线方程为y?f?(x0)?x?x0?，即g(x)?f?(x0)?x?x0?，令F(x)?f(x)?g(x)，即

F(x)?f(x)?f?(x0)?x?x0?，则F?(x)?f?(x)?f?(x0)

由于f?(x)??nxn?1故F?(x)在?0,???上单调递减，又因为F?(x0)?0，?n在?0,???上单调递减，

所以当x?(0,x0)时， F?(x0)?0，当x?(x0,??)时，F?(x0)?0，所以F(x)在(0,x0)内单调递增，在(x0,??)内单调递减，所以对任意的正实数x都有F(x)?F(x0)?0，即对任意的正实数x，都有f(x)?g(x).

(III)证明：不妨设x1?x2，由(II)知g(x)?n?n2???x?x?，设方程g(x)?a的根为x?，可得

02x2??a?x0.，当n?2时，g(x)在???,???上单调递减，又由(II)知2n?ng(x2)?f(x2)?a?g(x2?),可得x2?x2?.

类似的，设曲线y?f(x)在原点处的切线方程为y?h(x)，可得h(x)?nx，当x?(0,??)，

f(x)?h(x)??xn?0，即对任意x?(0,??)，f(x)?h(x).

设方程h(x)?a的根为x1?，可得x1??a，因为h(x)?nx在???,???上单调递增，且n

考点：1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式. 3、(Ⅰ) f(x)?2x?2?2lnx,f(1)?0， xf'(x)?2?22?,f'(1)?2 x2x则切线为：y?2(x?1)，即2x?y?2?0；

p2px2?2x?p(Ⅱ) f'(x)?p?2??，

xxx2?px2?2x?p?0即p?2x，对?x?0恒成立， 2x?1

2x2x2?2?4x22?2x2(x?0)，h'(x)?设h(x)?2?222x?1(x?1)(x?1)2

h(x)在(0,1)上增，(1,??)减，则h(x)max?h(1)?1 ?p?h(1)?1，即p?[1,??)

(Ⅲ) 设函数?(x)?f(x)?g(x)?px?p?2e?2lnx ，x?[1,e] x则原问题?在[1,e]上至少存在一点x0，使得?(x0)?0??(x)max?0．

p?2e2px2?2x?(p?2e)?'(x)?p?2??

xxx2?2x?2e?0，则?(x)在x?[1,e]增，?(x)max??(e)??4?0，舍； 2x12e2p?0，?(x)?p(x?)??2lnx，

xx12e?0,lnx?0，则?(x)?0，舍； x?[1,e] ，?x??0,xx1p?0?'(x)?3p?0p(x2?1)?2(e?x)?'(x)??0，

x2p4e?4?0，整理得p?2 ee?1则?(x)在x?[1,e]增，?(x)max??(e)?pe?综上，p?(4e,??) e2?11?2x?0，……2分 x24、解：（Ⅰ）当a?0时，f?x??lnx?x，其定义域为?0,???，f??x??所以f?x?在?1,e?上是增函数，当x?1时，f?x?min?f?1??1．

故函数f?x?在?1,e?上的最小值是1．…………………………………………3分

12x2?2ax?12（Ⅱ）由题设条件，得f??x???2x?2a?，设g?x??2x?2ax?1，

xx依题意，在区间?,2?上存在子区间使不等式g?x??0成立．…………………………………………

25分

因为函数g?x??2x?2ax?1的图象是开口向上的抛物线，

2?1???

所以只需g?2??0或g??1???0即可．……………………………………………6分 2??

2x2?2ax?1,g?x??2x2?2ax?1． （Ⅲ）由（Ⅱ），可知f??x??x（ⅰ）当a?0时，在?0,???上g?x??0恒成立，

此时f??x??0，函数f?x?无极值点；………………………………………………10分

2（ⅱ）当a?0时，若??4a?8?0，即0?a?2时，

在?0,???上g?x??0恒成立，此时f??x??0，函数f?x?无极值点；

a?a2?2a?a2?2若??4a?8?0，即a?2时，易知当时，g?x??0，此时?x?222f??x??0；

a?a2?2a?a2?2当0?x?或x?时，g?x??0，此时f??x??0．

22a?a2?2a?a2?2所以当a?2时，x?是函数f?x?的极大值点，x?是函数f?x?的极

22小值点，………………………………………………………………………13分

a?a2?2综上，当a?2时，函数f?x?无极值点；当a?2时，x?是函数f?x?的极大值

2a?a2?2点，x?是函数f?x?的极小值点．………………………………………14分

2111?lnx，f?(x)=1+2-， xxx f(1)?1?1?ln1?0，f?(1)=1+1-1?1，

∴曲线y?f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y?x?1．………… 4分

5、解：（Ⅰ）当a?1时，f(x)?x?11ax2-x+a（Ⅱ）∵f?(x)=a(1+2)-?，

xxx2 要使函数f(x)在定义域(0，??)内为增函数， 只需f?(x)≥0在(0，??)上恒成立．

x1 ∴ax2-x+a≥0，即a≥2，也即a≥恒成立．

1x?1x?x

11 又x?≥2，∴a的取值范围为a≥． ………… 8分

2xe在[1，e]上是减函数， x ∴g(e)≤g(x)≤g(1)，即1≤g(x)≤e．

11 （1）当a≤0时，f?(x)=a(1?2)-?0，

xx ∴f?(x)?0，∴f(x)在[1，e]上是减函数；

（Ⅲ）∵g(x)? ∴(f(x))max?f(1)?0<1，不合题意．

1 （2）当0

2 ∵x?[1，e]，

1 ∴x?≥0．

x111 ∴f(x)?a(x?)?lnx≤(x?)?lnx．

x2x11 令F(x)?(x?)?lnx，由（Ⅱ）知，F(x)在[1，e]上是增函数，

2x111111 ∴(x?)?lnx≤(e?)?lne=(e?)?1?1．

2x2e2e ∴f(x)?1，不合题意．

1 （3）当a≥时，

21 由（Ⅱ）知，f(x)?a(x?)?lnx 在[1，e]上是增函数，

x f(1)?0?1，

又g(x)?e在[1，e]上是减函数， x1 ∴只需(f(x))max≥(g(x))min，又(f(x))max?a(e?)?lne，

e2e1 即a(e?)?1≥1， 解得a≥2．

e?1e2e ∴a的取值范围是[2，??)． ………… 14分

e?1111136、解：（Ⅰ）当a=-时，f(x)=-(x?1)2?lnx+1?-x2?x?lnx?

44424??)， f(x)的定义域为(0，111(x?1)(x?2) f?(x)=-x????． …… 2分

22x2x 列表讨论f'(x)和f(x)的变化情况：

x f'(x) （0，2）＋ 2 f(x) 0 极大值 （2，+?）－ 3. …… 4分 4 （Ⅱ）当a?0时，g(x)=a(x?1)2?lnx?1?x?ax2?(2a?1)x?lnx?a?1．

∴当x?2时，f(x)取得极大值f(2)?ln2?