概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________

p(x,yP???ke?(3x?4y),x?0,y?0; ?0,其他.试求

(1) 常数k;

(2) (X,Y)的联合分布函数F(x,y); (3) P(0

11. 设二维随时机变量(X,Y)的联合密度函数为?p(x,y)???x2?xy3,0?x?1,0?y?2; ??0,其他.求P(X+Y≥1).

13. 设二维随时机变量(X,Y)的联合密度函数为?p(x,y)??1?2,0?x?1,0?y?2; ??0,其他.求X与Y中至少有一个小于0.5的概率.

习题3.2 P153

4.设平面区域D由曲线及直线y=1/x及直线y=0,x=1,x=e2所围成,二维随机变量(X.,Y)在区域D上服从均匀分布,试求X的边际密度函数.

6. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为

p(x,y)???6,0?x2?y?x?1;0,其他.

?试求边际密度函数pX(x)和pY(y).

12. 设X与Y是两个相互独立的随机变量, X~U(0,1), Y~Exp(1). 试求(1)X与Y的联合密度函数; (2)P(Y≤X); (3)P(X+Y≤1).

14. 设随机变量(X,Y)的联合密度函数为

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?1,|x|?y,0?y?1; p(x,y)???0,其他.试求(1)边际密度函数pX(x)和pY(y);(2)X与Y是否独立?

16. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为p(x,y). 证明:X与Y相互独立的充要条件是p(x,y)可分离变量,即p(x,y)=h(x)g(y). 又问h(x),g(y)与边际密度函数有什么关系?

习题3.3 P163

1. 设二维随机变量(X,Y)的联合分布列为 Y X 0 1 2 1 0.05 0.07 0.04 2 0.15 0.11 0.07 3 0.20 0.22 0.09

3. 设随时机变量X和Y的分布列分别为 X -1 0 1 P Y 1/4 0 1/2 1 1/4 1/2 1/2 P 已知P(XY=0)=1,试求Z=max(X,Y)的分布列.

5. 设X和Y为两个随机变量,且

P(X?0,Y?0)?34,P(X?0)?P(Y?0)?. 77试求P(max(X,Y)?0).

6. 设X与Y的联合密度函数为

试分别求U=max(X,Y)和V=min(X,Y)的分布列.

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?e?(x?y),x?0,y?0;p(x,y)??

?0,其他.试求以下随机变量的密度函数(1)Z=(X+Y)/2;(2)Z=Y-X.

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8. 某种商品一周的需要量是一个随机变量,其密度函数为

16. 设随机变量X1,X2,?,Xn相互独立,且

Xi~Exp(?i),试证:

P(Xi?min(X1,X2,?,Xn))??i?1??2????n?te?t,t?0; p1(t)???0,t?0.设各周的需要量是相互独立的,试求 (1) 两周需要量的密度函数p2(x); (2) 三周需要量的密度函数p3(x).

10. 设二维随机变量(X,Y)在矩形

18. 设随机变量X与Y独立同分布,其密度函数为

?e?x,x?0; p(x)???0,x?0.(1) 求U?X?Y与V?X/(X?Y)的联合密度

函数pU,V(u,v); (2) 以上的U与V独立吗?

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G?{(x,y)|0?x?2,0?y?1}

上服从均匀分布,试求边长分别为X和Y的矩形面积Z的密度函数.

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19. 设随机变量X与Y相互独立,且

X~Ga(?1,?),Y~Ga(?2,?).试证:U=X+Y与

C=X/Y相互独立.

习题3.4 P181

2. 求掷n颗骰子出现点数之和的数学期望与方差.

3. 从数字0,1,…,n中任取两个不同的数字,求这两个数字之差的绝对值的数学期望.

5. 盒中有n个不同的球,其上分别写有数字1,2,…,n.每次随机抽出一个,记下其号码,放回去再抽.直到抽到有两个不同的数字为止.求平均抽球次数.

9. 设X1,X2,?X5是独立同分布的随机变量，其共同密度函数为

p(x)???2x,0?x?1;

?0,其他使求Y?max(X1,X2,?,X5)的密度函数、数学期望和方差。

12．设X,Y独立同分布，都服从标准正态分布N(0,1)，求E[max(X,Y)].

15.一商店经销某种商品，每周进货量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量，且都服从区间(10,20)上的均匀分布。商店每售出一单位商品可得利润1000元;若需求量超过了进货量，则可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润为500元，试求此商店经销该种商品每周的平均利润。 18．把一颗筛子独立地掷n次,求1点出现的次数与6点出现次数的协方差及相关系数。

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