解得 x1=﹣1,x2=3. 又∵点B在点C左侧,
∴点B的坐标为(﹣1,0),点C的坐标为(3,0); (2)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4, ∴抛物线的对称轴为直线x=1. ∵抛物线的对称轴与x轴交于点D, ∴点D的坐标为(1,0).
∵直线y=kx+b经过点D(1,0)和点E(﹣1,﹣2), ∴解得
∴直线DE的表达式为y=x﹣1;
(3)如图,当P点在D、B两点之间时,M、N都在x轴上方,
∴点M、N至少有一个点在x轴下方的t的范围为:t<1或t>3.
【点评】本题主要考查二次函数与一次函数的综合,在(1)中注意待定系数法的应用,在(2)中求得D点坐标是解题的关键,在(3)中注意数形结合思想的应用.
24.【分析】(1)设直线BC的解析式为y=mx+n,将B(5,0),C(0,5)两点的坐标代入,运用待定系数法即可求出直线BC的解析式;同理,将B(5,0),C(0,5)两点的坐标代入y=x2+bx+c,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式;
(2)MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差,据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求出MN的最大值;
(3)先求出△ABN的面积S2=5,则S1=6S2=30.再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD,根据平行四边形的面积公式得出BD=3
,过点D作直线BC的平行线,交抛物线与点P,交x轴于点E,在直
BD
线DE上截取PQ=BC,则四边形CBPQ为平行四边形.证明△EBD为等腰直角三角形,则BE=
=6,求出E的坐标为(﹣1,0),运用待定系数法求出直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1,然后解方程组
,即可求出点P的坐标.
【解答】解:(1)设直线BC的解析式为y=mx+n, 将B(5,0),C(0,5)两点的坐标代入,得解得
,
,
故直线BC的解析式为y=﹣x+5;
将B(5,0),C(0,5)两点的坐标代入y=x2+bx+c得解得
.
,
故抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5;
(2)设M(x,x2﹣6x+5)(1<x<5),则N(x,﹣x+5), ∵MN=(﹣x+5)﹣(x2﹣6x+5)=﹣x2+5x=﹣(x﹣)2+∴当x=时,MN有最大值
(3)∵MN取得最大值时,x=2.5, ∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5,即N(2.5,2.5). 解方程x2﹣6x+5=0,得x=1或5, ∴A(1,0),B(5,0), ∴AB=5﹣1=4,
∴△ABN的面积S2=×4×2.5=5, ∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30.
设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD,则BC⊥BD. ∵BC=5
,
;
,
∴BC?BD=30, ∴BD=3
.
过点D作直线BC的平行线,交抛物线与点P,交x轴于点E,在直线DE上截取PQ=BC,则四边形CBPQ为平行四边形.
∵BC⊥BD,∠OBC=45°, ∴∠EBD=45°,
∴△EBD为等腰直角三角形,BE=
BD=6,
∵B(5,0), ∴E(﹣1,0),
设直线PQ的解析式为y=﹣x+t,
将E(﹣1,0)代入,得1+t=0,解得t=﹣1 ∴直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1. 解方程组
,得
,
,
∴点P的坐标为P1(2,﹣3)(与点D重合)或P2(3,﹣4).
【点评】本题考查了二次函数的综合题,其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式,二次函数的性质,三角形的面积,平行四边形的判定和性质等知识点,综合性较强,考查学生运用方程组、 数形结合的思想方法.(2)中弄清线段MN长度的函数意义是关键,(3)中确定P与Q的位置是关键.