数学物理方法习题总稿-csy - 图文 下载本文

?0(t?0),??h(?T?t?0),? f(t)???h(0?t?T),??0(T?t).3、分别在f(0)?0和f'(0)?0的边界条件下,把f(x)?1?H(x?a),x?(0,?)展成三角形式的傅里叶积分。

4、分别在f(0)?0和f'(0)?0的边界条件下,把f(x)?e??x,x?(0,?)(??0)展成三角形式的傅里叶积分。

5、分别在f(0)?0和f'(0)?0的边界条件下,把f(t)??的傅里叶积分。

6、把振幅随时间衰变的振动函数f(t)??h?0(0?t?T),展成三角形式

(T?t??)sin?t,t?0(?为常数),展成傅里叶积分。 t

习题十五 1、求?(t)和?(t??)的像函数。

2、电量为q1的点电荷位于空间M1点,而电量为q2的点电荷位于空间M2点,求空间中的电荷密度分布。

3、一条两端固定的弦线,在t?0时,有冲量k瞬间作用于弦线上的x0点,求此冲量作用后弦线上各点的位移和初速度。[设弦线上的x点在t时刻偏离平衡位置的横向位移为

u(x,t).]

4、证明以下?函数的性质: (1)?(ax)?1?(x); (2)?'(?x)???'(x); |a|(3)x?(x)?0; (4)f(x)?(x)?f(0)?(x);

'(5)x?(x)???(x); (6)?(x?a)?221[?(x?a)??(x?a)](a?0). 2a

一11一

习题十六

1、如图选取x—x+dx段弦,试推导弦的自由横振动方程。

2、一均匀细弦在阻尼介质中振动,每单位长度的弦所受的阻力为f(x,t)??Rut;(比例常数R称为阻力系数).试推导弦在该阻尼介质中的横振动方程。 3、试推导匀质细圆锥杆的纵振动方程。

4.一匀质锥形细杆,杆的横截面积S与其到锥顶的距离成正比.试推导杆的纵振动方程.

5、一长为l的柔软均匀重绳,上端固定在以匀角这?转动的竖直轴上.由于转速较小,弦的平衡位置为竖直线.试推导此绳相对于竖直线的横振动方程。

6.一长为l的柔软均匀轻绳,上端固定在以匀角速?转动的竖直轴上.当转速较大时,由于惯性离心力的作用,此弦的平衡位置可认为在水平面上.试推导该弦相对于水平线的横振动方程。

7、一水平放置的均匀弦线,在不能忽略重力作用的情况下,推导弦的横振动方程. 8.一均匀细杆,上端固定在天花板上,杆身竖直.分别取水墙放置时的平衡位置作为纵向位移u的坐标原点和竖直放置时的新的平衡位置作为纵向位移v坐标原点,推导出该杆的纵振动方程.(提示:取竖直放置时的新的平衡位置作为纵向位移v的坐标原点时泛定方程是齐次的.)

9、一匀质细导线,通有恒定的直流电流,其电流密度为j,设导线的电阻率为r,试推导该导线的热传导方程.

一12 一

10.上题中若设电流强度为I,每单位长导线的电阻为R,写出该导线内的热传导方程.

11、混凝土浇灌后逐渐放出“水化热”,放热速率正比于当时尚储存着的水化热密度Q,即

dQ???Q,试推导浇灌后的混凝土内的热传导方程。设初始时刻水化热密度为Q。 dt 12.试推导均匀圆杆的扭转振动方程.设圆杆横截面半径为R,切变模量为N.

习题十七

1、两端固定长为l的均匀弦,弦中的张力为T0T0,在x?x0点施以横向力F0沿坐标u的正方向拉弦,稳定后放手任其自由振动.写出该弦作横振动的初始条件. 2、长为l的均匀杆,两端受拉力F0的作用,写出杆作纵振动的边界条件。

3、长为l的均匀杆,x?0端固定,x?l端受力F0的作用而伸长.在t=0时刻,突然撤去此力,写出该杆作纵振动的初始条件.

4、长为l的均匀杆,两端受压力的作用,杆长度变为l(1?2?)后处于静止状态.在t=0时刻,突然撤去压力,写出该杆作纵振动的初始条件.

5、长为l的均匀杆,两端有恒定的热流强度为q0的热流进入,写出杆的热传导问题的边界条件.

6、两端固定长为l的均匀弦,在t=0时刻用尖锤敲击弦上x0点,其冲量为K,写出该弦作横振动的定解条件.

7、写出静电场中两种不同电介质界面上的衔接条件.其介电常数分别为?和? ,电势分别为u和u。

8、一根杆由横截面积相同但材料不同的两段连接而成。其扬氏模量分别为Y和Y,密度分别为?和?.写出杆纵振动的衔接条件.

9.一根粗细均匀的导热杆由两段不同材料构成,其导热系数、比热、密度分别为k、

?????????????C?、??、k??、C??、???。初始温度为u0,两端保持零度.试列出该杆热传导问题的定解

问题.

10.半径为R而表面熏黑的金属长圆柱体,受阳光照射.阳光的方向垂直于柱轴,热流强度为M,写出该圆柱体的热传导问题的边界条件.

习题十八

1.把下列二阶线性偏微分方程化为标准形式:

(1)auxx?2auxy?auyy?bux?cuy?u?0;(2)uxx?2uxy?3uyy?2ux?6uy?0;

一13 一

(3)uxx?4uxy5uyy?ux?2uy?0; (4)uxx?yuyy?0;; (5)uxx?xuyy?0; (6)yuxx?xuyy?0;

22 (7)4y2uxx?e2xuyy?4y2ux?0.

2.化简下列二阶线性常系数偏微分方程: (1)uxx?uyy??ux??uy??u?0; (2)uxx? (3)uyy?1u??u??ux?0; 2yac?bbux?uy?u?0; (4)uxy?3ux?4uy?2u?0;; aa(5)2auxx?2auxy?auyy?2bux?2cuy?u?0.

习题十九

1.求解一无限长弦线的自由振动.设弦的初始位移为?(x),初始速度为?a?'(x). 2.求解无限长理想传输线上的电压和电流的传播情况.设传输线上的初始电压分布为 Acoskx.初始电流分布为cAcoskx. L 3.在

GR?的条件下求元限长传输线电报方程的通解. CL 4.一无限长弦线上的x=x。点在t=0时刻受到一尖锤的打击,其冲量为I.求解其后的弦的振动.

5.求解非常长的细圆锥匀质杆的纵振动.设杆上初始位移分布为?(x),初始速度分布为?(x)。

6.半无界杆的端点(x=0)受到纵向力F(t)?Asin?t的作用,求解该杆的纵振动. 7.求半无限长理想传输线电报方程的解.端点(x=0)通过电阻R相接,初始电压分布为Acoskx,初始电流分布为所谓“匹配”)?

C试问该传输线在什么情况下端点没有反射(即Acoskx.

L

8.半无界弦的初始位移和初始速度均为零,其端点作微小振动,边界条件为

u|x?0?Asin?t,求解该半无界弦的横振动.