《随机信号分析》练习题

一、 概念题

1．叙述随机试验的三个条件。

2．写出事件A的概率P(A)所满足的三个条件。 3．何谓古典概型？其概率是如何计算的？ 4．两个事件独立的充要条件。 5．两个随机变量独立的充要条件。 6．两个随机过程的独立是如何定义的？

7．随机变量X服从正态分布，写出其概率密度函数表达式，并说明其中各

个参数的意义。

8．简述一维随机变量分布函数F（x）的性质。 9．已知连续型随机变量X的分布特性，分别用分布函数FX(x)和概率密度函

数fX(x)表示概率P{x1?X?x2}。

10． 随机变量X的特征函数CX(?)是如何定义的？写出由CX(?)计算k

阶矩E(Xk)的公式。 11．

设X1,X2,?,Xn为相互独立的随机变量，其特征函数分别为

ni?1C1(μ),C2(μ),?,Cn(μ)，设Y??Xi，则CY(μ)=？

12． 对于一般的复随机变量，其数学期望、方差、协方差各是实数还是

复数？

13． 写出随机过程X(t)的n维分布函数定义式。 14． 简述随机过程宽平稳性与严平稳性的区别。 15． 平稳过程与各态历经过程有何关系？

16． 设平稳随机过程X(t)的自相关函数为RX(τ)，X(t)依均方意义连续

的条件是？

17． 已知平稳随机过程X(t)、Y(t)的相关时间分别为?X和?Y，若?X>?Y，说明X(t) 与Y(t)的起伏程度那个较大？

18． 两个随机过程广义联合平稳的条件是什么？

19． 平稳随机过程X(t)的功率谱密度GX(?)的物理意义是什么？GX(?)与物理谱密度有何关系？

20． 白噪声的功率谱密度和自相关函数有何特点？ 21． 简述维纳-辛钦定理并写出其表达式。 22． 何为线性系统？

23． 写出希尔伯特变换器的频率响应、幅频响应和相频响应表达式。 24． 写出窄带过程的准正弦表达式和莱斯表达式。 25． 对正态过程而言，宽平稳和严平稳之间有何关系？

1

二、计算题

1．设随机变量(X,Y)的分布律为：

Y-101X-1 0 11/8 1/8 1/81/8 0 1/81/8 1/8 1/8(1)填写阴影处的值；

(2)分别画出函数FX(x),FY(y)；

(3)验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的。

2．己知随机变量X的分布函数为

?0,x?(??,0]?x?FX(x)??,x?(0,4]

?4??1,x?(4,?)求X的数学期望。

3．设随机变量X具有概率密度

?1?x,?1?x?0?f(x)??1?x,0?x?1

?0,else?求X的方差D(X)。

4．已知设一连续性随机变量X在区间(-1,3)上服从均匀分布 (1)求X的概率密度函数； (2)画出X的分布函数；

(3)求X的取值落在区间(-1,0.5)上的概率。

5．以下函数是某连续型随机变量的概率分布函数，确定其中的常数a并求其概率密度函数。

?0,x?0?F(x)??x ?2??a?e,x?0

6．已知随机变量X和Y的联合概率密度函数为 ?Ae?(2x?y),x?0,y?0f(x,y)?? 0,其它?求：(1)常数A；

(2)分布函数FXY(x,y)；

2

(3)P{X+Y<2}； (4)P{X≤Y}。

7．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

?12y20?y?x?1 f(x,y)??其他?0求E(X)，E(Y)，E(XY)，E(X2?Y2)。

8．随机变量X的数学期望为3，方差为2，定义新的随机变量Y=-6X+22，问随机变量X与Y是否正交、不相关？为什么？

9．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

?xy?,0?x?2,0?y?3 fXY(x,y)??9??0,else问X与Y是否正交、不相关、独立？为什么？

10．设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为

?e?(x?y),x?0,y?0 fXY(x,y)???0,else求边缘分布fX(x),fY(y)。

11．已知二维随机变量(X1, X2)的概率密度函数为fX(x1,x2)，求Y= X1+X2的概率密度函数fY(y)。

12．设X为二维随机向量，其分量X1和X2互为独立的随机变量，且分别具有概率密度fX1(x1)与fX2(x2)。令Y为新的二维随机向量，其分量由下列变换定义Y1=X1，Y2=X1X2，试求

(1)(Y1,Y2)的联合概率密度； (2)Y2的边缘概率密度。

13.设电压V?Asin?，其中A是已知的正常数，相角?是一个随机变量，在区

??间(?,)服从均匀分布，试求电压V的概率密度。

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14．一正弦波随机过程为X(t)?A?cos?0t，其中A是均匀分布在(0,1)内的随机变量

(1)写出随机变量A的概率密度函数；

(2)画出A分别为0.5和1时的样本函数的图形；

?3??(3)求t?0,,,时X(t)的一维概率密度；

4?04?0?03

(4)求t?

?时X(t)的一维概率密度。 2?015．利用重复抛币试验定义一个随机过程

?cos?t,出现正面X(t)??

?2t,出现反面“出现正面”和“出现反面”的概率各为1/2。

1(1)求X(t)的一维分布函数FX(x,)和FX(x,1)；

21(2)求X(t)的二维分布函数FX(x1,x2;,1)。

2

16．设随机振幅信号X(t)?V?sin?0t，其中?0是常数，随机变量V是标准正态随机变量，求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。

17．设平稳过程X(t)和Y(t)的自协方差函数分别为

1sina?KX(?)?e?2a|?|,KY(?)?

2a?式中a为正常数，求它们的相关系数和相关时间，并判断哪个过程的起伏速度快。

18．给定一个随机过程X(t)和任一实数a，定义另一个随机过程

?1,X(t)?a Y(t)???0,X(t)?a已知X(t)的一维分布函数和二维分布函数，求Y(t)的数学期望和自相关函数。

119．已知某随机电报信号X(t)的相关函数为RX(?)?(1?e?2?|?|)，求其功率谱密

4度。 20．随机过程X(t)?a?sin(?0t??),?为均匀分布于0~2?间的随机初始相位，求

X(t)的功率谱密度。

21．某随机过程由下述三个样本函数组成，且等概率发生 X(t,e1)?1,X(t,e2)?sint,X(t,e3)?cost

(1)计算数学期望mX(t)和自相关函数RX(t1,t2)； (2)该随机过程是否平稳？

22.平稳随机过程X(t)均值E[X(t)]=3，自相关函数RX(?)?9?2e?|?|，求随机变量Y??X(t)dt的均值和方差。

02

4

?2?423．已知随机过程X(t)的功率谱密度为GX(?)?4，求其相关函数和2??10??9均方值。

24．设复随机过程为： Z(t)?V?ej?0t其中ω为正常数，V为实随机变量。求复过程Z(t)的自相关函数。

25．已知RC电路的冲激响应为h(t)?2e?2tU(t)，输入平稳过程X(t)的自相关函数为RX(?)?e?3|?|，求输出过程Y(t)的自相关函数RY(?)。

126.设RC低通滤波器的传递函数为H(?)?，求当输入均值为0，功率

1?j?RC谱密度为N0/2的白噪声时，输出过程的功率谱密度和自相关函数。

27.设随机过程?(t)?2cos(?2t??，)式中，?是一个离散随机变量，且p(??0)?1/2，p(???/2)?1/2；试求E?(1)及R?(0,1)。 28．设有限时间积分器的单位冲激响应h(t)?u(t)?u(t?0.5)，它的输入是功率谱密度为10V2/Hz的白噪声，试求系统输出的均值、均方值、方差和输入输出互相关函数。

29．设线性系统H(?)的输入为平稳过程X(t)，其功率谱密度为GX(?)，输出为Y(t)。求误差过程E(t)?Y(t)?X(t)的功率谱密度GE(?)。

30．已知随机过程X(t)的功率谱密度GX(?)满足

GX(?)?0，|?|?B

?(t)sin?t. 取常数???B，构造一个新的随机过程Y(t)?X(t)cos?t?X000求Y(t)的功率谱密度GY(?)，并画出GX(?)与GY(?)的关系。

31．设正态过程X(t)?Ucos?0t?Vsin?0t，其中?0为常数，U,V是两个相互独立的正态随机变量。已知E[U]?E[V]?0,E[U2]?E[V2]??2，求X(t)的一维和二维概率密度函数。

2

32．设X(t)为零均值、窄带高斯随机信号，其方差为?，求X(t)的包络和相位的一维概率密度函数。

三、证明题

1. 证明E[X2]?D[X]?E2[X]。

2. 设有随机过程X(t)和Y(t)，证明KXY(t1,t2)?RXY(t1,t2)?mX(t1)mY(t2)。

5

3. 试证明宽平稳过程的方差是常数。

4. 设可微平稳随机过程X(t)的功率谱密度为GX(?)，证明该过程的导数过程

Y(t)的功率谱密度为GY(?)??2GX(?)。

5. 随机过程X(t)的导数过程为Y(t)，证明：RXY(t1,t2)??RX(t1,t2)。 ?t2

6. 已知随机过程X(t)?Acos?0t?Bsin?0t，式中?0为常数，互不相关的随机变量A和B具有不同的概率密度，但有相同的方差，均值都为零。证明：X(t)是宽平稳而不是严平稳随机过程。

7. 随机过程定义为X(t)?f(t??)，其中f(t)是具有周期T的周期波形，随机变量?服从区间(0,T)上的均匀分布。证明X(t)是宽平稳过程。 （注：若f(t)是周期为T的周期函数，则有

?T?t0t0f(t)dt??f(t)dt）

0T

8. 设随机过程X(t)?a?cos(?t??)，式中a是常数，?,?是两个互相独立的随机变量，?具有概率密度f?(?)?f?(??)，?服从在[0,2?)上的均匀分布。试证：X(t)的功率谱密度为SX(?)??a2f?(?)。

9. 一个线性系统当输入为X(t)时，相应的输出为Y(t)。证明若该系统的输入为

?(t)，则相应的输出为Y(t)的希尔伯特变换Y?(t)。 X(t)的希尔伯特变换X

?(t)，它们的自相关函数分别为10.设平稳随机过程X(t)的希尔伯特变换为XRX(?)和RX?(?)。 ?(?)。证明：RX(?)?RX

11.已知某系统频率响应为H(?)?2U(?)，证明当输入信号为X(t)时，相应的输出是X(t)的解析信号。

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