2016浙江精彩题选——解析几何解答题
1.(2016名校联盟第一次)19.(本题满分15分)
y2x2已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左右焦点为F,离心率为e.直线l:y=ex+a1,F2ba与x轴、y轴分别交于点A,B两点,M是直线l与椭圆C的一个公共点,P是点F关于直线
l的对称点,设.
(Ⅰ)若l=34,求椭圆C的离心率; (Ⅱ)若DPF1F2为等腰三角形,求l的值.
1
x2y22.(2016温州一模19).(本题满分15分)如图,已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)经过点
ab(1,62),且离心率等于.点A,B分别为椭圆C的左、右顶点,M,N是椭圆C上非
22顶点的两点,且?OMN的面积等于2.(Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)过点A作AP//OM交椭圆C于点P,求证:BP//ON.
?62P?1()N?2?22?1Mab?2???a?4AOBc2 解:(Ⅰ)由题意得: ?,解得:?2
e????b?2?a2?222?a?b?c?? 22xy??1 ……………………………………5分 故椭圆C的方程为:42(Ⅱ)解法一:如图所示,设直线OM,ON的方程为y?kOMx,y?kONx
yx?y?kOMx2kOM2?联立方程组?x2y2,解得M(,),
22?11?2kOM1?2kOM???42同理可得N(?21?2k2ON,?2kON1?2k2ON),……………………………………7分
作MM'?x轴, NN'?x轴,M',N'是垂足,
S?OMN=S梯形MM'N'N?S?OMM'?S?ONN'
1 ?[(yM?yN)(xM?xN)?xMyM?xNyN]
21 ?(xMyN?xNyM)
2?4kON4kOM1?(?)
222221?2kOM1?2kON1?2kOM1?2kON ?已知S?OMN?2(kOM?kON)1?2k2OM1?2k2ON……………………………………9分
12,化简可得kOMkON??.……………………………………11分
222设P(xP,yP),则4?xP, ?2yP1又已知kAP?kOM,所以要证kBP?kON,只要证明kAPkBP??……………………13分
2yPyPy2P1而kAPkBP??2??
xP?2xP?2xP?42所以可得BP//ON…………………………………………………………………………15分
(M,N在y轴同侧同理可得)
解法二:设直线AP的方程为y?kOM(x?2),代入x2?2y2?4
2222?2和xP 得(2kO?1)x?8kx?8kMOMOM?4?0,它的两个根为
22?4kOM4kOM 可得xp? ……………………………………7分 y?P222kOM?12kOM?1 从而kBP4kOM22kOM?11??? 22kOM2?4kOM?222kOM?111?kON 即kOMkON?? …………………………………9分
22kOM 所以只需证? 设M(x1,y1),N(x2,y2),若直线MN的斜率不存在,易得x1?x2??2 从而可得kOMkON??分
1 …………………………………102x2y2??1 若直线MN的斜率存在,设直线MN的方程为y?kx?m, 代入42 得(2k2?1)x2?4kmx?2m2?4?0
2m2?44km 则x1?x2??2,x1x2?,??8(4k2?2?m2)?0………1122k?12k?1分
S?OMN8(4k2?2?m2)11?|m|?|x1?x2|?|m|??2 2222k?12242222 化得m?(4k?2)m?(2k?1)?0,得m?2k?1 ………………………13
分
kOM?kONy1y2k2x1x2?km(x1?x2)?m2m2?4k22k2?1?4k21 ??????x1x2x1x22m2?42(2k2?1)?42 ………………………………………………15
分
3.(2016嵊州期末)(本小题满分15分)
x2y26已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的离心率为,直线l:x?y?1?0与C相交于A,Bab3两点.
(Ⅰ)证明:线段AB的中点为定点,并求出该定点坐标;
uuuruuur?7?(Ⅱ)设M?1,0?,MA??BM,当a??时,求实数?的取值范围. ,3??2???
622解:(Ⅰ)由离心率为,得a?3b. ………………2分 3?x2?3y2?3b2?0,设A?x1,y1?,B?x2,y2?,联立?消去y得4x2?6x?3?1?b2??0
?x?y?1?0,3?1?b?3故x1?x2?,x1x2?, ………………4分
422所以
x1?x23y1?y2x?x1?,?1?12?. 24224?31?故线段AB的中点为定点?,?. ………………6分
?44?uuuruuur(Ⅱ)M?1,0?,MA??BM,得x1?1???1?x2?. ………………8分 132,x???2. 结合x1?x2?解得x2?12(??1)??12??由x1x2?3?1?b2?4得??1??1?2.23b?1………………10分
?7?7??因为a??,故b2??,1?, ………………12分 ,3??2??12???从而??1???510??2??,?. 23b?1?23?1………………13分
?11?解得???,?U?2,3?. ………………15分
?32?法二:本题在运算时用y1???y2
(y1?y2)2再利用y的韦达定理算出?的式子,用来算要好算一点。
y1y2y2x224.(2016嘉兴一模).(本题满分15分)过离心率为的椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右
2ab焦点F(1,0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B,设|FA|??|FB|,T(2,0). (Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)若1???2,求?ABT中AB边上中线长的取值范围. 解:(Ⅰ)∵e?2,c?1,∴a?2,c?1 2x2?y2?1. …7分 即椭圆C的方程为:2
(Ⅱ)(1)当直线的斜率为0时,显然不成立.