广州大学 2009---2010 学年第 一 学期考试卷

一. 填空题（每小题3分，共计15分）

1． 设A与B为两事件, P(A)=P(B)=0.6, 且P(A∪B)=0.9, 则P(AB)= 0.3 2． 设A与B为两事件, P(A)=1-P(B)=0.6, 且P(A∪B)=0.8, 则P(A|B)= 0.5 3． 口袋中有4个白球3个黑球, 从中任取两个, 则取到同颜色球的概率为 3?7 4． 设X服从正态分布, P(X ? 0)=0.5, P(X ≤2)=0.85,则P(|X| ≤ 2)= 0.7 5．设X与Y相互独立, D(X)=1, D(Y)=2，则协方差cov(2X+Y, X-2Y)= ?2 二．单项选择题（每小题3分，共计15分） 1．设

A表示事件“明天和后天都下雨”，则其对立事件A表示【 B 】

(A)“明天和后天都不下雨” (B)“明天或者后天不下雨” (C)“明天和后天正好有一天不下雨” (D)“明天或者后天下雨”

2．设事件A与B独立且0? P(A)≤P(B)? 1，则下列等式中有可能成立的是【 C 】 (A) P(A)+P(B)=P(A∪B) (B) P(A)=P(A∩B) (C) P(A)+P(B)=1 (D) P(B)=P(A∪B)

3．设连续随机变量X的分布函数为F(x), a为正数, 则P(|X| ? a) 等于【 D 】 (A) F(a) + F(-a) (B) F(a) + F(-a) -1 (C) F(a) - F(-a) (D) 1- F(a) + F(-a)

4．设X与Y为两个随机变量，则下列选项中能说明X与Y独立的是【 D 】

(A) E(X+Y) = E(X) + E(Y) (B) E(XY) = E(X) E(Y)

(C) D(X+Y) =D(X) + D(Y) (D) 对?a, b有P(X ≤a,Y ≤b)=P(X ≤a) P(Y ≤b) 5. 设二维随机变量(X, Y) 服从某个圆形区域上的均匀分布, 则一定有【 A 】

(A) X与Y不相关 (B) X与Y相互独立 (C) X与Y同分布 (D) X与Y都服从均匀分布 三．解答下列各题（每小题8分，共计32分）

1. 学生在做一道单项选择题时，若他知道正确答案则一定答对，否则就从4个选项中随机选择一项作答. 设学

生知道正确答案的概率是0.5, 求他答对题目的概率. 解: 设A表示学生答对题目, B表示学生知道正确答案.

P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B) ?????????????? 4分

= 0.5? 1+ 0.5? 0.25

= 0.625 ??????????????????????? 8分

2. 某人投篮的命中率为0.7. 求他投篮3次当中至少投中2次的概率. 解: 以X表示3次投篮投中的次数, 则X ~ b(3, 0.7).

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P(X ? 2) = P(X =2) + P(X = 3)

2?C30.72?0.3?0.73???????????????? 4分

= 0.784 ????????????????????? 8分

3．设有200台机器同时独立工作, 每台机器出现故障的概率为0.01, 求至少有2台机器出现故障的概率. 解: 以X表示出现故障的机器台数, 则X ~ b(200, 0.01).

则 X近似服从泊松分布, 参数? =200?0.01=2. ????????? 2分 P(X ? 2) = 1 ? P(X =0) ? P(X = 1) ???????????????? 4分 ? 1 ?e?2 ?2e?2 = 1 ?3e?2 ???????????????? 8分

?1,x?1?x2x ) ?4．设随机变量X的密度函数为 f ( , ?求Y=1/X的数学期望和方差.

? ?0,x?1解:

E(Y)??1?11?1f(x)dx??13dx? ??????????????? 4分 x2x?11?1f(x)dx?dx??1x4 x 2 3

E(Y2)??1 D(Y) =E(Y2) ? E(Y) 2 = 1?12 ??????????????? 8分

四.(本题12分) 有4个外观完全相同的盒子, 其中2个装有气球. 随机打开一个盒子, 若没有气球则从其余的盒子中随机选择一个打开, 如此继续, 直到发现气球为止. (1) 求打开第3个盒子才找到气球的概率.

(2) 以X表示找到气球时打开的盒子数, 写出X的分布律. (3) 计算X的数学期望和方差.

解: (1) 设A1, A2分别表示第1次和第2次打开空盒子. 所求概率为

111P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)???236X 1 2 3 ???????????? 4分

(2) X的分布律为

概 率 121 316

???????????? 8分

(3) E(X) =1? 1?2+2? 1?3+3? 1?6 =5?3 ??????????????? 10分

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E(X2) =12? 1?2+22? 1?3+32? 1?6 =10?3

D(X) =E(X2) ? E(X) 2 =10?3 ?(5?3) 2=5?9 ??????????????? 12分 五．(本题12分) 某种型号元件的寿命X (单位:年)服从指数分布, 其参数? =ln2. (1) 求单个元件在使用1年后仍然有效的概率. (2) 购买这种元件400个, 求使用1年后有效的元件数在180?220之间的概率. 【提示: 利用中心极限定理】

附表：标准正态分布数值表 z ?(z)

解: (1) 所求概率为

0 0.500 z???(z)??0.5 0.692 1?u2/2 edu2?1.5 0.933 2.0 0.977 2.5 0.994 3.0 0.999 1.0 0.841 P(X?1)??1?e??xdx?e???e?ln2?0.5 ??????????? 4分

(2) 以Y 表示购买的400个元件使用1年后有效的元件数, 则Y ~ b(400, 0.5). E(Y) =400? 0.5 =200,

D(Y) =400? 0.5? (1? 0.5) =100 ??????????? 6分 由中心极限定理,

?Y*?Y?EYD(Y)近似服从标准正态分布. 故

180?200Y?200220?200P(180?Y?220)?P(??)

101010 = P(? 2 ? Y*? 2)

= ?(2) ? ?(? 2) ??????????? 9分 = 2 ?(2) ? 1 = 2? 0.977 ? 1

= 0.954 ??????????? 12分 六．(本题14分) 已知 (X,Y)服从平面区域D={(x,y): x+y?1, x>0, y>0} 上的均匀分布. (1) 写出(X,Y)的联合密度函数f(x,y). (2)分别求1?X和Z=X+Y的分布函数. (3) 计算X与Y的相关系数.【提示: 2cov(X, Y) =D(X+Y)?D(X)?D(Y)】

解: (1)

?2,x?0,y?0,x?y?1; ??????????? 3分 f(x,y)??0,其它?D?{x?1?t}(2) F1?X (t) = P(1?X ? t) = P(X ? 1? t) =

??2dxdy.

当0? t ? 1时, D∩{(x,y): x ? 1? t }的面积= t2?2, 故

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t?0;?0,?F1?X(t)??t2,0?t?1;?1,t?1.?FZ (t) = P(X+Y ? t) =

D?{x?y?t} ???????????? 6分

??2dxdy. 即

t?0;?0,?FZ(t)??t2,0?t?1;?1,t?1.?D(X+Y) =D(1?X) =D(X) =D(Y),

????????????? 9分

(3) 由前面知1?X与Z=X+Y同分布, 且易知X与Y同分布, 故

2cov(X, Y) =D(X+Y)?D(X)?D(Y) = ?D(X)

?XY?

cov(X,Y)cov(X,Y)1??? ???????????? 14分

D(X)2D(X)D(Y)第 4 页 共 4 页