力为F，则将它们放在相距3r位置同时其电量均减半，相互作用力大小为____1/36________F。 2、电场强度可以叙述为电场中某一点上单位正电荷所受的_____电场力___________；电场中某一点的电势可以叙述为：单位正电荷在该点所具有的__电势能_________。 3、真空环境中正电荷q均匀地分布在半径为R的细圆环上，在环环心O处电场强度为____0________，环心的电势为__q/4??oR_________。
4、高斯定理表明磁场是 无源 场,而静电场是有源场。任意高斯面上的静电场强度通量积分结果仅仅取决于该高斯面内全部电荷的代数和。现有图1-1所示的三个闭合曲面
S1、S2、S3，通过这些高斯面的电场强度通量计算结果分别为：
?1???E?dSS1,
?2???E?dS?3???E?dSS2,
S3，则
?1=___q/?o_______;?2+?3=___?q/?o_______。
5、静电场的场线只能相交于___电荷或无穷远________。
6、两个平行的无限大均匀带电平面，其电荷面密度分别如图所示，则A、B、C三个区域的电场强度大小分别为：EA=_4?/?o________；EB=_?/?o________；EC=__4?/?o_______。
7、由一根绝缘细线围成的边长为l的正方形线框，使它均匀带电，其电荷线密度为?，则在正方形中心处的电场强度的大小E＝____0____________．
8、初速度为零的正电荷在电场力的作用下,总是从__高____电势处向_低____电势处运动。 9、静电场中场强环流为零，这表明静电力是__保守力_________。
10、如图所示，在电荷为q的点电荷的静电场中，将一电荷为q0的试验电荷从a点经任意路径移动到b点，外力所作的功 W＝___
Qq4??0?11???r?r??___________．
1??2
11、真空中有一半径为R的均匀带电半园环，带电量为Q，设无穷远处为电势零点，则圆心O处的电势为___
Q4??0RqQ_________；若将一带电量为q的点电荷从无穷远处移到O点，电场力
所作的功为__
4??0R__________。
12、电场会受到导体或电介质的影响，通常情况下，导体内部的电场强度__处处为零_______；电介质内部电场强度将会减弱，其减弱的程度与电介质的种类相关，____?0_________越大，其电场场强越小。
13、导体在__电场_______作用下产生电荷重新分布的现象叫做__静电感应___________；而电介质在外电场作用下产生极化面电荷的现象叫做__电介质的极化_________。
14、在静电场中有一实心立方均匀导体，边长为a．已知立方导体中心O处的电势为U0，则立方体顶点A的电势为____U0________．
15、电容器的电容与其是否带电___无关 ____，通常情况下，其极板面积越小、极间距离
越大，电容也越__小____。
16、两个电容器的电容分别为8C和3C，并联后的等效电容为___11_______； 串联后的等效电容为_24/11_______。 二、选择题
1、由电场强度公式E＝F/q0，可知：[ A ]
A、电场强度与试验电荷的有无及大小无关 B、电场强度与试验电荷的电量成反比
C、电场强度与试验电荷的受力成正比 D、以上说法均不对
2、关于电场强度与电势的说法正确的是： [ C ] A.电场强度为零处电势也为零 B.电势为零处电场强度也为零
C.电场强度与电势不一定同时为零 D.以上说法均不对
3、电场强度定义式E=F/q0,这一定义的适用范围是：[ D ] 。
A.点电荷产生的电场； B.静电场； C.匀强电场； D.任何电场 4、真空中边长为a的正方体任意棱中点处放置一个点电荷 Q，通过该立方体的电通量为：[ A ] 。
A. QQQQ, B. , C. , D. 4?06?02?08?0
5、真空中静电场的高斯定理是 [ B ]
A
?i??d?dt B
??E?dS?S面内?q?0 C
?B?dl???I0内E?dl?0? D.
6、面积为S的空气平行板电容器，极板上分别带电量±q，若不考虑边缘效应，则两极板间
的相互作用力为 ［ A ］
q2q2q2q222?S2?S2?S?S0000(A)． (B) ． (C) ． (D) ．
7、在已知静电场分布的条件下，任意两点P1和P2之间的电势差决定于［ A ］
A. P1和P2两点的位置． B. P1和P2两点处的电场强度的大小和方向． C. 试验电荷所带电荷的正负．D. 试验电荷的电荷大小．
8、一电量为-Q的点电荷均匀分布于无限薄导体球壳球心，A、B、C、D为球壳表面上的四个点，如图所示。现将一实验电荷从A点分别移到B、C、D各点，则：[ D ] 。 A.从A
到B，电场力做功最大； B.从A到C，电场力做功最大；C.从A到D，电场力做功最大； D.从A到各点，电场力做功相等。
9、在边长为a的正方体中心处放置一电量为Q的点心电荷，设无穷远处为电势零点，则在一个侧面的中心处电势为[ B ]
A. Q/4??0a; B. Q/2??0a; C. Q/??0a; D. 2.5Q/4??0a
10、半径为R的圆上的内接正三角形边长为a，三个顶点分别放置着电量为q、2q、3q的三个正电荷，若将另一正点电荷Q从无穷远处移到圆心O处，外力所作的功为：[ C ]
6qQ83qQ23qQ43qQA．4??o；B．4??o；C．4??oR；D．4??oa 。
11、两个半径相同的金属球，一为空心，一为实心，把两者各自孤立时的电容值加以比较，则 [C ]
A. 空心球电容值大． B. 实心球电容值大． C. 两球电容值相等． D. 大小关系无法确定．
12、一空气平行板电容器充电后与电源断开，然后在两极板间充满某种各向同性、均匀电介质，则电场强度的大小E、电容C、电压U、电场能量W四个量各自与充入介质前相比较，增大(↑)或减小(↓)的情形为[ B ]
A. E↑，C↑，U↑，W↑． B. E↓，C↑，U↓，W↓． C. E↓，C↑，U↑，W↓． D. E↑，C↓，U↓，W↑． 13、如果在空气平行板电容器的两个极板间平行地插入一块与极板面积相同的金属板，则由于金属板的插入及其相对极板所放位置的不同，对电容器电容的影响为：[ C ] A. 使电容减小，但与金属板相对于极板的位置无关； B. 使电容减小，且与金属板相对于极板的位置有关； C. 使电容增大，但与金属板相对于极板的位置无关； D. 使电容增大，且与金属板相对于极板的位置有关。 三、计算题
1、一个半径为R的均匀带电圆弧，弧心角为??60°,电荷线密度为?,求环心O处的电场强度和电势．
解：建立以O点为原点的平面坐标系，取电荷元dq??Rd?，则dE??Rd?
4??0R2?其中：Ey?0，dEx??d?cos?，E?6?d?cos???
x???64??0R4??0R4??0R?U??6??6?Rd??
?4??0R12?0
2、将一无限长带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为?，四分之一圆弧AB的半径为R，试求圆心O点的场强．
解：取电量元dq??Rd?，其电场强度元为
dE?
?Rd? 4??0R2建立如图所示的坐标系，因为Ey?0 dEx??5?4?d?cos? ，故
4??0REx????
4?d??2 cos??4??0R4??0R3、带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为? = ?0sin?，式中?0为一常数，?为半径R与x轴所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度和电势．
解：dE??dl4??0R2??0sin?d?
4??0RdEx?dEcos? 考虑到电荷分布的对称性 Ex?0
2??sin??d?0 dEy?dEsin?Ey??dEsin????0 方向沿y轴负04??0R8?0R向
4、真空中两条无限长直的相互平行的均匀带电线, 相距为r、电荷线密度均为l。建立适当的坐标系,求（1）两线构成的平面上任一点的电场强度；（2）单位长度带电线所受的电场力。
解：设场点距带电线x远，则在两线内电场强度为：E =
r-2xλ i ；
2πε0x(r-x)在两线外电场强度为：E =
r?2xλ i ）
2πε0x(r?x)λ2单位长度带电线所受的电场力F ＝ （说明力的方向）
2πε0r
5、一无限长直均匀带电线，单位长度的带电量为?,求在带电线同侧与该带电线距离分别为R1，R2的两点A、B之间的电势差。（A、B与带电线共面）。
解：因为场强分布E?R2?dr?Rλ，所以U??Edr???ln2 R12??r2??0R12πε0r0
6、面积为S的平行板电容器，两板间距为d，求：（1）插入厚度为d/3，相对介电常数为 r的电介质，其电容量变为原来的多少倍？（2）插入厚度为d/3的导电板，其电容量又变为原来的多少倍？
解：（1）真空电容器C0??0S，内部场强E?Q，电介质内部场强E?Q
12d?0S?0?rS插入电介质两极电势差U?Q?2d?Q?d 则
?0S3?0?rS3C?3?0?rS3?rQ??C0 U2d?r?d1?2?r（2）插入厚度为
C?d的导电板，可看成是两个电容的串联，则C1?C2?3?0S，得3dC1C23?0S3
??C0C1?C22d2
7、三平行金属板A、B、和C，面积都是200cm2，AB相距4.0mm，AC相距2.0mm，B、C两板都接地，如图所示。若A板带正电3.0310-7C，略去边缘效应，求B板和C板上感应电荷。若以地的电势为零，求A板电势。
解: 如题图示，令A板左侧面电荷面密度为?1，
右侧面电荷面密度为?2
(1)∵UAC?UAB，即∴EACdAC?EABdAB；∴?1?EAC?dAB?2，且?1+?2?qA
?2EABdACS得?2?qA2q2, ?1?A。而 qC???1S??qA??2?10?7C。qB???2S??1?10?7C 3S33S(2)U?Ed??1d?2.3?103V
AACACAC?0
8、计算如图所示长和宽均远大于间距的平行板电容器的电容.
解：本题与第6题重复 ，答案是
d???r?1?d1???r?1?d2?0?rs
9、图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为?，球壳内表面半径为R1，外表面半径为R2．设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势．
解：空腔内任一点的场强E1?0 r?R1
带电球壳上的一点 E?243??(r3?R13)4??0r243?(r3?R13) ?3?0r2R1?r?R2
带电球壳外部空间 E?33??(R2?R13)4??0rR223?(R2?R13) ?3?0r2r?R2
则空腔内任一点的电势U?3333?R2?(r?R)??(R?R) ?121E?dr?E?dr?dr?23?R1?R2?R13?0r2?R23?0r2dr?2?0(R22?R12)
10、一电量为q的点电荷位于导体球壳中心，壳的内外半径分别为R1、R2．求球壳内外和球壳上场强和电势的分布，并画出E(r)和V(r)曲线.
解
：
当
r 时 ： E1?q4??0q4??0r2， V1? ?R1q4??0rrdr??2?q2??0r2R2?(11q1?)?rR14??0R2当R1 当r> R2时：E3?q4??0r2，V3? 11、如图所示，在半经分别为R1和R2的两个同心球面上，分别均匀地分布着电荷Q和-Q,求两球面间的电势差。 解：U?Q(1?1) 4??0R1R212、半径为R的球体内，分布着电荷体密度?=kr，式中r是径向距离，k是常量。求空间的场强分布。 3解：运用高斯定理，得r?R E?kr2 r?R E?kR 3?0r3?0 13、在半径为R1的金属球之外包有一层均匀介质层（见图），外半径为R2。设电介质的相对电容率为?r，金属球的电荷量为Q。求：(1) 介质层内、外的场强分布；(2) 介质层内、外的电势分布；(3) 金属球的电势。 ??解: 利用有介质时的高斯定理D?S?dS??q ??Qr?(1) 介质内(R1?r?R2)场强：D?,E内?34πr?Qr4π?0?rr3; ?介质外(r?R2)场强： D??Qr?Qr,E外?4πr34π?0r3??(2)介质外(r?R2)电势U??E?外?dr?rQ，介质内(R14π?0r?r?R2)电势 U???r?????E内?dr??E外?drr?Q1??111Q?(?r) (?)?R24π?0?rrR24π?0R24π?0?rrq (3)金属球的电势 R2?R2????U??E内?dr??E外?dr??RR12Qdr4π?0?rr2R??Q1?r?1 Qdr ?(?)R24π?r24π??RR0r120? 14、一半径为R的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ。求：球心O处的电场强度。 解：将半球面看做无数带电圆环组成，每个圆环对场点产生dE,则?ds?Ex??cos??24??oR2?0??20sin?cos?d??? 4?0 15、有两个无限长同心金属圆筒，内圆筒A的半径为R1，外圆筒B的半径为R2，在内圆筒上每单位长度有正电荷?，在外圆筒单位长度上有等量的负电荷，试求两圆筒间的电势差UAB和电容C。 解：两金属圆筒间场强分布E?λ，则UAB?2πε0r?R2R1R??dr?ln2 2??0r2??0R1C?RQ?2??0ln1 UR2 【课后习题】 一、填空题 1、在磁感应强度B=0.8T的匀强磁场中，有一根与磁场方向垂直的长L=3m的直载流导线，其电流强度I=3.0A，此时载流导线所受的磁场力大小为__7.2N________。 2、如图所示，质量为0.9kg的铜导线长90cm，搁置于两条水平放置的平行光滑金属导轨之上，导轨间距为80cm。已知图示方向的匀强磁场的磁感强度B＝0.45T，导轨间连有R＝0.4Ω的电阻和E＝1.5V、内阻r＝0.1Ω的电源，其他电阻均不计。要保持导线静止，应施方向向__右_____(填：左、右)，大小为__1.08_____牛的外力。 3、相距a，电流分别为I1，I2的两条无限长平行载流导线，单位长度的相互作用力为___?oI1I22?a_______。 4、均匀磁场中的任意闭合载流线圈受到的安培力F=__0_____。 5、载流微元Idl在磁场B中所受的作用力微元dF一定与__电流元___和___磁场___垂直. 6、在磁感应强度B=0.8T的匀强磁场中，有半径R=2m、电流强度I=2.0A的单匝载流圆环，其所受的安培力为_______0____, 最大安培力矩为___20______。 7、图示磁化曲线中虚线表达真空，则曲线___2__描述顺磁介质，_3______描述抗磁介质，___1____有可能描述的是铁磁性介质。 8、丹麦物理学家H. C. 奥斯特先生的伟大功绩是发现了__奥斯特____的磁效应；英国科学家 M.法拉第最为杰出的科学成就是发现了__电磁感应________现象。 9、一带电粒子垂直射入磁场后，运动轨迹是半径为R的圆周，若要使轨道半径变为R/8，可以考虑将磁感应强度增强为原来的__8____倍或者将速度减小为原来的__1/8______。 10、在磁感应强度为B的匀强磁场中，一电子在垂直于磁场方向的平面中作圆周运动，则电 e2B子运动形成的等效圆电流 ________。 2m?11、两根长直载流导线平行放置在真空中，如图所示，流出纸面的电流为2I，流入纸面的电流为I，两电流均为稳恒电流，则磁感应强度沿图示矢量闭合回路L1、L3的环流 ?B?dr L分别为_?2?oI______、__?oI______. 二、选择题 B?dl???I?1、在真空中，磁场的安培环路定理表明：[ B ]。 l0A. 若没有电流穿过回路，则回路l上各点的B均应为零； B. 若l上各点的B为零，则穿过l的电流的代数和一定为零； C. 因为电流是标量，所以等式右边∑I应为穿过回路的所有电流的算术和； D. 等式左边的B只是穿过回路l的所有电流共同产生的磁感应强度。 2、关于磁场描述正确的是：[ A ] A.一切磁场都是无源、有旋的。 B.只有电流产生的磁场才是无源、有旋的。 C.位移电流产生的磁场才是无源、有旋的。 D.磁感应线可以不闭合。 3、如图所示的平面闭合矢量路径；空间有三条载流导线电流流向如图所示，则该闭合路径 B?dr?上磁感应强度的第二类曲线积分结果为：（ A ） 。 L A. ?0(I3?I2)； B. ?0(I1?I2?I3)； C.0； D. ?0(I2?I3) 4、无限长载流导线通有电流I，在其产生的磁场中作一个以载流导线为轴线的同轴圆柱形闭合高斯面，则通过此闭合面的磁感应强度通量[ A ]。 A.等于零 B.不一定等于零 C.为?0I D. 为q/?0 5、均匀磁场的磁感强度B垂直于半径为r的圆面．今以该圆周为边线，作一半球面S，则通过S面的磁通量的大小为 ［ B ］ A. 2 ?r2B． B. ?r2． C. 0． D. 无法确定的量． 6、半径为R的无限长均匀载流圆柱形导体，其空间各点B-r图线应为[ B ] A B C D 7、有一半径为R的单匝圆线圈，通以电流I，若将该导线弯成匝数N=2的平面圆线圈，导线长度不变，并通以2倍的电流，则线圈中心的磁感应强度是原来的 [ D ] A. 2倍； B. 1/2倍； C. 2倍； D. 8倍； 8、在真空中，电流由长直导线1沿半径方向经a点流入一由电阻均匀的导线构成的圆环，再由b点沿切向从圆环流出，经长直导线2返回电源(如图)．已知直导线上的电流强度为I，圆环半径为R．a、b和圆心O在同一直线上，则O处的磁感强度B的大小为[ C ] A. 0 B. ?0I C.?0I/4?R D.?0I/2? 9、四条通以电流I的无限长直导线，相互平行地分别置于边长为a的正方形各个顶点处，则正方形中心O的磁感应强度大小为[ D ] 2?0I2?0I?0IA、?a； B、?a；C、?a； D、0。 10、一匀强磁场，其磁感应强度方向垂直于纸面，两带电粒子在该磁场中运动的圆形轨迹如图所示，则 [ B ] (A)两粒子的电荷必然同号； (B)粒子的电荷可以同号也可以异号； (C)两粒子的动量大小必然不同； (D)两粒子的运动周期必然不同。 11、速度不为0的带电粒子在空间中做直线运动，忽略重力，则下列推断一定不成立的是[ C ] A. E=vB且三者两两垂直；B. E=0,B=0；C. E=0,B≠0且v 不与B平行；D. E≠,B=0 12、一带电粒子在磁感应强度为B的均匀磁场中运动的轨迹如图的abc所示，当它穿过水平放置的铝箔后继续在磁场中运动，考虑到带电粒子穿过铝箔后有动能损失，由此可判断：[ A ] A. 粒子带负电，且沿a→b→c运动， B. 粒子带正电，且沿a→b→c运动， C. 粒子带负电，且沿c→b→a运动， D. 粒子带正电，且沿c→b→a运动。 三、计算题 1、如下图所示，AB、CD为长直导线BC为圆心在O点的一段圆弧形导线，其半径为R．若通以电流I，求O点的磁感应强度． 解：将载流导线分成三段，标号如图。则 （1）B1?0 B2? 1?0I?0I?，向外 122R24RB3??0I4?3R/2(sin?3?0I?，向外。 ?sin)?2412?R B?B1?B2?B3? （2）F?0 ?0I(23??) 24?RMmax?0I2S?(23??) 48?R 2、如图所示，一载流导线中间部分被弯成半圆弧状，其圆心点为O，圆弧半径为R。若导线的流过电流I，求圆心O处的磁感应强度。 解：两段直电流部分在O点产生的磁场 B1?0 弧线电流在O点产生的磁场 B2???0I 2?2R?BO?2B1?B2??0I??I??0 2R2?4?R3、载流体如图所示，求两半圆的圆心点P处的磁感应强度。 解：水平直电流产生 B1?0 大半圆 产生 B2??0I4R1 方向向里 小半圆 产生 B3??0I4R2 方向向里 竖直直电流产生 B4??0I 方向向外 4?R2??????BO?B1?B2?B3?B4 BO??0I4R1??0I4R2??0I?I111?0(??) 方向向里 4?R24R1R2?R24、在真空中，有两根互相平行的无限长直导线相距0.1m，通有方向相反的电流， I1=20A,I2=10A，如图所示．试求空间磁感应强度分布，指明方向和磁感应强度为零的点的位置． 解：取垂直纸面向里为正，如图设X轴。 B??0I1?0I22?10x ??2?10?72?x2?(d?x)x(0.1?x)?在电流I1左侧，B方向垂直纸面向外 ?在电流I1、I2之间，B方向垂直纸面向里 ?在电流I2右侧，当x?0.2m时，B方向垂直纸面向外 ? 当x?0.2m时，B方向垂直纸面向里 当B?0时，即2?10?72?10x?0 x(0.1?x)则 x?0.2m处的B为0。 5、 如图所示，一根无限长直导线，通有电流I，中部一段弯成圆弧形，求图中O点磁感应强度的大小。 ? 解：两段直线电流在O点产生的磁场 B1?B2??0I4?Rcos?(sin?2?sin?)??0I4?Rcos?(1?sin?) 方向垂直纸面向里 弧线电流在O点 B3?里 2??0I?0I?? 方向垂直纸面向 2?2R2?R?BO?B1?B2?B3??0I2?Rcos?(1?sin?)??0I?2?R?I1?0(?tan???)2?Rcos? 方向垂直纸面向 里 6、有电流I的无限长导线折成如图的形状，已知圆弧部分的半径为R，试求导线在圆心O处的磁感应强度矢量B的大小和方向? 解：竖直直电流在O点 B1??0I 方向垂直纸面向里 4?R?0I 方向垂直纸面向外 4?R3?0I3?0I? 方向垂直纸面向外 42R8R 水平直电流在O点 B2? 弧线形电流在O点 B3??????BO?B1?B2?B3 BO??B1?B2?B3?3?0I 方向垂直纸面向外 8R 7、图中所示是一根很长的长直圆管形导体的横截面，内、外半径分别为a、b，导体内载有沿轴线方向的电流I，电流均匀地分布在管的横截面上．设导体的磁导率?0，试计算导体空间各点的磁感应强度。 解：取以截面轴线点为心，r为半径的圆形回路 L ??根据安培环路定理：?B?dl??0?Ii （1）当r?a时 B2?r?0 B?0 （2）当a?r?b时 B2?r??0I?b2??a2(?r2??a2) ?0I(r2?a2) B?2?r(b2?a2)（3）当r?b时 B2?r??oI B??0I 2?r 8、一根同轴电缆由半径为R1的长圆柱形导线和套在它外面的内半径为R2、外半径为R3的同轴导体圆筒组成，如图所示，传导电流I沿导线向上流去，由圆筒向下流回，在它们的截面上电流都是均匀分布的，求同轴电缆内外各处的磁感应强度的大小。 ??解： 根据：?B?dl??0?Ii L（1）当r?R1时 B2?r??0?0II2 ?rB?r ?R122?R12?0I 2?r2（2）当R1?r?R2时 B2?r??0I B?（3）当R2?r?R3时 B2?r??0?I?I?R32??R22(?r2??R2)? ?0I(R32?r2) B?2?r(R32?R22)（4）当r?R3时 B2?r?0 B?0 9、长直载流导线通以电流I，其旁置一长为m、宽为n的导体矩形线圈。矩形线圈与载流导线共面，且其长边与载流导线平行(两者相距为a)，（1）求该线圈所包围面积内的磁通量；（2）若线圈中也通以电流I，求此载流线圈所受的合力。 解：（1）取面元ds?mdr ???m??B?ds??Bmdr??a?na?0I?0mIa?n mdr?ln2?r2?a???（2）根据 F??Idl?B ?0I?0I2mm?左边 F1??IBdl?I 方向向左 2?a2?a?0I2m右边 F2?BIm? 方向向右 2?(a?n)上边 F3??a?na?0I?0I2a?nIdr?ln 方向向上 2?r2?a?0I2a?nln下边 F4? 方向向下 2?a????? F合?F1?F2?F3?F4 ?0I2m1?0I2mn1 方向向左 F合?F1?F2?(?)?2?aa?n2?a(a?n) 10、无限长载流导线I1与直线电流I2共面，几何位置如图所示.试求载流导线I2受到电流I1磁场的作用力. ????解：取 I2dl dF?I2dl?B dF??0I1I2dl 2?rF???a?ba?0I1I2a?bln?a?0I1I2dr2?rcos600 方向垂直I2向上 11、无限长载流导线I1与直线电流I2共面且垂直，几何位置如图所示.计算载流导线I2受到电流I1磁场的作用力和关于O点的力矩;试分析I2施加到I1上的作用力. 解： 在l上取dr， 它与长直导线距离为r， I1在此产生的磁场方向垂直纸面向里，大小为B??0I1 2?r???I2dr受力dF?I2dr?B dF??0I1I2dr 方向向上 2?rab导线受力F?dF???d?ld?0I1I2?IId?ldr?012ln 方向向上 2?r2?d????dF对O点力矩 dM?r?dF 其大小 dM?rdF??0I1I2dr 方向垂直纸面向外 2??M??dM??d?ld?0I1I2?IIdr?012l 方向向外 2?2?从对称角度分析，直电流I2在无限长载流导线I1上产生的磁场以O点对称，即O点上下对 ?称点的B大小相等，方向相反，所以I2在I1对称点上所施加的安培力也应大小相等，方向 相反，具有对称性，则I2施加在I1上的合外力为零。 12、长直载流导线I1附近有一等腰直角三角形线框，通以电流I2，二者共面．求△ABC的各边所受的磁力． ???B解：FAB??I2dl?B AFAB??I2AB?0I1?IIadl?012 方向垂直AB向左 2?d2?d???CFAC??I2dl?B AFAC??d?adI2?0I1?IId?adr?012ln 方向垂直AC向下 2?r2?d同理 FBC?I2dl??0I1dr dl? 2?rcos450?FBC??d?ad?0I1I2dr?0I1I2d?a 方向垂直BC向上 ?ln22?rcos45d2? 13、边长为l=0.1m的正三角形线圈放在磁感应强度B=1T 的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向平行.如图所示，使线圈通以电流I=10A，求：线圈每边所受的安培力；对OO/轴的磁力矩大小；(3)从所在位置转到线圈平面与磁场垂直时磁力所作的功． ???解：（1）Fab?Il?B Fab?IlBsin1200?0.866N 方向垂直纸面向外 ???Fbc?Il?B?0 ???Fca?Il?B Fca?IlBsin1200?0.866N 方向垂直纸面向里 ?????（2）Pm?ISen M?PM?B M?PMBsin900?ISB?4.33?10?2N?m 方向沿OO'方向 （3）磁力功 A?I(?2??1) ??1?0 ?2?BS?32lB 4?A?I 32lB?4.33?10?2J 414、一平面塑料圆盘，半径为R，表面带有面密度为?剩余电荷．假定圆盘绕其轴线AA?以角速度? (rad2s)转动，磁场B的方向垂直于转轴AA?．试证磁场作用于圆盘的力矩的 -1 M?大小为 ???R4B4．(提示：将圆盘分成许多同心圆环来考虑．) 解 :“取圆环ds?2?rdr，其中dI?dq?2?rdr????rdr 2?T?23磁矩 dP??rdI????rdr M???dM?dPM?B 方向垂直纸面向里 大小为dM?dPm?B????r3drB M??dM????B?r3dr?0R???R4B 4 15、在磁感应强度为B的均匀磁场中，垂直于磁场方向的平面内有一段载流弯曲导线，电流为I ，如图所示．建立适当的坐标系，求其所受的安培力． ????b解：在曲线上取dl，则Fab??Idl?B a?????dl与B夹角都是不变，B是均匀的 2??????bb??Fab??Idl?B?I(?dl)?B?Iab?B aa其大小Fab?BIab 方向垂直ab向上 16、如图所示，在长直导线内通以电流I1=20A，在矩形线圈中通有电流I2=10 A， 两者共面，且矩形线圈之纵边与长直导线平行．已知a=9.0cm, b=20.0cm, d=1.0 cm，求：(1)长直导线 的磁场对矩形线圈每边所作用的力；(2)矩形线圈所受合力和合力矩． 解：(1)F?CD方向垂直CD向左，大小 F?4CD?I?0I12b2?d?8.0?10 N 同理F?FE方向垂直FE向右，大小 F?5FE?I?0I12b2?(d?a)?8.0?10 N F?CF方向垂直CF向上，大小为 Fd?a?0I1I2CF??ddr??0I1I2lnd?ad?9.2?10?52?r2?F?ED方向垂直ED向下，大小为 FED?FCF?9.2?10?5N (2)合力F??F??F??CD?FFE?CF?FED方向向左，大小为 F?7.2?10?4N 合力矩M??P??B?m ∵ 线圈与导线共面 ∴ P?//B?m M??0． N 【课后习题】 一、填空题 1、当穿过一个闭合导体回路所围面积的__磁通量________发生变化时，回路中就有电流出现，这种现象叫做_电磁感应__________。 2、用导线制成一半径为r =10 cm的闭合圆形线圈，其电阻R =10欧，均匀磁场垂直于线圈平面．欲使电路中有一稳定的感应电流i = 0.01 A，B的变化率应为dB /dt =___3.18T/s ______________． 3、感生电场虽然对电荷有力的作用，但不是由电荷激发的，因此有别于静电场，在任意高斯面上感生电场的高斯通量恒等于__0____。 4、动生电动势来源于动生电场，产生动生电动势的非静电力是_洛伦兹力______ 5、楞次定律的本质是电磁相互作用中的牛顿第____ 三______定律。 6、块状导体放入随时间变化的磁场中，导体产生的电流称为__涡电流______，可以用于黑色金属冶炼和材料加工。 二、选择题 1、矩形线圈C与长直电流I共面。在此线圈C自由下落过程中，其加速度a为 [ B ] A. a>g B. a 2、如图所示，一矩形线圈，放在一无限长载流直导线附近，开始时线圈与导线在同一平面内，矩形的长边与导线平行．若矩形线圈以图(1)，(2)，(3)，(4)所示的四种方式运动，则在开始瞬间，矩形线圈中的感应电流最大的运动方式为. [ C ] A. (1); B. (2); C. (3); D. (4). 3、 一长为a、宽为b的矩形线圈置于匀强磁场B中，而且B随时间变化的规律为B=B0sin?t，线圈平面与磁场垂直，则线圈内感应电动势的大小为( C ) A. 0 ; B. abB0sin?t; C. ?abB0cos?t; D. ?abB0 4、闭合电路的一部分导线ab处于匀强磁场中（其余部分没有动生电动势），图中各情况下导线都在纸面内运动，那么下列判断中正确的是： [ D ] A．都会产生感应电流。 B．都不会产生感应电流。 C．甲、乙不会产生感应电流，丙、丁会产生感应电流。 D．甲、丙会产生感应电流，乙、丁不会产生感应电流。 5、如图，长度为l的直导线ab在均匀磁场B中以速度v移动，直导线ab中的电动势为 ( C ) (A) Blv． (B) Blv sin?． (C) Blv cos?． (D) 0． 6、圆铜盘水平放置在均匀磁场中，B的方向垂直盘面向上．当铜盘绕通过中心垂直于盘面的轴沿图示方向转动时， (A) 铜盘上有感应电流产生，沿着铜盘转动的相反方向流动． (B) 铜盘上有感应电流产生，沿着铜盘转动的方向流动． (C) 铜盘上产生涡流． (D) 铜盘上有感应电动势产生，铜盘边缘处电势最高． (E) 铜盘上有感应电动势产生，铜盘中心处电势最高． ［ AC ］ 7、对于单匝线圈静态自感系数的定义式为L =?/I．当线圈的几何形状、大小及周围磁介质分布不变，且无铁磁性物质时，若线圈中的电流强度变小，则线圈的自感系数L A. 变大，与电流成反比关系． B. 变小．C. 不变．D. 变大，但与电流不成反比关系． ［ C ］ 三、计算题 1、两相互平行无限长的直导线,流有大小和方向如图所示的电流，金属杆CD与两导线保持共面，相对位置如图。 杆以速度v沿着平行于直载流导线的方向运动，求:杆中的感应电动势，并判断两端哪端电势较高？ 解 ： D?CD??C??a?c??3I??02I?3?0I?0I?ab(??B)?dl????0?dr?ln?lna2?(a?b?c?r)?2?a?c?b?c?2?r?? 2、如图所示，AB、CD为两均匀金属棒，有效长度均为1m，放在B=2T、方向垂直纸面向里的均匀磁场中．AB、CD可以在平行导轨上自由滑动．当两棒在导轨上分别以v1=4m/s,v2=2m/s 的速度向右作匀速运动时，求：ABCD导体框中，电动势的大小及感应电流的方向． 解：?CD??1BL?16(V) ?BA??2BL?8(V) ?ABCD??AB??CD?16?8?8(V) 方向顺时针 3、如图所示，长直导线中通有电流I = 0.2A，在与其相距d = 0.4cm处放有一矩形线圈，共2000匝，设线圈长l = 4cm，宽a = 1cm。不计线圈自感，若线圈以速度v = 5m/s沿垂直于长导线的方向向右运动，线圈中的感生电动势多大？ ???I解：?1????B?dl?N?Bl?N?l0 2?d??????2????B?dl?N?l????0I2?(a?d) ???1??2?N?l?0Ia?1.25?10?5(V) 方向顺时针 2?d(a?d) 4、真空中的两条无限长直导线平行放置，一载流导体环（半径为R）与两导线共面放置，如图所示。（1）求O点之磁感应强度（2）若圆环以匀速率v铅直向上运动，求其 上的动生电动势。 解：（1）B?2? ?0I?I?0 方向垂直纸面向外 2??3R3?R（2）根据法拉第电磁感应定律，因为磁通量不变，所以 ??0 5、电流为I的无限长直导线旁有一弧形导线，圆心角为120O，几何尺寸及位置如图所示。求当圆弧形导线以速度v平行于长直导线方向运动时，弧形导线中的动生电动势。 解：构造闭合回路ABCDA，依据电磁感应定律，闭合回路动生电动势为0，因而 ?ABC??AD 由于磁场分布规律 B(r)??0I12?r，则 d??v?0Idr，得到2?r?ABC??2.5RRv?0I?Ivdr?0ln(2.5) 2?r? 6、导线AB长为l，绕过O点的垂直轴以匀角速?转动，AO=l/3,磁感应强度B平行于转轴， 如图所示．试求：（1） 两端的电势差；（2） 哪一端电势高? 解: (1)在Ob上取r?r?dr一小段，则 ?Ob???rBdr?2B?l2 9同理 ?Oa??rBdr?1B?l2?18l302l30 ∴ ?ab??aO??Ob?(?121?)B?l2?B?l2 1896(2)∵ ?ab?0 即Ua?Ub?0 ∴b点电势高． 7、长直导线中通以随时间变化的电流,置于磁导率为?的磁介质中。已知：I = I0sin?t其中 I0，?均为大于0的常量。求：与其共面的N匝矩形回路中的感应电动势. 解：磁场分布 B?μ0I，矩形回路磁通量Φ?d?aμ0I?ldx?μ0Illnd?a ?d2πx2πx2πd感应电动势 ε??NdΦ??μ0ωllnd?acosωt dt2πd 8、真空中的正方形导体框与长直载流导线共面放置，AB边与载流导线平行，已知b/a=3/4，求（1）两者的互感应系数； (2)若I = I0sin?t，ABCD上的感生电动势是多少？（3）若ABCD的电阻为R，则感生电流是多少？（4）b为多少时，两者无互感？ 解：（1）???3a4a4?a?0Ia?Iadr?0ln3 所以 M?0ln3 2?r2?2?（2）????aI?cos?td???00ln3 dt2??0aI0?ln3??cos?t （3）I?R2?R?（4）b?a时 两者无互感 2 9、磁感应强度为B的均匀磁场充满一半径为R的圆柱形空间，一金属杆放在图中位置，杆长为2R，其中一半位于磁场内、另一半在磁场外．当dB/dt＞0时，求：杆两端的感应电动势的大小和方向． 解： ∵ ?ac??ab??bc ?ab??d?1d323RdB??[?RB]? dtdt44dt?bcd?2dπR2πR2dB????[?B]? dtdt1212dt∴ ?ac3R2πR2dB ?[?]412dtdB?0 dt∵ ∴ ?ac?0即?从a?c 10、圆形均匀磁场区域R的内接正方形导电回路边长LL=0.10M，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度以0.2T/s 的变化率减少，如图所示，试求: (1) 整个回路内的感生电动势。 (2)回路电阻为2?时回路中的感应电流。 ??B??ds??0.1*(0.2)2??0.004V解：(1) ??-??s?t所以感生电动势大小为0.004V, 方向顺时针 0.004??0.002A （2）I?R2 ?