第2节 动能定理
考点一| 动能定理的理解
1．内容：在一个过程中合外力对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化量． 1212
2．表达式：W＝mv2－mv1＝Ek2－Ek1.
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3．理解：动能定理公式中等号表明了合外力做功与物体动能的变化具有等量代换关系．合外力做功是引起物体动能变化的原因．
1．定理中“外力”的两点理解
(1)重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力或其他力，它们可以同时作用，也可以不同时作用．
(2)既可以是恒力，也可以是变力． 2．公式中“＝”体现的三个关系
1．下列关于运动物体的合力做功和动能、速度变化的关系，正确的是( ) A．物体做变速运动，合外力一定不为零，动能一定变化 B．若合外力对物体做功为零，则合外力一定为零 C．物体的合外力做功，它的速度大小一定发生变化 D．物体的动能不变，所受的合外力必定为零
C [力是改变物体速度的原因，物体做变速运动时，合外力一定不为零，但合外力不为零时，做功可能为零，动能可能不变，A、B错误；物体合外力做功，它的动能一定变化，速度也一定变化，C正确；物体的动能不变，所受合外力做功一定为零，但合外力不一定为零，D错误．]
2．在光滑水平面上，质量为2 kg的物体以2 m/s的速度向东运动，若对它施加一向西的力使它停下来，则该外力对物体做的功是( )
A．16 J B．8 J C．－4 J D．0
121212
C [根据动能定理W＝mv2－mv1＝0－×2×2 J＝－4 J，选项C正确．]
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3．一个25 kg的小孩从高度为 m的滑梯顶端由静止开始滑下，滑到底端时的速度为 m/取10 m/s，关于力对小孩做的功，以下结果正确的是( )
【导学号：】
A．合外力做功50 J C．重力做功500 J
B．阻力做功500 J D．支持力做功50 J
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A [由动能定理可求得合外力做的功等于物体动能的变化，即ΔEk＝mv＝×25× J
22＝50 J，A选项正确；重力做功WG＝mgh＝25×10× J＝750 J，C选项错误；支持力的方向与小孩的运动方向垂直，不做功，D选项错误；阻力做功W阻＝W合－WG＝(50－750) J＝－700 J，B选项错误．]
4.(加试要求)有一质量为m的木块，从半径为r的圆弧曲面上的a点滑向b点，如图5-2-1所示．如果由于摩擦使木块的运动速率保持不变，则以下叙述正确的是( )
图5-2-1
A．木块所受的合外力为零
B．因木块所受的力都不对其做功，所以合外力做的功为零 C．重力和摩擦力的合力做的功为零 D．重力和摩擦力的合力为零
C [木块做曲线运动，速度方向变化，加速度不为零，故合外力不为零，A错；速率不变，动能不变，由动能定理知，合外力做的功为零，而支持力始终不做功，重力做正功，所以重力做的功与摩擦力做的功的代数和为零，但重力和摩擦力的合力不为零，C对，B、D错．]
考点二| 动能定理的应用
1．应用动能定理的优越性
(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动． (2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功．
(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分阶段作用．
2．运用动能定理解决问题时，有两种思路：一种是全过程列式，另一种是分段列式． 3．全过程列式时，涉及重力、弹簧弹力、大小恒定的阻力或摩擦力做功时，要注意运
用它们的功能特点：
(1)重力的功取决于物体的初、末位置，与路径无关； (2)大小恒定的阻力或摩擦力的功等于力的大小与路程的乘积． (3)弹簧弹力做功与路径无关．
(2015·浙江10月学考)如图5-2-2所示为公路上的“避险车道”，车道表面
是粗糙的碎石，其作用是供下坡的汽车在刹车失灵的情况下避险．质量m＝×10 kg的汽车沿下坡行驶，当驾驶员发现刹车失灵的同时发动机失去动力，此时速度表示数v1＝36 km/h，汽车继续沿下坡匀加速直行l＝350 m、下降高度h＝50 m时到达“避险车道”，此时速度表示数v2＝72 km/h.
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图5-2-2
(1)求从发现刹车失灵至到达“避险车道”这一过程汽车动能的变化量； (2)求汽车在下坡过程中所受的阻力；(g取10 m/s)
(3)若“避险车道”与水平面间的夹角为17°，汽车在“避险车道”受到的阻力是在下坡公路上的3倍，求汽车在“避险车道”上运动的最大位移．(sin 17°≈
1212
【解析】 (1)由ΔEk＝mv2－mv1
22代入数据得ΔEk＝×10 J.
1212
(2)由动能定理，有mgh－Ffl＝mv2－mv1
221212
mv1－mv2＋mgh223
代入数据得Ff＝＝×10 N.
5
2
l(3)设向上运动的最大位移为l′，由动能定理，有 12－(mg sin 17°＋3Ff)l′＝0－mv2
212mv22
代入数据得l′＝≈ m.
mgsin17°＋3Ff【答案】 (1)×10 J (2)×10N (3) m
(2016·浙江10月学考)如图5-2-3所示，游乐场的过山车可能底朝上在竖直
圆轨道上运行，可抽象为图2的模型．倾角为45°的直轨道AB、半径R＝10 m的光滑竖直圆轨道和倾角为37°的直轨道EF，分别通过水平光滑衔接轨道BC、C′E平滑连接，另有水
5
3
平减速直轨道FG与EF平滑连接．EG间的水平距离l＝40 m，现有质量m＝500 kg的过山车，从高h＝40 m的A点静止下滑，经BCDC′EF最终停在G点，过山车与轨道AB、EF的动摩擦因数均为μ1＝，与减速直轨道FG的动摩擦因数μ2＝，过山车可视为质点，运动中不脱离轨道，求：
图5-2-3
(1)过山车运动至圆轨道最低点C时的速度大小； (2)过山车运动至圆轨道最高点D时对轨道的作用力； (3)减速直轨道FG的长度x.(已知sin 37°＝，cos 37°＝
【导学号：】
【解析】 (1)从A到B根据动能定理， 1212h得：mvB－mvA＝mgh－μ1mgcos 45°
22sin 45°
代入数据得vB＝810 m/s，因为BC间光滑，所以vB＝vC＝810 m/s. (2)从C到D根据动能定理， 1212
得：mvD－mvC＝－mg2R，
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mv2D由向心力公式得：＝mg＋FN，联立两方程并代入数据，得FN＝7 000N.
R(3)从E到G建立动能定理，得： 1212
mvG－mvE＝ 22
l－x－mg(l－x)tan 37°－μ1mgcos 37°－μ2mgx.
cos 37°
由于CE间光滑，所以E点的速度等于C点的速度，G点的速度为0，代入数据得x＝30 m.
【答案】 (1)810 m/s (2)7 000 N (3)30 m
1．解题步骤