∴2m+1＞（2﹣m）2n﹣2＞0， ∴2＜（2﹣m）2n＜2+2m1，

+

∴m＜2，即m=1， 此时，n=2，

综上，所有符合条件的有序实数对（m，n）为（1，2）．

20．（16分）设函数f（x）=x2lnx﹣ax2+b在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=﹣x+b．

（Ⅰ）求实数a及x0的值；

（Ⅱ）求证：对任意实数b∈（0，），函数f（x）有且仅有两个零点． 【解答】（Ⅰ）解：f′（x）=2xlnx+x﹣2ax，

即有在点（x0，f（x0））处的切线斜率为k=2x0lnx0+x0﹣2ax0， 由于在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=﹣x+b， 则有2x0lnx0+x0﹣2ax0=﹣1，x02lnx0﹣ax02+b=b﹣x0， 解得x0=1，a=1；

（Ⅱ）证明：函数f（x）=x2lnx﹣x2+b，b∈（0，）， f′（x）=2xlnx﹣x，令f′（x）=0，解得x=0＜x＜x＞

，f′（x）＜0，f（x）递减，

，

，f′（x）＞0，f（x）递增．

处取得极小值，也为最小值，且为f（

）=e﹣e+b＜0，

即有f（x）在x=

f（e）=e2﹣e2+b＞0， 即有f（x）在（

，e）一定有一解．

时，f（x）＞0．

下证f（x）在0＜x＜

令h（x）=xlnx﹣x，h′（x）=lnx，

0＜x＜1，h（x）递减，h（x）＞h（1）=﹣1， 由f（x）=x（xlnx﹣x）+b=xh（x）+b， 即有f（x）＞b﹣x， f（x1）＞b﹣x1＞0，

可取b＜b的值，使f（x）＞0， 且x趋向于0时，f（x）＞0，

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则有f（x）在（x1，

）上一定有一解．

综上所述，可得对任意实数b∈（0，）， 函数f（x）有且仅有两个零点．

附加题选做题：请在21-24题选定其中两题，若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明或演算步骤。选修4-1几何证明选讲

21．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE． （Ⅰ）证明：∠D=∠E；

（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．

【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠D=∠CBE， ∵CB=CE， ∴∠E=∠CBE， ∴∠D=∠E；

（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC， ∴O在直线MN上，

∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M， ∴OM⊥AD， ∴AD∥BC， ∴∠A=∠CBE， ∵∠CBE=∠E， ∴∠A=∠E，

由（Ⅰ）知，∠D=∠E，

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∴△ADE为等边三角形．

选修4-2：矩阵与变换 22．已知矩阵M=

，试求：

（Ⅰ）矩阵M的逆矩阵M﹣1； （Ⅱ）直线y=2x在矩阵M

﹣1

对应的变换作用下的曲线方程．

，

【解答】解：（Ⅰ）∵矩阵M=

∴矩阵M的逆矩阵M﹣1=

；

（Ⅱ）设点P（x，y）是曲线y=2x上任意一点，在矩阵M﹣1对应的变换作用下得到的点为Q（x'，y'）， 则

，

所以，即

且点P在直线y=2x上，于是得，2y′=x′，

．

即直线y=2x在矩阵M﹣1对应的变换作用下的曲线方程为

选修4-4：坐标系与参数方程 23．已知半圆C的参数方程为

，a为参数，a∈[﹣

，]．

（Ⅰ）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极

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坐标系，求半圆C的极坐标方程；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设T是半圆C上一点，且OT=坐标．

【解答】解：（Ⅰ）由半圆C的参数方程为则圆的普通方程为x2+（y﹣1）2=1（0≤x≤1）， 由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，

可得半圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，

]；

，a为参数，a∈[﹣

，]，

，试写出T点的极

（Ⅱ）由题意可得半圆C的直径为2，设半圆的直径为OA， 则sin∠TAO=

，

]，则∠TAO=

，

由于∠TAO∈[0，由于∠TAO=∠TOX， 所以∠TOX=

，

T点的极坐标为（

，）．

选修4-5：不等式选讲

24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a| （I）当a=2时，解不等式f（x）≥4．

（Ⅱ）若不等式f（x）≥2a恒成立，求实数a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由f（x）≥4得，解得：

，故原不等式的解集为

，或

，或

．

．

（Ⅱ）由不等式的性质得：f（x）≥|a﹣1|， 要使不等式f（x）≥2a恒成立，则|a﹣1|≥2a， 解得：a≤﹣1或

，

．

所以实数a的取值范围为

【必做题】每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

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