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小学奥数基础教程(三年级)

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提示:从前面两个商入手分析。在要求不重复的条件下,只能有如下三类情形:

商等于2,此时有2÷1与6÷3,4÷2与6÷3,2÷1与8÷4,8÷4与6÷3四种情形;

商等于3,此时有6÷2与9÷3,3÷1与6÷2两种情形;

商等于4,此时只有4÷1与8÷2一种情形。 分这七种情形讨论,可得上述两种填法。 第23讲 竖式数字谜(三)

在第4讲的基础上,再讲一些乘数、除数是两位数的竖式数字谜问题。

例1 在下列乘法竖式的□中填入合适的数字:

分析与解:(1)为方便叙述,将部分□用字母表示如左下式。

第1步:由A4B×6的个位数为0知,B=0或5;再由A4B×C=□□5,推知B=5。

第2步:由A45×6=1□□0知,A只可能为2或3。但A为3时,345×6=2070,不可能等于1□□0,不合题意,故A=2。

第3步:由245×C=□□5知,乘数C是小于5的奇数,即C只可能为1或3。

当C取1时,245×16<8□□□,不合题意,所以C不能取1。故C=3。

至此,可得填法如上页右下式。

从上面的详细解法中可看出:除了用已知条件按一定次序(即几步)来求解外,在分析中常应用“分枝”(或“分类”)讨论法,如第2步中A分“两枝”2和3,讨论“3”不合适(即排除了“3”),从而得到A=2;第3步中,C分“两枝”1和3,讨论“1”不合适(即排除了“1”),从而得到C=3。分枝讨论法、排除法是解较难的数字问题的常用方法之一。

下面我们再应用这个方法来解第(2)题。

(2)为方便叙述,将部分□用字母表示如下式。

第1步:在 AB×9=6□4中,因为积的个位是4,所以B=6。

第2步:在A6×9=6□4中,因为积的首位是6,所以A=7。

第3步:由积的个位数为8知,D=8。再由AB×C=76×C=6□8知C=3或8。当C=3时, 76×3<6□8, 不合题意,所以C=8。

至此,A,B,C都确定了,可得上页右式的填法。 例2 在左下式的□中填入合适的数字。

分析与解:将部分□用字母表示如右上式。

第1步:由积的个位数为0知D=0,进而得到C=5。 第2步:由A76×5=18□0知,A=3。

第3步:在376×B5=31□□0中,由积的最高两位数是31知,B≥8,即B是8或9。

由376×85=31960及376×95=35720知,B=8。 至此,我们已经确定了A=3,B=8,C=5。唯一的填法如下式。

下面两道例题是除数为两位数的除法竖式数字谜。 例3 在左下式的□中填入合适的数字。

解:由□□×2=48知,除数□□=24。又由竖式的结构知,商的个位为0。故有右上式的填法。 例4 在左下式的□中填入合适的数字。

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分析与解:将部分□用字母表示如右上式。

第1步:在A6×B=□□8中,积的个位是 8,所以B只可能是3或8。由□□8<11□知,□□8是108或118,因为108和118都不是8的倍数,所以B≠8,B=3。又因为只有108是3的倍数,108÷3=36,所以A=3。

第2步:由 A6×C=36×C=□□知,C只能是1或2。当C=1时,36×31=1116;当C=2时,36×32=1152。 所以,本题有如下两种填法:

练习23

1.在下列各式的□中填入合适的数字:

2.下列各题中,不同的汉字代表不同的数字,相同的汉字代表相同的数字。求出这些数字代表的数。

3.在下列各式的□中填入合适的数字:

4.在下面的竖式中,被除数、除数、商、余数的和是709。

请填上各□中的数字。

答案与提练习23

提示:(1)先确定乘数是11。

(2)先确定乘数的十位数是7,再确定被乘数的十位

数是1,最后确定乘数的个位是3。 2.(1)庆=3,祝=9; (2)学=2,习=5,好=6。

提示:(2)由右式①②③知,“好”>“习”,故“习”

<9。再由②知“学”=2,“习”=4或5。若“习”=4,则由“24好×4”知①是三位数,不合题意,所以“习”=5。再由①②③知“好”=6。

4.提示:由题意和竖式知,

被除数+除数=709-21-3=685,再由竖式知,被除数=除数×21+3,所以,

除数×21+3+除数=685, 除数×22=685-3=682, 除数=682÷22=31。

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被除数为31×21+3=654。填法如右式。 第24讲 和倍应用题

小学数学中有各种各样的应用题。根据它们的结构形式和数量关系,形成了一些用特定方法解答的典型应用题。比如,和倍应用题、差倍应用题、和差应用题等等。

和倍应用题的基本“数学格式”是:

已知大、小二数的“和”,又知大数是小数的几倍,求大、小二数各是多少。

上面的问题中有“和”,有“倍数”,所以叫做和倍应用题。为了清楚地表示和倍问题中大、小二数的数量关系,画出线段图如下:

从线段图知,“和”是小数的(倍数+1)倍,所以, 小数=和÷(倍数+1)。 上式称为和倍公式。由此得到 大数=和-小数, 或 大数=小数×倍数。

例如,大、小二数的和是265,大数是小数的4倍,则

小数=265÷(4+1)=53, 大数=265-53=212或53×4=212。

例1 甲、乙两仓库共存粮264吨,甲仓库存粮是乙仓库存粮的10倍。甲、乙两仓库各存粮多少吨? 分析:把甲仓库存粮数看成“大数”,乙仓库存粮数看成“小数”,此例则是典型的和倍应用题。根据和倍公式即可求解。

解:乙仓库存粮 264÷(10+1)=24(吨),甲仓库存粮 264-24=240(吨), 或

24×10=240(吨)。

答:乙仓库存粮24吨,甲仓库存粮240吨。 例2 甲、乙两辆汽车在相距360千米的两地同时出发,相向而行,2时后两车相遇。已知甲车的速度是乙车速度的2倍。甲、乙两辆汽车每小时各行多少千米? 分析:已知甲车速度是乙车速度的2倍,所以“1倍”数是乙车的速度。现只需知道甲、乙汽车的速度和,就可用“和倍公式”了。由题意知两辆车 2时共行 360

千米,故1时共行 360÷2=180(千米),这就是两辆车

的速度和。

解:乙车的速度为

(360÷2)÷(2+1)= 60(千米/时), 甲车的速度为

60×2=20(千米/时),或180-60=120(千米/时)。

答:甲车每时行120千米,乙车每时行60千米。 从上面两道例题看出,用“和倍公式”的关键是确定“1倍”数(即小数)是谁,“和”是谁。例1、例2的“1倍”数与“和”极为明显,其中例2中虽未直接给出“和”,但也很容易求出。下面我们讲几个“1倍”数不太明显的例子。

例3 甲队有45人,乙队有75人。甲队要调入乙队多少人,乙队人数才是甲队人数的3倍?

分析:容易求得“二数之和”为 45+75=120(人)。如果从“乙队人数才是甲队人数的3倍”推出“1倍”数(即小数)是“甲队人数”那就错了,从75不是45的3倍也知是错的。这个“1倍”数是谁?根据题意,应是调动后甲队的剩余人数。倍数关系也是调动后的人数关

系,即“调入人后的乙队人数”是“调走人后甲队剩余的人数”的3倍。由此画出线段图如下:

从图中看出,把甲队中“?”人调入乙队后,(45+75)就是甲队剩下人数的 3+1=4(倍)。从而,甲队调走人后剩下的人数就是“1倍”数。由和倍公式可以求解。

解:甲队调动后剩下的人数为

(45+75)÷(3+1)= 30(人),故甲队调入乙队的人数为45-30=15(人)。

答:甲队要调15人到乙队。

例4 妹妹有书24本,哥哥有书53本。要使哥哥的书是妹妹的书的6倍,妹妹应给哥哥多少本书? 仿照例3的分析可得如下解法。

解:兄妹图书总数是妹妹给哥哥一些书后剩下图书的(6+1)倍,根据和倍公式,妹妹剩下

(53+24)÷(6+1)=11(本)。故妹妹给哥哥书24-11=13(本)。

答:妹妹给哥哥书13本。

例5 大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160个。后来大白兔把它的蘑菇给了其它白兔20个,而小灰兔自己又采了10个。这时,大白兔的蘑菇是小灰兔的5倍。问:原来大白兔和小灰兔各采了多少个蘑菇?

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分析与解:这道题仍是和倍应用题,因为有“和”、有“倍数”。但这里的“和”不是 160,而是160-20+10=150,“1倍”数却是“小灰兔又自己采了10个后的蘑菇数”。线段图如下:

根据和倍公式,小灰兔现有蘑菇(即“1倍”数) (160-20+10)÷(5+1)=25(个),

故小灰兔原有蘑菇25-10=15(个),大白兔原有蘑菇

160-15=145(个)。

答:原来大白兔采蘑菇145个,小灰兔采15个。 练习24

1.小敏与爸爸的年龄之和是64岁,爸爸的年龄是小敏的3倍。小敏和她爸爸的年龄各是多少岁? 2.一肉店卖出猪肉和牛肉共560千克,卖出的猪肉是卖出的牛肉的4倍。猪、牛肉各卖了多少千克? 3.甲、乙两桶汽油共84千克。如果把乙桶中的油倒入甲桶15千克,那么这时甲桶中的汽油等于乙桶中的汽油的3倍。甲、乙两桶原有汽油各多少千克? 4.甲、乙两人共生产零件100个,其中甲有2个零件、乙有5个零件不合格。已知乙生产的合格零件是甲生产的合格零件的2倍。甲、乙各生产了多少个零件? 5.团结村原有水田290公顷,旱田170公顷。要把多少公顷旱田改为水田,才能使水田的公顷数比旱田的公顷数多2倍?

6.红星小学图书馆内,科技书是故事书的3倍,连环画书又是科技书的2倍。已知这三种书共有1600本,那么每种书各有多少本? 答案与提示 练习24 1.16岁,48岁。 2.448千克,112千克。 3.甲桶48千克,乙桶36千克。 解:乙桶原有84÷(3+1)+15=36(千克), 甲桶原有84-36=48(千克)。 4.甲33个,乙67个。

解:甲=(100-2-5)÷(2+1)+2=33(个), 乙=100-33=67(个)。 5.55公顷。

解:170-(290+170)÷(2+1+1)=55(公顷)。 6.故事书160本,科技书480本,连环画960本。 解:以故事书为“1倍”数,则科技书为它的3倍,连环画书为它的3×2=6(倍)。由和倍公式,得 故事书有1600÷(1+3+6)=160(本),

科技书有160×3=480(本), 连环画有160×6=960(本)。 第25讲 差倍应用题

与和倍应用题相似的是差倍应用题。它的“基本数学格式”是:

已知大、小二数之“差”,又知大数是小数的几倍,求大、小二数各是多少。

上面的问题中,有“差”、有“倍数”,所以叫做差倍应用题。差倍问题中大、小二数的数量关系可以用下面的线段图表示:

从线段图知,“差”是小数(即“1倍”数)的(倍数-1)倍,所以,

小数=差÷(倍数-1)。 上式称为差倍公式。由此得到 大数=小数+差, 或

大数=小数×倍数。

例如,大、小数之差是152,大数是小数的5倍,则

小数=152÷(5-1)=38,

大数=38+152=190或38×5=190。

例1 王师傅一天生产的零件比他的徒弟一天生产的零件多128个,且是徒弟的3倍。师徒二人一天各生产多少个零件?

分析:师徒二人一天生产的零件的“差”是128个。小数(即“1倍”数)是徒弟一天生产的零件数,“倍数”为3。由差倍公式可以求解。 解:徒弟一天生产零件 128÷(3-1)=64(个), 师傅一天生产零件

128+64=192(个)或64×3=192(个)。

答:徒弟、师傅一天分别生产零件64个和192个。 例2 两根电线的长相差30米,长的那根的长是短的那根的长的4倍。这两根电线各长多少米?

解:“差”=30,倍数=4,由差倍公式得短的电线长 30÷(4-1)=10(米), 长的电线长

10+30=40(米)或10×4=40(米)。 答:短的电线长10米,长的电线长40米。 解差倍应用题的关键是确定“1倍”数是谁,“差”是什么。上两例中,“1倍”数及“差”都极明显地直接给出。下面讲两个稍有变化,不直接给出“差”和“1倍”数的例子。