第1章练习题
题1.1 已知一弹簧质量系统的振动规律为 x(t)=1.0sin?t+0.6cos?t (cm), 式中，?=10? (1/s)。 (1)求其振幅、最大速度、最大加速度和初相位；(2)以旋转矢量表示出它们之间的关系。
题1.2 如题1.2图所示，一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，求其振动微分方程及固有频率。
题1.2图
题1.3图
题1.3 一均质直杆，长为l，重力W，用2根长为h的铅直线挂成水平位置，见题1.3图。试求此杆绕铅直轴oo1微幅振动的微分方程和它的固有周期。
题1.4 如题1.4图，质量m1自高度l下落碰撞原在弹簧k下平衡的质量m2，为完全塑性碰撞，求碰撞后两质量的振动运动。
题1.4图
题1.5图
题1.5 如题1.5图，惯性矩为J的轮和轴，轴中心线与铅垂线有夹角?，盘上半径r处有一附加质量m，求轮和盘系统的固有振动周期。
题1.6 利用等效质量与刚度的概念求解题1.6图示系统的固有频率。AB杆为刚性，本身质量不计。
题1.6图
题1.7图
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题1.7 两缸发动机的曲轴臂及飞轮如题1.7图所示，曲轴相当于在半径r处有偏心质量me，为平衡这一质量将平衡配重放在飞轮上，设所在位置同样距轴心r，求平衡配重所需质量。
题1.8 用衰减振动法测定某系统的阻尼系数时，测得在40周内振幅由0.268mm减少到0.14mm。求此系统的相对阻尼系数?。
题1.9 某洗衣机滚筒部分重14kN，用四个弹簧对称支承，每个弹簧的刚度为k=80N／mm。 (1)试计算此系统的临界阻尼系数cc；(2)这个系统装有四个阻尼缓冲器，每个阻尼系数c=1.8N·s／mm。试问此系统自由振动时经过多少时间后，振幅衰减到10％?(3)衰减振动的周期是多少?与不安装缓冲器时的振动周期作比较。
题1.10 如题1.10图,展开周期半正弦函数F(t)成傅里叶级数，求出所示弹簧质量系统在该F(t) 作用下的响应。
题1.10图
题1.11图
题1.11 求题1.11图所示初始时静止的弹簧质量系统在力F(t)=Foe-bt作用下的瞬态响应。
题1.12 试求在t=0时，有冲量F作用下，有阻尼弹簧质量系统的瞬态响应峰值xm及其出现时间tm。 题1.13 弹簧质量系统30光滑斜面降落，如题1.13图所示。自弹簧开始接触底面到离开为止，求所需的时间为多少?
o
题1.13图
题1.14图
2?k/m，题1.14 无阻尼单自由度质量弹簧m-k系统，受题1.14图所示力的作用， 记xs=F0/k，?n
求证，在t < t0 内，有 在t > t0内， 有
x(t)1?(?nt?sin?nt) xs?nt0x(t)1?[sin?n(t?t0)?sin?nt]?cos?n(t?t0)。 xs?nt0
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题1.15 如题1.15图,为车辆行驶通过曲线路面模型，设道路曲面方程为：ys?a(1?cos1）车辆通过曲线路面时的振动；2）车辆通过曲线路面后的振动。
2?求： x)，l
题1.15图
题1.16图
题1.16 如题1.16图，质量m1，m2被无质量弦牵引，求所示质量的微幅振动微分方程和固有频率，分别给各阶模态形状，设张力T不变。
题1.17 求如题1.17图所示系统的固有频率，分别给出n＝l，n=2时的模态形状。
题1.17图
题1.18图
题1.18 求如题1.18图所示扭转系统在扭转刚度k1＝k2,转动惯量J1＝2J2时的固有频率和正则模态。 题1.19 在题1.18中，若k1=0，k2?0则成为2自由度退化系统，具有一个零固有频率和一个非零固有频率，求其正则模态。讨论此系统对应的移动位移运动的弹簧质量M-K系统的形式。求证当使用?=?1-?2为坐标时，系统可被看成单自由度系统。
??Kx?0，设它的n个固有频率?i (i=1,2,…, n)x题1.20 设n自由度无阻尼系统自由运动方程为 M?互不相同，求证系统模态向量?i(i=1,2,…, n)对质量矩阵M和刚度矩阵K的正交性，即证明
?mii?j?kii?jT，, i, j=1, 2, 3, … , n 。 φTMφ?φKφ???ijij0i?j0i?j??题1.21 如题1.21图，为滑块＋单摆系统，设x(t)= asin?t，其中??km。求： （1）单摆的最大摆角；（2）系统的固有频率。
题1.21图
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题1.22图
题1.22 如题1.22图，其中c?3km/2，m1=m2=m，m1上受阶跃力F1，求零初始条件下系统响应。 题1.23 如题1.23图，各质量上的激励力F1=F2=F3=Fsin?t，其中?=1.25k/m，各阶模态阻尼比为?1=?2=?3=0.01，求各质量的稳态响应。
题1.23图
题1.24图
题1.24 如题1.24图所示简支梁，三等分处各有质量m1＝m2=m，各质量下有阻尼器，阻尼系数为C1=C2=k0m30,其中k0=486EJ/l3，EJ为梁的抗弯刚度，l为梁长度，设梁的质量不计。求： （1）各阶相对阻尼系数?1，?2；（2）质量m1上受到一单位脉冲力?(t)作用，m1，m2的运动规律。 题1.25 设一等直杆在左端自由，右端固定，求它的纵向振动的表达式。
题1.26 求如题1.26图所示的阶梯杆的纵向振动的特征方程，有???????。提示：杆的连续条件是当x1＝l1, x2＝0时，u1＝u2，EA1
?u1?u＝EA22。 ?x1?x2
题 1.26 图
题 1.27 图
题1.27 如题1.27图所示，长为l的等直圆杆以等角速度?转动。某瞬时左端突然固定，求杆扭转振动的响应。
题1.28 一根重的柔性钢索，长度为l，单位长度的质量为?，上端悬挂，在平面内作自由振动，如题1.28图所示，试推导钢索横向运动微方程，并证明可分离成两个常微分方程。
题1.28 图
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题 1.29 图
题1.29 如题1.29图所示，等截面悬臂梁的自由端有一弹性支承，其刚度系数为k，求特征方程和主振型的正交性条件。
题1.30 一等截面梁，x＝0端自由，x＝l端简支，若简支端有横向运动yl(t)=Ylsin?t，证明简支端与
Ylsh?lcos?l?ch?lsin?l?2?A4自由端的振幅比为,其中??。 ?EJY0sh?l?sin?l题1.31 如题1.31图所示，一根矩形截面杆一端固定一端自由，其长度为l，厚度为b，横截面积A按直线规律变化：A(x)＝A0(1+x/l)，其中A0为自由端的截面积，试用里兹法运用模态截断的思路求杆纵向振动的第1，2阶固有频率。设
x2x3第1，2阶振形函数为：?1(x)?1?2 , ?2(x)?1?3。
ll
题1.31图
题1.32 随机过程X[t]的样本函数为：x(t)?a1sin(?1t??1)?a2sin(?2t??2)，式中a1，a2，?1，
?2是常数，?1，?2为统计独立的在[0，2?]上均匀分布的随机变量，求自相关函数Rxx(?)。
题1.33 某平稳随机过程的自相关函数为：Rxx(?)?25e功率谱密度函数Sxx(f)和单边谱密度函数Gxx(f)。
题1.34 已知某振动系统的输入为力，输出为位移，系统位移响应的y(t)的自功率谱为：
?4?cos2?f??16，求其均值?x，方差?x2，
Syy(?)?a(???)?4?2?02?22022(??????)，求响应y(t)的自相关函数和均方值。
题1.35 系统示意图如题1.22图，设F1 (t)为均值为零的白噪声，其自功率谱密度函数为SFF(?)，求稳态情况下响应的自功率谱密度函数，互功率谱密度函数及各响应的均方值。 题1.36 如题1.36图，系统由主系统（m1，k1）和副系统（m2，C2，k2）组成，设作用在m1上的F1(t)为零均值白噪声，试以响应y1(t)的均方值最小为条件确定副系统的m2，C2，k2。 题1.37 设线性系统随机运动方程为
???CX??KX?W(t) X
题1.36图
?9?1?其中： C???; K?100C。
?11.5??W(t)为平稳白噪声激励向量，有 E[W(t)]=0，E[W(t)WT(t+?)]=I?(t)，I为单位矩阵，用实模态分析法求响应的相关函数矩阵RXX(t)。
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