高中数学课时分层作业17平面向量基本定理（含解析）北师大版

必修4

课时分层作业(十七) 平面向量基本定理

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．以下选项中，a与b不一定共线的是( ) A．a＝5e1－e2，b＝2e2－10e1 21

B．a＝4e1－e2，b＝e1－e2

510C．a＝e1－2e2，b＝e2－2e1 D．a＝3e1－3e2，b＝－2e1＋2e2 C [只有C选项不一定共线．] 2.如图所示，向量a－b＝( ) A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2

→

C [a－b＝AB＝e1－3e2.]

3．已知e1，e2不共线，a＝λ1e1＋e2，b＝4e1＋2e2，并且a，b共线，则下列各式正确的是( )

A．λ1＝1 C．λ1＝3

B．λ1＝2 D．λ1＝4

B [b＝4e1＋2e2＝2(2e1＋e2)，因为a与b共线，所以λ1＝2.]

→→→

4.如图所示，?ABCD中，E是BC的中点，若AB＝a，AD＝b，则DE＝( )

1

A．a－b

21C．a＋b 2

D [因为E是BC的中点，

1

B．a＋b 21

D．a－b 2

→1→1→1所以CE＝CB＝－AD＝－b，

222→→→1所以DE＝DC＋CE＝a－b.] 25．若OP1＝a，OP2＝b，P1P＝λPP2(λ≠－1)，则OP等于( )

A．a＋λb C．λa＋b

→→

D [∵P1P＝λPP2， →→→→∴OP－OP1＝λ(OP2－OP)， →→→

∴(1＋λ)OP＝OP1＋λOP2，

→1→λ→1λ∴OP＝OP1＋OP2＝a＋b.]

1＋λ1＋λ1＋λ1＋λ二、填空题

6．如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．(填序号)

①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；

②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μ e2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝

B．λa＋(1－λ)b D.

1λa＋b 1＋λ1＋λ→→→→→

λ(λ2e1＋μ2e2)；

④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0. ②③ [由平面向量基本定理可知，①④是正确的．

对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．

对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．] 7．已知e1，e2是平面内所有向量的一组基底，又a＝e1＋2e2，b＝2e1－e2，c＝－e1＋8e2，若用a，b作为基底表示向量c，则c＝________.

3a－2b [设c＝λ a＋μ b，

于是－e1＋8e2＝λ(e1＋2e2)＋μ(2e1－e2)， 整理得－e1＋8e2＝(λ＋2μ)e1＋(2λ－μ)e2， 因为e1，e2是平面内所有向量的一组基底，

??λ＋2μ＝－1，所以?

??2λ－μ＝8，

解得λ＝3，μ＝－2，

所以c＝3a－2b.]

8．已知e1与e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，且a与b是一组基底，则实数λ的取值范围是________．

?－∞，1?∪?1，＋∞? [当a∥b时，设a＝m b， ????2??2??

则有e1＋2e2＝m(λe1＋e2)， 即e1＋2e2＝mλe1＋m e2，

?1＝mλ，?所以?

??2＝m，

11

解得λ＝，即当λ＝时，a∥b.

22

又a与b是一组基底，

1

所以a与b不共线，所以λ≠.]

2三、解答题

→→

9.如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若AB＝a，AC＝b，用a、

b表示AD、AE、AF.

→→→

→→→→1→111

[解] AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝a＋(b－a)＝a＋b；

2222

→→→→1→→→→→2→12121

AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝a＋(b－a)＝a＋b；AF＝AB＋BF＝AB＋BC＝a＋(b－a)＝a33333332

＋b. 3

10．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)已知c＝3e1＋4e2，以a，b为基底，表示向量c； (2)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．

[解] (1)设c＝λa＋μb，则3e1＋4e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(3μ－2λ)e2，

??λ＋μ＝3，所以?

?3μ－2λ＝4.?

??λ＝1，

解得?

?μ＝2.?

所以c＝a＋2b.

(2)4e1－3e2＝λa＋μb＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2) ＝(λ＋μ)e1＋(3μ－2λ)e2，

??λ＋μ＝4，所以?

?3μ－2λ＝－3.?

解得λ＝3，μ＝1.

[等级过关练]

→→→

1．设O，A，B，M为平面上四点，OM＝λOA＋(1－λ)OB，λ∈(0,1)，则( ) A．点M在线段AB上 C．点A在线段BM上

B．点B在线段AM上 D．O，A，B，M四点共线

→→→

A [因为OM＝λOA＋(1－λ)OB，λ∈(0,1)， →→→→

所以OM－OB＝λ(OA－OB)， →→所以BM＝λBA， 故点M在线段AB上．]

→→→→→→

2．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且DC＝2BD，CE＝2EA，AF＝2FB，→→→→

则AD＋BE＋CF与BC( )

A．反向平行 C．互相垂直 A [如图．

→→→→1→∵AD＝AB＋BD＝AB＋BC，

3→→→→2→BE＝BC＋CE＝BC＋CA，

3→→→→1→CF＝CB＋BF＝CB＋BA，

3→→→∴AD＋BE＋CF

B．同向平行 D．既不平行也不垂直

?→1→??→2→??→1→?＝?AB＋BC?＋?BC＋CA?＋?CB＋BA?

3??3??3??

1→2→1→

＝BC＋CB＝－BC.] 333

→→→3.如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC＝λAE＋μAF，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________.

→→4

[设AB＝a，AD＝b， 3