统计学课后答案 下载本文

(2)P(B)=4/12=1/3 (3)P(AB)=2/12=1/6

(4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=1/3+1/3-1/6=1/2 3.

4.某项飞碟射击比赛规定一个碟靶有两次命中机会(即允许在第一次脱靶后进行第二次射击)。某射击选手第一发命中的可能性是80%,第二发命中的可能性为50%。求该选手两发都脱靶的概率。

解:设A=第1发命中。B=命中碟靶。求命中概率是一个全概率的计算问题。再利用对立事件的概率即可求得脱靶的概率。

P(B)=P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)

=0.8×1+0.2×0.5=0.9 脱靶的概率=1-0.9=0.1 或(解法二):P(脱靶)=P(第1次脱靶)×P(第2次脱靶)=0.2×0.5=0.1 5. 6. 7.

8.已知某地区男子寿命超过55岁的概率为84%,超过70岁以上的概率为63%。试求任一刚过55岁生日的男子将会活到70岁以上的概率为多少? 解: 设A=活到55岁,B=活到70岁。所求概率为:

P(B|A)=P(AB)P(B)0.63===0.75P(A)P(A)0.84

9.某企业决策人考虑是否采用一种新的生产管理流程。据对同行的调查得知,采用新生产管理流程后产品优质率达95%的占四成,优质率维持在原来水平(即80%)的占六成。该企业利用新的生产管理流程进行一次试验,所生产5件产品全部达到优质。问该企业决策者会倾向于如何决策?

解:这是一个计算后验概率的问题。

设A=优质率达95%,A=优质率为80%,B=试验所生产的5件全部优质。

P(A)=0.4,P(A)=0.6,P(B|A)=0.955, P(B|A)=0.85,所求概率为:

P(A|B)=P(A)P(B|A)0.30951==0.6115P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)0.50612

决策者会倾向于采用新的生产管理流程。

10. 某公司从甲、乙、丙三个企业采购了同一种产品,采购数量分别占总采购量的25%、

30%和45%。这三个企业产品的次品率分别为4%、5%、3%。如果从这些产品中随机抽出一件,试问:(1)抽出次品的概率是多少?(2)若发现抽出的产品是次品,问该产品来自丙厂的概率是多少?

解:令A1、A2、A3分别代表从甲、乙、丙企业采购产品,B表示次品。由题意得:P(A1)=0.25,P(A2)=0.30, P(A3)=0.45;P(B|A1)=0.04,P(B|A2)=0.05,P(B|A3)=0.03;因此,所求概率分别为: (1)

P(B)=P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)

=0.25×0.04+0.30×0.05+0.45×0.03=0.0385

(2)

P(A3|B)=0.45?0.030.0135==0.35060.25?0.04+0.30?0.05+0.45?0.030.0385

11.某人在每天上班途中要经过3个设有红绿灯的十字路口。设每个路口遇到红灯的事件是相

互独立的,且红灯持续24秒而绿灯持续36秒。试求他途中遇到红灯的次数的概率分布及其期望值和方差、标准差。

解:据题意,在每个路口遇到红灯的概率是p=24/(24+36)=0.4。

设途中遇到红灯的次数=X,因此,X~B(3,0.4)。其概率分布如下表:

xi P(X= xi) 0 0.216 1 0.432 2 0.288 3 0.064 期望值(均值)=1.2(次),方差=0.72,标准差=0.8485(次)

12.一家人寿保险公司某险种的投保人数有20000人,据测算被保险人一年中的死亡率为万分之5。保险费每人50元。若一年中死亡,则保险公司赔付保险金额50000元。试求未来一年该保险公司将在该项保险中(这里不考虑保险公司的其它费用): (1)至少获利50万元的概率; (2)亏本的概率;

(3)支付保险金额的均值和标准差。

解:设被保险人死亡数=X,X~B(20000,0.0005)。

(1)收入=20000×50(元)=100万元。要获利至少50万元,则赔付保险金额应该不超过50万元,等价于被保险人死亡数不超过10人。所求概率为:P(X ≤10)=0.58304。 (2)当被保险人死亡数超过20人时,保险公司就要亏本。所求概率为: P(X>20)=1-P(X≤20)=1-0.99842=0.00158 (3)支付保险金额的均值=50000×E(X) =50000×20000×0.0005(元)=50(万元) 支付保险金额的标准差=50000×σ(X)

1/2

=50000×(20000×0.0005×0.9995)=158074(元)

13.对上述第12题的资料,试问: (1)可否利用泊松分布来近似计算? (2)可否利用正态分布来近似计算?

(3)假如投保人只有5000人,可利用哪种分布来近似计算?

解: (1)可以。当n很大而p很小时,二项分布可以利用泊松分布来近似计算。本例中,

λ= np=20000×0.0005=10,即有X~P(10)。计算结果与二项分布所得结果几乎完全一致。 (2)也可以。尽管p很小,但由于n非常大,np和np(1-p)都大于5,二项分布也可以利用正态分布来近似计算。

本例中,np=20000×0.0005=10,np(1-p)=20000×0.0005×(1-0.0005)=9.995, 即有X ~N(10,9.995)。相应的概率为:

P(X ≤10.5)=0.51995,P(X≤20.5)=0.853262。

可见误差比较大(这是由于P太小,二项分布偏斜太严重)。

【注】由于二项分布是离散型分布,而正态分布是连续性分布,所以,用正态分布来近似计算二项分布的概率时,通常在二项分布的变量值基础上加减0.5作为正态分布对应的区间点,这就是所谓的“连续性校正”。

(3)由于p=0.0005,假如n=5000,则np=2.5<5,二项分布呈明显的偏态,用正态分布来计算就会出现非常大的误差。此时宜用泊松分布去近似。 14. 15.

16.某企业生产的某种电池寿命近似服从正态分布,且均值为200小时,标准差为30小时。若规定寿命低于150小时为不合格品。试求该企业生产的电池的:(1)合格率是多少?(2)电池寿命在200左右多大的范围内的概率不小于0.9。 解:

P(X?150)?P(Z?(1)

150?200)=P(Z??1.6667)30=0.04779

合格率为1-0.04779=0.95221或95.221%。

(2) 设所求值为K,满足电池寿命在200±K小时范围内的概率不小于0.9,即有:

P(|X?200|?K)?P{|Z|=P{Z?即:

|X?200|K?}?0.93030

K}?0.9530,K/30≥1.64485,故K≥49.3456。

17.

18.一个具有n?64个观察值的随机样本抽自于均值等于20、标准差等于16的总体。

⑴ 给出x的抽样分布(重复抽样)的均值和标准差

⑵ 描述x的抽样分布的形状。你的回答依赖于样本容量吗? ⑶ 计算标准正态z统计量对应于x?15.5的值。 ⑷ 计算标准正态z统计量对应于x?23的值。 解: 已知 n=64,为大样本,μ=20,σ=16, 在重复抽样情况下,x的抽样分布的均值为

(1). 20, 2 (2). 近似正态 (3). -2.25 (4). 1.50

19.根据18题的条件,求下列情况的概率。

⑴x<16; ⑵x>23; ⑶x>25; ⑷.x落在16和22之间; ⑸x<14。 解: a. 0.0228 b. 0.0668 c. 0.0062 d. 0.8185 e. 0.0013

20.一个具有n?100个观察值的随机样本选自于??30、??16的总体。试求下列概率的近似值:

解: (1). 0.8944 (2). 0.0228 (3). 0.1292 (4). 0.9699

21.一个具有n?900个观察值的随机样本选自于??100和??10的总体。

⑴ 你预计x的最大值和最小值是什么? ⑵ 你认为x至多偏离?多么远?

⑶ 为了回答b你必须要知道?吗?请解释。

解.(1) 101, 99 (2). 1 (3). 不必

22.考虑一个包含x的值等于0,1,2,…,97,98,99的总体。假设x的取值的可能性是相同的。则运用计算机对下面的每一个n值产生500个随机样本,并对于每一个样本计算x。对于每一个样本容量,构造x的500个值的相对频率直方图。当n值增加时在直方图上会发生什么变化?存在什么相似性?这里n?2,n?5,n?10,n?30和n?50。

解:趋向正态

23.美国汽车联合会(AAA)是一个拥有90个俱乐部的非营利联盟,它对其成员提供旅行、金融、保险以及与汽车相关的各项服务。1999年5月,AAA通过对会员调查得知一个4口之家出游中平均每日餐饮和住宿费用大约是213美元(《旅行新闻》Travel News,1999年5月11日)。假设这个花费的标准差是15美元,并且AAA所报道的平均每日消费是总体均值。又假设选取49个4口之家,并对其在1999年6月期间的旅行费用进行记录。

⑴ 描述x(样本家庭平均每日餐饮和住宿的消费)的抽样分布。特别说明x服从怎样

的分布以及x的均值和方差是什么?证明你的回答;

⑵ 对于样本家庭来说平均每日消费大于213美元的概率是什么?大于217美元的概率

呢?在209美元和217美元之间的概率呢?

解: (1). 正态分布, 213, 4.5918 (2). 0.5, 0.031, 0.938

24.技术人员对奶粉装袋过程进行了质量检验。每袋的平均重量标准为??406克、标准差为??10.1克。监控这一过程的技术人者每天随机地抽取36袋,并对每袋重量进行测量。现考虑这36袋奶粉所组成样本的平均重量x。

(1)描述x的抽样分布,并给出?x和?x的值,以及概率分布的形状;

(3) 假设某一天技术人员观察到x?400.8,这是否意味着装袋过程出

现问题了呢,为什么?

解: a. 406, 1.68, 正态分布 b. 0.001 c. 是,因为小概率出现了

25.某制造商为击剑运动员生产安全夹克,这些夹克是以剑锋刺入其中时所需的最小力量(以