2005年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学（理工农医类）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷 1至2页，第II卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题共40分） 注意事项：

1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。

一、本大题共8小题．每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）设全集U=R，集合M={x| x>1，P={x| x2>1}，则下列关系中正确的是 （A）M＝P （B）PüM （C）MüP （ D）eUM（2）“m=

P??

1”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的 2 （A）充分必要条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 （3）若|a|?1,|b|?2,c?a?b，且c?a，则向量a与b的夹角为 （A）30° （B）60° （C）120° （D）150°

（4）从原点向圆 x2＋y2－12y＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 （A）π （B）2π （C）4π （D）6π （5）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是 （A）sin(α+β)>sinα+sinβ （B）sin(α+β)>cosα+cosβ （C）cos(α+β)

（6）在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是 ．．． （A）BC//平面PDF （B）DF⊥平面PA E （C）平面PDF⊥平面ABC （D）平面PAE⊥平面 ABC

（7）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4

人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为

124C14C12C8412443CCCA3 （A）CCC （B）CAA （C） （D）141283A3121441248

121441248

（8）函数f(x)=

（A）在[0,1?cos2x

cosx?3?3?),(,?]上递增，在[?,),(,2?]上递减 2222?3??3? （B）在[0,),[?,)上递增，在(,?],(,2?]上递减

2222?3??3? （C）在(,?],(,2?]上递增，在[0,),[?,)上递减

22223?3??? （D）在[?,),(,2?]上递增，在[0,),(,?]上递减

2222

二、填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。 （9）若 z1?a?2i, z2?3?4i，且

?z1为纯虚数，则实数a的值为 ． z2（10）已知tan（11）(x???=2，则tanα的值为 ，tan(??)的值为 .

4216)的展开式中的常数项是 （用数字作答） x（12）过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 ． （13）对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论： ①f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)；② f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)； ③

f(x1)?f(x2)x?x2f(x1)?f(x2)>0；④f(1. )?x1?x222 当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 .

nn?1（14）已知n次多项式Pn(x)?a0x?a1x?k?an?1x?an,

如果在一种算法中，计算x0（k＝2，3，4，…，n）的值需要k－1次乘法，计算P3(x0)的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算Pn(x0)的值共需要 次运算．

下面给出一种减少运算次数的算法：P0(x)?a0,Pk?1(x)?xPk(x)?ak?1（k＝0， 1，2，…，n－1）．利用该算法，计算P3(x0)的值共需要6次运算，计算Pn(x0)的

2

值共需要 次运算．

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应出文字说明，证明过程或演算步骤。 （15）（本小题共13分）

已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a, （I）求f(x)的单调递减区间；

（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，它在该区间上的最小值．

（16）（本小题共14分）

如图, 在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，DC＝23，AA1＝3，AD⊥DC，AC⊥BD, 垂足未E，

（I）求证：BD⊥A1C；

（II）求二面角A 1－BD－C 1的大小； （III）求异面直线 AD与 BC 1所成角的大小．

（17）（本小题共13分）

甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为

求写

21，乙每次击中目标的概率， 23 （I）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望Eξ； （II）求乙至多击中目标2次的概率； （III）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．

（18）（本小题共14分）

如图，直线 l1：y＝kx（k>0）与直线l2：y＝－kx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2．

（I）分别用不等式组表示W1和W2；

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（II）若区域W中的动点P(x，y)到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；

（III）设不过原点O的直线l与（II）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点．求证△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合．

（19）（本小题共12分）

?1a?1?2n设数列{an}的首项a1=a≠，且an?1??4?a?1n??4记bn?a2n?1?n为偶数,

n为奇数1，n＝＝l，2，3，…·． 4（I）求a2，a3；

（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论； （III）求lim(b1?b2?b3?n???bn)．

（20）（本小题共14分）

设f(x)是定义在[0, 1]上的函数，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f(x)为[0, 1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间． 对任意的[0，l]上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．

（I）证明：对任意的x1，x2∈(0，1)，x1＜x2，若f(x1)≥f(x2)，则(0，x2)为含峰区间；若f(x1)≤f(x2)，则(x*，1)为含峰区间；

（II）对给定的r（0＜r＜0.5），证明：存在x1，x2∈(0，1)，满足x2－x1≥2r，使得由（I）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5＋r；

（III）选取x1，x2∈(0, 1)，x1＜x2，由（I）可确定含峰区间为(0，x2)或(x1，1)，在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为(0，x2)的情况下，试确定x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.

（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）

4