8 －3 有两个线圈，线圈1 对线圈2 的互感系数为M21 ，而线圈2 对线圈1的互感系数为M12 ．若它们分别流过i1 和i2 的变化电流且
di1di2?，并设由i2变化在线圈1 中产生的互感电动势为ε12 ，由i1 变化在线圈2 dtdt中产生的互感电动势为ε21 ，下述论断正确的是（ ）． （A）M12?M21 ，ε21?ε12 （B）M12?M21 ，ε21?ε12 （C）M12?M21， ε21?ε12 （D）M12?M21 ，ε21?ε12
分析与解 教材中已经证明M21 ＝M12 ，电磁感应定律ε21?M21（D）．
8 －4 对位移电流，下述四种说法中哪一种说法是正确的是（ ） （A） 位移电流的实质是变化的电场
（B） 位移电流和传导电流一样是定向运动的电荷 （C） 位移电流服从传导电流遵循的所有定律 （D） 位移电流的磁效应不服从安培环路定理
分析与解 位移电流的实质是变化的电场．变化的电场激发磁场，在这一点位移电流等效于传导电流，但是位移电流不是走向运动的电荷，也就不服从焦耳热效应、安培力等定律．因而正确答案为（A）． 8 －5 下列概念正确的是（ ） （A） 感应电场是保守场
（B） 感应电场的电场线是一组闭合曲线
（C） Φm?LI，因而线圈的自感系数与回路的电流成反比 （D） Φm?LI，回路的磁通量越大，回路的自感系数也一定大
分析与解 对照感应电场的性质，感应电场的电场线是一组闭合曲线．因而 正确答案为（B）．
8 －6 一铁心上绕有线圈100匝，已知铁心中磁通量与时间的关系为Φ?8.0?10sin100πt?Wb?，求在
5
didi1；ε12?M122．因而正确答案为
dtdtt?1.0?10?2s时，线圈中的感应电动势．
分析 由于线圈有N 匝相同回路，线圈中的感应电动势等于各匝回路的感应电动势的代数和，在此情况下，
法拉第电磁感应定律通常写成ξ解 线圈中总的感应电动势 当t?1.0?10?2??NdΦdψ，其中ψ?NΦ称为磁链． ??dtdts 时，ξ?2.51V．
?18 －13 如图（ａ）所示，金属杆AB 以匀速v?2.0m?s平行于一长直导线移动，此导线通有电流I ＝40A．求杆中的感应电动势，杆的哪一端电势较高？ 分析 本题可用两种方法求解．（1） 用公式E元dl???v?B??dl求解，建立图（a）所示的坐标系，所取导体
l?dx，该处的磁感强度B?μ0I．（2） 用法拉第电磁感应定律求解，需构造一个包含杆AB 在内的闭2πxdΦ，即可求得回路的电动势，dt合回路．为此可设想杆AB在一个静止的形导轨上滑动，如图（ｂ）所示．设时刻t，杆AB 距导轨下端CD的距离为y，先用公式Φ??B?dS求得穿过该回路的磁通量，再代入公式E??S亦即本题杆中的电动势．
解1 根据分析，杆中的感应电动势为
EAB???v?B??dl?dxl???AB0.1m1.1mμ0μIvvdx??0ln11??3.84?10?5V式中负号表示电动势方向由B 2πx2π指向A，故点A 电势较高．
解2 设顺时针方向为回路ABCD 的正向，根据分析，在距直导线x 处，取宽为ｄx、长为y 的面元ｄS，则穿过面元的磁通量为 穿过回路的磁通量为 回路的电动势为
由于静止的形导轨上电动势为零，所以
式中负号说明回路电动势方向为逆时针，对AB 导体来说，电动势方向应由B 指向A，故点A 电势较高． 8 －14 如图（ａ）所示，在“无限长”直载流导线的近旁，放置一个矩形导体线框，该线框在垂直于导线方向上以匀速率v 向右移动，求在图示位置处，线框中感应电动势的大小和方向．
分析 本题亦可用两种方法求解．其中应注意下列两点：1．当闭合导体线框在磁场中运动时，线框中的总电动势就等于框上各段导体中的动生电动势的代数和．如图（ａ）所示，导体eh 段和fg 段上的电动势为零［此两段导体上处处满足?v?B??dl?0］，因而线框中的总电动势为
E???v?B??dl???v?B??dl???v?B??dl???v?B??dl?Eef?Ehg其等效电路如图（ｂ）所
efghefhg示．
2．用公式E??dΦ求解，式中Φ是线框运动至任意位置处时，穿过线框的磁通量．为此设时刻t 时，线框dt左边距导线的距离为ξ，如图（c）所示，显然ξ是时间t 的函数，且有
dξ?v．在求得线框在任意位置处的电dt动势E（ξ）后，再令ξ＝d，即可得线框在题目所给位置处的电动势． 解1 根据分析，线框中的电动势为
由Eef ＞Ehg 可知，线框中的电动势方向为efgh．
解2 设顺时针方向为线框回路的正向．根据分析，在任意位置处，穿过线框的磁通量为 相应电动势为
令ξ＝d，得线框在图示位置处的电动势为
由E ＞0 可知，线框中电动势方向为顺时针方向．
8 －18 在半径为R 的圆柱形空间中存在着均匀磁场，B 的方向与柱的轴线平行．如图（ａ）所示，有一长为l 的金属棒放在磁场中，设B 随时间的变化率
dB为常量．试证：棒上感应电动势的大小为 dt分析 变化磁场在其周围激发感生电场，把导体置于感生电场中，导体中的自由电子就会在电场力的作用下移动，在棒内两端形成正负电荷的积累，从而产生感生电动势．由于本题的感生电场分布与上题所述情况完全相同，故可利用上题结果，由E??Ek?dl计算棒上感生电动势．此外，还可连接OP、OQ，设想PQOP
l构成一个闭合导体回路，用法拉第电磁感应定律求解，由于OP、OQ 沿半径方向，与通过该处的感生电场强度Ek 处处垂直，故Ek?dl?0，OP、OQ 两段均无电动势，这样，由法拉第电磁感应定律求出的闭合回路的总电动势，就是导体棒PQ 上的电动势． 证1 由法拉第电磁感应定律，有
证2 由题８ －17可知，在r ＜R 区域，感生电场强度的大小Ek?rdB 2dt设PQ 上线元ｄx 处，Ek的方向如图（b）所示，则金属杆PQ 上的电动势为
讨论 假如金属棒PQ 有一段在圆外，则圆外一段导体上有无电动势？ 该如何求解？
8 －23 如图所示，一面积为4.0 cm2 共50 匝的小圆形线圈A，放在半径为20 cm 共100 匝的大圆形线圈B 的正中央，此两线圈同心且同平面．设线圈A 内各点的磁感强度可看作是相同的．求：（1） 两线圈的互感；（2） 当线圈B 中电流的变化率为－50 A·ｓ1 时，线圈A 中感应电动势的大小和方向．
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分析 设回路Ⅰ中通有电流I1 ，穿过回路Ⅱ的磁通量为Φ21 ，则互感M ＝M21 ＝Φ21I1 ；也可设回路Ⅱ通有电
流I2 ，穿过回路Ⅰ的磁通量为Φ12 ，则M?M12?Φ12 ． I2虽然两种途径所得结果相同，但在很多情况下，不同途径所涉及的计算难易程度会有很大的不同．以本题为例，如设线圈B 中有电流I 通过，则在线圈A 中心处的磁感强度很易求得，由于线圈A 很小，其所在处的磁场可视为均匀的，因而穿过线圈A 的磁通量Φ≈BS．反之，如设线圈A 通有电流I，其周围的磁场分布是变化
的，且难以计算，因而穿过线圈B 的磁通量也就很难求得，由此可见，计算互感一定要善于选择方便的途径．
解 （1） 设线圈B 有电流I 通过，它在圆心处产生的磁感强度B0则两线圈的互感为 （2）EA?NBμ0I穿过小线圈A 的磁链近似为 2R??MdI?3.14?10?4V dt互感电动势的方向和线圈B 中的电流方向相同．