（2）如图，连接OD．欲证明CD是⊙O的切线，只需证明OD⊥CD即可；

（3）通过相似三角形△EBC∽△ODC的对应边成比例列出关于BE的方程，通过解方程来求线段BE的长度即可．

解答： （1）证明：∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C， ∴△ADC∽△DBC， ∴

=

，即CD=CA?CB；

2

（2）证明：如图，连接OD． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠1+∠3=90°． ∵OA=OD， ∴∠2=∠3， ∴∠1+∠2=90°．

又∠CDA=∠CBD，即∠4=∠1， ∴∠4+∠2=90°，即∠CDO=90°， ∴OD⊥CD．

又∵OD是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线；

（3）解：如图，连接OE．

∵EB、CD均为⊙O的切线， ∴ED=EB，OE⊥DB，

∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°， ∴∠ABD=∠OEB， ∴∠CDA=∠OEB． 而tan∠CDA=，

∴tan∠OEB==，

∵∠ODC=∠EBC=90°，∠C=∠C， ∴Rt△CDO∽Rt△CBE， ∴

=

=

=，

∴CD=8，

在Rt△CBE中，设BE=x， ∴（x+8）=x+12， 解得x=5． 即BE的长为5．

2

2

2

点评： 本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质．

22．（5分）阅读下列材料：

已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，P为AC边上的一动点，以PB，PA为边构造□APBQ，求对角线PQ的最小值及此时

的值是多少．

在解决这个问题时，小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短．进而，小明构造出了如图2的辅助线，并求得PQ的最小值为3．参考小明的做法，解决以下问题： （1）继续完成阅读材料中的问题：当PQ的长度最小时，

=

；

（2）如图3，延长PA到点E，使AE=nPA（n为大于0的常数）．以PE，PB为边作□PBQE，那么对角线PQ的最小值为 3 ，此时

=

；

（3）如图4，如果P为AB边上的一动点，延长PA到点E，使AE=nPA（n为大于0的常数），以PE，PC为边作□PCQE，那么对角线PQ的最小值为

，此时

=

．

考点： 相似形综合题；平行线的判定；平行线之间的距离；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质． 专题： 阅读型；探究型．

分析： （1）易证四边形PCBQ是矩形，由条件“四边形APBQ是平行四边形可得AP=QB=PC，从而得到

的值．

（2）由题可知：当QP⊥AC时，PQ最短．可以证到四边形PCBQ是矩形．从而可以得到PQ=BC=3，PC=QB=EP，由AE=nPA可以用AP表示AC，从而求出

的值．

（3）由题可知：当QP⊥AB时，PQ最短．过点C作CH⊥AB，垂足为H，可以证到四边形PHCQ是矩形，从而有QC=PH，PQ=HC．由AE=nPA可以用AP表示EH．易证△AHC∽△ACB从而可以求出AH=

，HC=

，从而有PQ=HC=

，EH=nPA+

，则有EH=2（n+1）AP=nPA+

，从而求

出AP=，进而求出的值．

解答： 解：（1）如图2，