考点规范练33 基本不等式与绝对值不等式
基础巩固组
1.下列不等式一定成立的是( )
A.lg >lg x(x>0) B.sin x+2
2(x≠kπ,k∈Z)
C.x+ ≥ |x|(x∈R) D <1(x∈R) 答案C 解析当x>0时,x+ 2·x =x,所以lg lgx(x>0),故选项A不正确;运用基本不等式时需保
2
证“一正”“二定”“三相等”,而当x≠kπ,k∈Z时,sinx的正负不定,故选项B不正确;由基本不等式可知,选项C正确;当x=0时,有 =1,故选项D不正确. 2.若a,b都是正数,则 的最小值为( ) A.7 答案C 解析∵a,b都是正数, =5+ 5+2 ·=9,当且仅当b=2a>0时取等号.故选C.
3.(2018浙江平湖模拟)已知a为实数,则|a|≥ 是关于x的绝对值不等式|x|+|x-1|≤a有解的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 答案B 解析由|a|≥ ,得a≤-1或a≥ ,因为关于x的绝对值不等式|x|+|x-1|≤a有解,而|x|+|x-1|=|x|+|1-x|≥|x+1-x|=1,所以a≥ .所以|a|≥ 是关于x的绝对值不等式|x|+|x-1|≤a有解的必要不充分条件.故选B.
4.若a>b>1,P= · , Q= (lg a+lg b),R=lg ,则( ) A.R
B.Q B.8 C.9 D.10 D.既不充分也不必要条件 1 (lga+lgb)> · , 即Q>P ,∴lg>lg (lga+lgb)=Q,即R>Q.∴P 5.已知实数x,y满足xy-3=x+y,且x>1,则y(x+8)的最小值是( ) A.33 答案C 解析由xy-3=x+y,得y=, - B.26 C.25 D.21 - ∴y(x+8)= - - - =x-1++13, - 由x-1>0可知,x-1++ ≥ ×6+13=25,当且仅当x=7时等号成立.故y(x+8)的最小值为25. - 6.(2018浙江余姚中学模拟)若实数a,b满足 ,则ab的最小值为 . 答案2 解析 , ∴a>0,b>0, 2 =2 ab≥ (当且仅当b=2a时取等号),即ab的 最小值为2 7.不等式|x-3|+|x+1|>6的解集为 . 答案(-∞,-2)∪(4,+∞) 解析方法一:当x<-1时,不等式化为-(x-3)-(x+1)>6,解得x<-2;当- ≤x≤ 时,-(x-3)+(x+1)>6,不成立;当x>3时,(x-3)+(x+1)>6,得x>4.综上可知x∈(-∞,-2)∪(4,+∞). 方法二:|x-3|+|x+1|>6表示数轴上到-1和3的距离之和大于6的点的集合,因为-1和3之间的距离为4,所以由不等式的几何意义可知x<-2或x>4. 8.(2018浙江金华一中模拟)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是 . 答案 解析∵x+2y+2xy=8,∴x·2y=8-(x+2y) ,解不等式得x+2y 故填 能力提升组 9.已知f(x)=a|x-2|,若f(x) 2 - , ,解析依题意,得f(x)= 易知当a≥0时,f(x) - , , 出y=f(x)与y=x的图象如图所示,观察可知f(x) 0 0 D.4 B C.2 x> ,所以x-2y>0 A. - - - =x-2y+ 4,当且仅当 - x= +1,y= - 时等号成立.故选 11.设函数f(x)=|2x-1|,若不等式f(x) ( ) A.(-∞,-1]∪[3,+∞) C.(-∞,-3]∪[1,+∞) 答案B 解析由题意,令g(a)= - - - - 对任意实数a≠0恒成立,则x的取值范围是 B.(-∞,-1]∪[2,+∞) D.(-∞,-2]∪[1,+∞) (a≠0),不等式f(x ≥g(a)对任意实数a≠0恒成立,等价于函数f(x) 大于或等于g(a)的最大值,由函数g(a)的解析式,可对a的取值范围进行分段讨论,当a≤-1时,g(a)==-1+;当-1 - - - =-1+ ,从而可得g(a) 的最大值为g(a)max=g =-1+ =3,所以有|2x-1|≥ ,即2x- ≤-3或2x- ≥ ,解得x≤-1或x≥ .故 选B. 12.若实数x,y满足xy>0,则 的最大值为( ) A.2- 答案D 解析 故选D. B.2+ C.4+2 D.4-2 =1+ =1+ 1+ =4-2 ,当且仅当 ,即x=2y时取等号.2 2 3 13.若正数x,y,a满足ax+y+6=xy,且xy的最小值为18,则a的值为( ) A.1 答案B 解析正数x,y,a满足ax+y+6=xy,且ax+y≥ , 即有xy≥ +2 , 令t= , 即为t-2 t - ≥0, 由xy的最小值为18,可得3 为方程t-2 t -6=0的解,即有18-6 - 6=0,解得a=2. 14.已知a>0,b>0,且答案 解析a+b= (2+a+a+2b)-1= (2+a+a+2b) -1= 1= ,当且仅当a= ,b= 时取等号. 15.设a+b=2,b>0,则当a= 时,答案-2 解析由于a+b=2,所以 因此当a>0时, 此时 2 2 B.2 C.3 D.4 =1,则a+b的最小值是 ,此时a= . -1 · - 取得最小值为 . ,由于b>0,|a|>0,所以 2 · =1, 的最小值是+1= 当a<0时, 的最小值是-+1= 故 的最小值为, ,即a=-2. 0, 16.(2018浙江余姚中学模拟)已知不等式|x+2|+|x|≤a的解集不是空集,则实数a的取值范围是 ;若不等式|x+x-1|+|x+x+1| 是 . 答案a≥ x∈(-∞,-2]∪[1,+∞) 解析∵|x+2|+|x|的最小值为2,∴要使不等式|x+2|+|x|≤a的解集不是空集,则有a≥ . - , - , - ,- 0, , ,0 , - , - - 2 2 - - 对任意实数a恒成立,则实数x的取值范围 化简不等式|x+x-1|+|x+x+1| 22 - - 有 - - , 或 2222 即|x+x-1|+|x+x+1|≥ .而|x+x-1|+|x+x+1|= - - - , , - , 4