技法——巧解填空题的5大妙招

解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫.

填空题的基本特点是：(1)具有考查目标集中、跨度大、知识覆盖面广、形式灵活、答案简短、明确、具体，不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点；(2)填空题的结构往往是在正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活；(3)从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写型，要求考生填写数值、数集或数量关系.由于填空题缺少选项的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现；另一类是定性填写型，要求填写的是具有某种性质的对象或填写给定的数学对象的某种性质，如命题真假的判断等.

方法一 直接法

对于计算型的试题，多通过直接计算求得结果，这是解决填空题的基本方法.它是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法.要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题. x2y2

【例1】 设F1，F2是双曲线C：a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若PF1＋PF2＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________.

??PF1＋PF2＝6a，解析 设P点在双曲线右支上，由题意得?

??PF1－PF2＝2a，故PF1＝4a，PF2＝2a，则PF2＜F1F2，

得∠PF1F2＝30°，

2a4a由sin 30°＝，得sin ∠PF2F1＝1，

sin ∠PF2F1∴∠PF2F1＝90°， 在Rt△PF2F1中，2c＝c

∴e＝a＝3. 答案

3

（4a）2－（2a）2＝23a，

探究提高 直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键. ?π?1

【训练1】 (1)设θ为第二象限角，若tan?θ＋4?＝2，则sin θ＋cos θ＝________.

??(2)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点.若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于________.

1?π?1

解析 (1)∵tan?θ＋4?＝2，∴tan θ＝－3，

??

??3sin θ＝－cos θ，即?又θ为第二象限角，

22??sinθ＋cosθ＝1，

10310

解得sin θ＝10，cos θ＝－10.

10

∴sin θ＋cos θ＝－5. 1

AB·AD2·1

(2)这是一道几何概型的概率问题，点Q取自△ABE内部的概率为AB·＝AD2. 101

答案 (1)－5 (2)2 方法二 特殊值法

当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、

特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论. 【例2】 (1)若f(x)＝

1

＋a是奇函数，则a＝_______.

2 015x－1

(2)如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，→·→＝________.

且AP＝3，则APAC

解析 (1)因为函数f(x)是奇函数，且1，－1是其定义域内的值，所以f(－1)＝－1

f(1)，而f(1)＝2 014＋a， f(－1)＝

2 015

＋a＝a－. 12 014－2 015－1

1

1?2 015?

故a－2 014＝－?a＋2 014?，

??

1

解得a＝2. →·→

(2)把平行四边形ABCD看成正方形，则点P为对角线的交点，AC＝6，则APAC＝18.

1

答案 (1)2 (2)18

探究提高 求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解.

【训练2】 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，过点M的→＝λAB→，直线与直线AB，AC分别交于不同的两点P，Q，若AP→＝μAC→，则1＋1＝________. AQ

λμ

11

解析 由题意可知，λ＋μ的值与点P，Q的位置无关，而当直线PQ与直线BC

11

重合时，则有λ＝μ＝1，所以λ＋μ＝2. 答案 2

方法三 图象分析法

对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，通过数形结合，

往往能迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果.韦恩图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形.

?0，x≤0，

【例3】 (1)已知函数f(x)＝?x则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数

?e，x＞0，m的取值范围是________.

|lg x|（0＜x≤10），??

(2)已知函数f(x)＝?1若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝

－x＋6（x＞10），??2f(c)，则abc的取值范围是________.

解析 (1)函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＋x＝m的根，作出h(x)＝??x，x≤0，

?的图象，观察它与直线y＝m的交点，可知当m≤0或m＞1时有交x??e＋x，x＞0

点，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点.

(2)a，b，c互不相等，不妨设a＜b＜c， ∵f(a)＝f(b)＝f(c)，

如图所示，由图象可知，0＜a＜1， 1＜b＜10，10＜c＜12. ∵f(a)＝f(b)，∴|lg a|＝|lg b|. 11即lg a＝lg b，a＝b.

则ab＝1.所以abc＝c∈(10，12).

答案 (1)(－∞，0]∪(1，＋∞) (2)(10，12)

探究提高 图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利