习题1
1-1 P点相对于原点的位矢rp??2i?6jm, P点到Q点的位移?r?4i?2jm, 求Q点相对于原点的位矢并画图.
解：设Q点相对与原点的位矢为rQ，则：
rQ?rp??r?2i?4j
1-2一质点作直线运动，它的运动方程是x?bt?ct2, b, c是常数. (1) 求此质点的速度和加速度函数；(2) 作出x?t，??t和a?t图
解：这是一个一维的问题.
dx速度 ???(?2ct?b)，
dtd?加速度 a???2c.
dt图略.
1-3物体按照x?4.9t2的规律运动，x的单位为米，t的单位为秒. (1) 计算下列各时间段内的平均速度：1s到1.1s,1s到1.01s,1s到1.001s; (2) 求1s末的瞬时速度；(3) 解释上述结果
解：这也是一个一维的问题.
?x(1) 平均速度 ??.
?t?x4.9?1.12?4.9?12? 1s到1.1s内： ??＝10.29 （m/s）, ?t1.1?1?x4.9?1.012?4.9?12?1s到1.01s内：??＝9.849（m/s）, ?t1.01?1?x4.9?1.0012?4.9?12?1s到1.001s内：??＝9.8049（m/s）. ?t1.001?1(2) 速度 ??dx?9.8t. dt1-4一质点以10m?s?1的恒定速率向东运动. 当它刚到达距出发点为d的一点时，立即以20m?s?1的恒定速率返回原处. 问: 质点在全过程中的平均速度和平均速率为多少？
解：取出发点为原点，向东为x轴正方向. 从原点到x＝d处，作匀速直线运动，时间 ?t1?
?s?1＝d/10.
1
从x＝d处返回原点作匀速直线运动，时间
?t2??s?2＝d/20 (
全过程中，平均速率 ???sd?d??13.3 （m/s） ?t?t1??t2返回原处时，位移?x＝0，平均速度???x＝0. ?t1－5 矿井里的升降机由井底从静止开始匀加速上升，经过3s速度达到
3m?s?1，然后以这个速度匀速上升6s，最后减速上升经过3s后到达井口时刚好
停止. (1) 求矿井深度；(2) 作出x?t，??t和a?t图. 解：（1）以井底为原点，向上为x轴正向.
在0—3s内，升降机作匀加速直线运动:
1?x1??0t?a1t2 (1)
2?12??02?2a1?x1. (2)
其中?0?0. 由（1）、（2）两式得：?x1＝4.5(m).
在3—9s内，升降机以?1＝3m/s作匀加速直线运动,
?x2??1t＝18（m/s） (3)
在9—12s内，升降机作匀减速直线运动
1?x3??1t?a2t2 (4)
22??12?2a2?x3, (5) ?2其中?2?0. 由（4）和（5）两式得?x3＝4.5(m)
矿井深度 H??x1??x2??x3＝4.5＋18＋4.5＝27(m).
1-6湖中有一小船，岸上有人用一根跨过定滑轮的绳子拉船靠岸。若人以匀
速?拉绳，船运动的速度??为多少？设滑轮距水面高度为h，滑轮到船初位置的绳长为l0.
解：取滑轮下水面为原点，向右为正，任意t时刻，斜边即船到滑轮的长度为l0??t, 则船相对岸的位置为 x??l0??t?2?h2,
2
船运动的速度为 ???dxh2?－?/1?(). dtl0??t1-7如图1-7所示, 一身高h的人用绳子拉着雪撬匀速奔跑, 雪撬在距地面高度为H的平台上无摩擦地滑行. 若人的速度为?0, 求雪撬的速度和加速度.
解：取定滑轮为原点，向右为正. t＝0时，雪橇到定滑轮原长l0，人在滑轮正下方. 任意时刻t，雪橇位置为x，速度为?，有 x?l0??H?h????0t?22, ?02tdx, ??＝22dt（H?h）＋（?0t）(H?h)?02d?＝. a?223dt[（H?h）＋（?0t）]1-8一火箭以20m/s 的常速度从距地面高度为50m的悬崖边上垂直向上起飞,
7s 后燃料耗尽. 求从发射到火箭落地的时间.
解：以悬崖边为原点，向上为正. 火箭先以?0＝20m/s向上作匀速直线运动，7s时, 其位置为 y1??0t＝20×7＝140(m). 然后作匀加速运动, t时刻其位置为
y2?y1??0t?12gt. 2到落地时应有 －50＝140＋20t－5t2.
于是得 t＝15.6s.
1-9两个物体A 和 B 同时从同一位置出发同向运动, 物体A做速度为10m/s 的匀速直线运动, 物体B做初速度为零的匀加速直线运动, 加速度为1m/s2. (1) 当物体B追上物体A时,他们距离出发位置多远? (2) 此前, 他们什么时候相距最远?
解：(1) A作匀速直线运动: xA??At, (1)
11 B作匀加速直线运动 xB??0t?at2?at2. (2)
22当B追上A时， xA?xB. (3) 由(1),(2),(3)可得： t?2?A?20s, axA?xB?200m.
3
1（2）两者相距 s?xA?xB??At?at2.
2令上式对t的导数为0, 得t＝10s, 此时，它们相距最远:
smax?＝50m.
1-10一电梯以加速度1.22m/s2上升. 当电梯速度为2.44m/s时,一个螺丝从电梯天花板落下, 天花板到地板的高度为2.74m. 求螺丝从天花板落到地板的时间和它相对电梯外柱子的位移.
解：取螺钉脱离时开始计时, 取此时的电梯顶为原点，向上为正，电梯向上
1作匀加速运动: x1?x0??0t?at2, (1)
21螺钉向上作匀减速运动: x2??0t?gt2, (2)
2螺钉落到电梯地板上时, x1?x2. (3) 由(1), (2), (3)可得： t＝0.705s, x2＝0.717m.
1-11一质点以初速率?0和相对地面为?的仰角斜上抛出. 忽略空气阻力, 试
2sin2?/2g, 而证明质点到达最高位置的时间和高度分别为t??0sin?/g, h??02sin2?/g. 水平最大位移为R??0证明：质点以初速率?0和相对地面为?的仰角斜上抛出，可将质点运动分解为水平方向匀速直线运动和垂直方向匀加速直线运动. 以起抛点为原点，向上为y轴正向,则有 x??0cos?t, (1)
1 y??0sin?t?gt2, (2)
2 ?y??0sin??gt. (3) 当质点到达最高位置时，?y?0, 由(3)得
t??0sin?/g.
2sin2?/2g. 将上式代入(2)，可得 h??0质点回到地面时, y＝0. (4) 由(1),(2),(4)可得水平最大位移 X??02sin2?/g.
1-12一小球以相对地面为?的仰角斜上抛出. 小球在最高位置的速度为
4
12.25m/s, 落地点到抛出点的距离为38.2m. 忽略空气阻力, 求小球的初速率和达到的最大高度.
解：同上题，小球在最高位置速度为：
?0cos?t＝12.25 m/s, (1)
落地点到抛出点距离： X??02sin2?/g＝38.2 m/s, (2)
2sin2?/2g (3) 最大高度： h??0o'由(1),(2),(3)可得 ?0＝19.6m?s?1 , ?＝5117 , h＝11.9m.
1-13一小球以10m/s 的初速率从距地面高度为50m的悬崖边上水平抛出. 求: (1) 小球落地时飞行的时间; (2) 落地位置; (3) 小球飞行中任意时刻的速度.
解：可将质点运动分解为水平方向匀速直线运动和垂直方向匀加速直线运动.以抛出点为原点，向上为y轴正向,则有
x??0t, (1)
1 y??gt2, (2)
2 ?y??gt. (3) 小球落地时y＝-50 m，带入（2）式，可得小球飞行时间t＝3.19s. 落地位置 x??0t＝＝31.9m, 任意时刻小球的飞行速度 ??100?96t2,
速度的方向角 ??arcot0.98t.
1-14 一列火车以70km/h的速率奔跑, 车上一个信号灯挂在距地面高度为4.9m 的位置, 当灯过地面某处时开始落下. (1)当灯落地时,求灯与车之间的距离以及灯的落地点与开始下落处的距离. (2) 求灯相对车和相对地的运动轨迹. 解：设该地为原点，车行进方向为x轴正向，y轴向上为正
(1) 灯相对于车在水平方向无位移，灯与车之间的距离为0; 相对于地，灯在垂直方向作自由落体运动，水平方向作匀速直线运动:
x??t, (1)
1 y??gt2, (2)
2落地时，取y＝0，由上两式得 x＝20 m. 从上两式中消去t，得到运动轨迹:
y?4.9?0.02x2. (2) 灯相对于车作自由落体运动:
1 y?y0?gt2. (3)
21-15 地面上一根旗杆高20.0m, 中午时太阳正位于旗杆上方. 下午2点时旗杆影子的运动速度多大? 什么时候旗杆影子的长度等于20.0m?
5
解：设旗杆和旗杆影子的长度分别为H和x, 则有 x?Htg?, 而旗杆影子的运动速度为 ??dx??H, 2dtcos?所以,下午2点时旗杆影子的运动速度是
0.727?10?4?H?1.939?10?3m/s. ??H22cos?cos?/6?令H和x相等,则 t?3点钟(15时).
1-16一质点的加速度为a?6i?4jm/s2, t?0时质点速度等于零, 位矢为
r0?10im. 求: (1) 质点在任意时刻的速度和位矢. (2) 质点在x?y平面内的轨迹
方程并画出轨迹示意图.
解： （1）t＝0时，?0?0，r0?10im
d?d2r?2得 由 a?dtdt ?＝
??tt0tadt+?0＝?adt＝(6ti+4tj)m?s-1
t0t r =
t02vdt+r0= 10?3t)i+2t2j
? (2)由r = 10?3t2)i+2t2j
得x＝10?3t2)；y＝2t2， 消去t得到轨迹方程: 3y?2x?20. 1-17 一质点的运动方程(SI)为
x??10t?30t2, y?15t?20t2,
??求: (1) 质点初速度的大小和方向; (2) 质点加速度的大小和方向.
drdxdy解 （1）??=j?(－10+60t )i?(15－40t) j, i?dtdtdt质点初速度 ?|t＝0＝－10i ＋15j?m?s-1?,
大小??18.03m?s?1，方向角(与x轴夹角) arctg（-2/3）=123o41'.
d?yd?x（2）a=j＝60i –40j, i+
dtdt 6
大小 a＝72.11m?s?2,
与x轴夹角：arctg（ax/ay）＝arctg（-3/2）=?56o18'.
1-18 小球以30m/s的初速率水平抛出. 求小球抛出后5s 时的切向加速度和法向加速度.
11 解：小球的运动方程r = ?0ti?gt2j?30ti?gt2j,
22dr22?＝＝30i?gtj, ???30???gt? dtd? a?＝?gj
dtg2td?当t?5s时, at＝＝＝8.4 m/s2,
dt900?g2t2 an＝a2?at2＝5.1 m/s2.
1-19 一人在静水中的划船速度为1.1m/s, 他现在想划船渡过一宽为4000m,
水流速度为0.55m/s的河. (1) 如果他想到达正对岸的位置, 应对准什么方向划船? 渡河时间多长? (2) 如果他想尽快渡河, 应对准什么方向划船? 沿河方向上的位移是多少?
解： 设静水中的划船速度为?0?1.1m/s, 水流速度为u?0.55m/s, 河宽为
l?4000m.
（1）如果他想到达正对岸的位置, 应对准的方向为偏向上游,角度为
?u?1??arcsin???arcsin?30o,
2??0?渡河时间 ?t?l?4.197?103s?1.17h.
?0cos?(2) 如果他想尽快渡河, 方向为??0, 沿河方向上的位移为 s?u?t?2002m.
1-20 一条船沿着平行于海岸的直线航行, 到海岸的距离为D, 航速为?1. 为拦截这条船, 一快艇以速率?2从港 C 口A驶出, 如图所示. 已知?1??2. D (1) 试证快艇必须在船到达距离港 口为x处之前开出, x?2D?12??2?2; x A (2) 若快艇尽可能晚开出, 它在什么 题1-20图
7
位置和什么时间拦截到这条船?
解：（1）由A点做直线AB垂直于AC, 则
22xt?1??2 , ?D?2t2D?12??2所以 x?（2） 由于
?2. ?1t?1l??,
2222Dt?1??2?1??2D?1而l??2t,所以 t??2???D?12122, 则 l????2122.
1-21 一架飞机从甲地向南飞到乙地又返回甲地, 甲乙两地的距离为l. 若飞机相对空气的速率为?, 空气相对地面的速率为u, 且飞机相对空气的速率保持不变, 试证明:
2l(1) 若空气静止,即u?0, 则飞机往返时间为t0?;
?(2) 若刮北风, 则飞机往返时间为t1?t0; 2u1?2?(3) 若刮西风, 则飞机往返时间为t2?t01?u2 ?2证：（1）飞机相对空气的速率为?, 空气相对地面的速率为u。空气静止,即u?0，这飞机相对地面的速率为?, 飞机往返时间为
2lt0?.
?（2）x轴向东，y轴向北建立坐标系。若刮北风，空气相对地面的速度
为牵连速度为－u，飞机从甲地向南飞到乙地时，飞机相对于大地的速度为
????u，飞机往返时间?机地??u??；又返回甲地飞机相对于大地的速度为?机地为 t1?ll????u??ut0 u21?2?（3）若刮西风，?机地方向沿y轴，则飞机相对空气的速率在直角三角形斜
8
边上， ?机地＝?2?u2, 飞机往返时间为 t2?2l??u22=t01?u2.
?2
习 题 2
2-1 如图所示, 水平桌面上有两个紧靠着的物体, 水平力F作用在左边物体上,试求两物体间的作用力. 已知m1?2.0kg，m2?1.0kg，F=15N，两物体与桌面的摩擦系数为0.20.
A m 1确 F 0 B
m230
题2-1图 题2-3图
解：设两物体间的作用力大小为F12，由牛顿第二定律
F?F12??m1g?m1a, (1)
F12??m2g?m2a, (2)
消去a，得 F12=5N.
2-2一质量50kg的货物，放在与水平面成30o的斜面上，货物与斜面的摩擦系数为0.20. 要使货物以5.0m?s-2的加速度沿斜面上升，需用多大的水平推力？
解：设水平推力为F，?＝30o，?＝0.2，在斜面方向上以向上为正,则有 Fcos??mgsin???mgcos??ma 解得 F?669.5N.
2-3 如图所示，一个斜面与水平面的夹角为30o，A和B两物体的质量都是0.20kg，物体A与斜面的摩擦系数为0.40. 求两物体运动时的加速度，以及绳对物体的拉力. 绳与滑轮之间的摩擦力以及绳与滑轮的质量均略去不计.
解：设两物体运动时的加速度a，绳对物体的拉力为T，假定B往下运动，则有 T?mgsin???mgcos??ma, (1)
mg?T?ma. (2)
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由(1),(2)式得 a＝0.753(m?s?2)，T=1.81N.
2-4 一木块能在与水平面成?角的斜面上以匀速滑下. 若使它以速率?0沿此斜面向上滑动, 试证明它沿该斜面向上滑动的距离为?0/4gsin?.
证：木块能在与水平面成?角的斜面上以匀速滑下，有 mgsin???mgcos??0, (1) 若使它以速率?0沿此斜面向上滑动，有
?mgcos??mgsin??ma, (2)
2?2a?S, (3) ?12??0而?1?0,于是得 ?S??0/4gsin?.
2-5 如图所示，将质量为10kg的小球挂在倾角??300光滑斜面上. 问: (1)当斜面以a?g/3的加速度水平向右运动时，绳中的张力及小球对斜面的正压力为多大？(2) 当斜面的加速度至少多大时，小球对斜面的正压力为零.
解：（1）设绳中的张力T，小球对斜面的正压力为N，a?g/3，将小球受力分解在水平和垂直方向上,则有
Tcos??Nsin??ma （1）
Mg?Tsin??Ncos??0. （2） 联立上两式,解得 T?77.3N, N?68.5N.
（2）同上，在（1），（2）两式中取N＝0，可解得
a?17.0m?s?2.
2-6 如图所示，在水平桌面的一端固定着一只轻定滑轮. 一根细绳跨过定滑轮系在质量为1.0kg的物体A上，另一端系在质量为0.50kg的物体B上. 设物体A与桌面间的摩擦系数为0.20, 求物体A、B的加速度. 绳与滑轮间的摩擦力以及绳与滑轮的质量均略去不计. A
a
B
?
题2-5图 题2-6图
10
解：设物体A、B的加速度.为a，绳中的张力T，有
T??mag?maa, （1） mbg?T?mba. （2） 可解得 a＝1.96m?s?2.
2-7如图所示，一根细绳跨过一光滑的定滑轮， 绳两端分别悬挂着质量为m1和m2的物体，m1>m2. 求物体的加速度及绳对物体的拉力. 绳与滑轮间的 摩擦力可以略去不计，绳不伸长，滑轮和绳的质量 也可略去不计.
解：设物加速度.为a，绳对物体的拉力为T，有 m1g?T?m1a. （1） T?m2g?m2a （2） 可解得： a＝
m2?m1g, m1 m2
m1?m22m1m2g. 题2-7图
m1?m2T＝
Q1 乙 甲 h Q2
题2-8图 题2-9图
2-8 如图所示, 重量为Q1和Q2的两物体用跨过定滑轮的细绳连接，Q1>Q2. 如开始时两物体的高度差为h，求由静止释放后，两物体达到相同高度所需的时间. 不计滑轮和绳的质量及摩擦.
解：设物加速度.为a，绳对物体的拉力为T，两物体达到相同高度所需的时间为t，有 m1g?T?m1a. （1） T?m2g?m2a （2）
11
两物体达到相同高度时Q1下降高度为
h12?at, （3） 22(m1?m2)h.
(m1?m2)g于是得 t＝
2-9有两块混凝土预制板块放在木板上，甲块质量200kg, 乙块质量100kg.木板被起重机吊起送到高空. 试求在下述两种情况中，木板所受的压力及乙块对甲块的作用力：(1) 匀速上升；(2) 以1m?s?2的加速度上升.
解：（1）设木板所受的压力为N，乙块对甲块的作用力F12，m1=200kg，m2＝100kg. 木板匀速上升时,有 N?m1g?F12?0, (1) F12?m2g?0. (2) 可得： F12＝980N , N＝2.98?103N.
（2）木板以a＝1m?s?2的加速度上升时,则有
N?m1g?F12?m1a, (3) F12?m2g?m2a. (4)
可得F12＝1.08?103N ; N＝3.24?103N
2-10 一质量为60kg的人乘电梯上楼. 电梯先以0.40m?s?2的加速度上升, 速率达到1.0m?s?1后匀速上升. 试求在上述两过程中，人对电梯地板的作用力.
解：（1）设人对电梯地板的作用力N，电梯先以0.40m?s?2的加速度上升,则有 N?mg?ma, 则 N?mg?ma＝612N.
（2）速率达到1.0m?s?1后匀速上升,则
N?mg?0,
N?mg＝588N.
12
2-11 半径为R的半球形碗内有一粒质量为m的小钢球. 若小钢球以角速度?在水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动时，它距碗底有多高？
解：设距碗底有高h，则小钢球圆周运动的半径为r＝R2?(R?h)2，小球受力重力mg，和指向碗中心的压力N，则有
Ncos??mg?0, （1） Ncos??mr?2, （2）
sin??r/R. （3）
g可解得： h＝R?2.
?2-12 一根柔软而均匀的链条，长为l，单位长度的质量为?. 将此链条跨过一无摩擦的轻而小的定滑轮，一边的长度为x(?l/2)，另一边的长度为l?x. 现
2x?lg. l证：以链条为研究对象，分析受力，任意时刻下垂部分长为x，质量?x，另一边的长度为l?x，质量?(l－x)，则有
T－?xg＝?xa, (1) ?(l－x)－T=?(l－x)a. (2)
l?2x可解得: a?g.
l2-13 气球及载荷的总质量为m，以加速度a向上升，问气球的载荷增加多少，才能使它以相同的加速度向下降落.
解：气球及载荷系统受到向上升力T和重力
T－mg＝ma. （1） 载荷增加X，它以相同的加速度向下降落
（X＋m）g－T＝（X＋m）a. （2） 消去T，可得：
将链条由静止释放，试证明链条的加速度为 a? X=2ma. g?a2-14 长为l的细绳一端系一质量为m的小球, 使小球从悬挂着的位置以初速度为?0在铅直平面内绕细绳的另一端开始作圆周运动. 用牛顿定律求小球在任意位置时的线速度和绳的张力（不计空气阻力）
解：取小球为对象，设任意位置时的线速度为?，小球受重力和绳的张力T，线与垂直方向夹角为?，，根据牛顿定律，有
d?切向： mgsin?＝m, （1）
dt法向： N?mgcos??m?2r. （2） 对（2）求导数，得
13
dNd??d?. （3） ?mgsin??2mdtdtrdtd?由（1）得 ?gsin?. （4）
dtd?又 ??r. （5）
dt 由（4），（5）得小球在任意位置时的线速度v
2?2lg(cos??1). ???0将（4）与.(5)代入（3），再积分可得张力 N=m(
. A O B 2-15 一质量为m的小球最初位于如图所示 ? r 的A点，然后沿半径为r的光滑圆弧的内表面 C ADCB下滑. 试求小球过C点的角速度和对圆 D 弧表面的作用力. 题2-15图
解：取小球为对象，设任意位置时的线速度为?，小球受重力和绳的张力T，线与垂直方向夹角为?，，根据牛顿定律，有
d?切向： mgsin?＝m, （1）
dt法向： N?mgcos??m?2r. （2） 对（2）求导数，
dNd??d?. （3） ?mgsin??2mdtdtrdtd?由（1）得 ?gsin?. （4）
dtd?又 ??r, （5）
dt 由（4），（5）得小球在任意位置时的线速度
?02l?2g?3gcos?).
2?2lg(cos??1). ???0角速度 ???r?2gsin?. r将（4）与.(5)代入（3），再积分可得圆弧表面的对小球作用力 N=3mgsin?.
2-16 质量为m的物体以初速度?0沿水平方向抛出. 试求在任意时刻作用在物体上的切向力和法向力.
14
解：取物体为对象，设任意位置时的线速度为?，小球受重力和碗的支持力T，根据牛顿定律，小球的运动方程为
1r = ?0ti?gt2j,
2dr?＝＝?0i?gtj,
dt???02??gt?. a?d?＝?gj dt2g2td?at＝＝, (1)
222dt?0?gtan?a?a?＝
由牛顿第二定律：
F??ma?＝22(g2t)2g?. (2) 2(gt)2?v02mg1?(?0gt,
)2 Fn?man?mg. gt1?()2?02-17 一质量为10kg的质点在力F=120t+40（N）作用下沿x轴作直线运动.在t=0时，质点位于x0?5.0m, 初速度?0?6.0m/s. 求质点在任意时刻的速度和位置.
解：由 F＝m
d? （1） dt?vv0md???(120t+40)dt
0t得 ???0??60t2?40t??6t2?4t?6. （2） 又 ??
dx. （3） dtt0?xx0dx???dt??(6t2+4t +6)dt.
0t 得： x＝2t3?2t2?6t?5. （4）
2-18 如图所示，一斜面的底边长l?2.1m，倾角为?. 一个质量为m的物体从斜面顶端由静止开始下滑，摩擦系数为??0.14. 问：倾角?多大时物体从斜
15
面顶端滑到底端的时间最短，这个时间是多少？
解： 沿斜面方向有
d?mgsin?－? mgcos?＝m. （1）
dt积分, 得 ?＝（gsin?－? gcos?）t. m dx又 ??, （2）
dt1积分得 x??gsin???gcos??t2. （3） l
2x2?l2lcos?＝ ； sin?＝. （4） 题2-18图
xx将（4）代入（3），整理可得当?＝49o时，t取最小值t＝0.99s. 2-19一质量为m的物体，最初静止于x0处. 在力F??动，试证它在x处的速度为 ??k的作用下沿直线运x22k11(?). mxx0d?, dt证： 由于 F＝m
有 dt=
dxm, d???Fkdx即 ?d???. 2mxkdx积分,得 ??d????2.
mx0x0?x即 ??2k11(?). mxx02-20 初速度为?0、质量为m的物体在水平面内运动，所受阻力的大小正比于质点速率的平方根，求物体从开始运动到停止所需的时间.
解：阻力F＝－k?, 则有
－k?＝m即 dt＝?mk?d?, dtd?.
积分: ?tmv1d??dt. ??v00k? 16
可得 t＝2m?0. k2-21 作用在质量为m的物体上的合力是F?F0?kt ，其中F0和k都是恒量，t是时间，求物体的加速度，并用积分法求出速度和位置方程. 已知t0?0时，
?0?0，x0?0.
解：由 F = m 得
d?, dtd?F0k??t. dtmmF0k2t?t. m2m 积分得 ?(t)?t 对上式积分,得 x(t)???dt?0F02k3t?t. 2m6m2-22 质量m?45.0kg的物体以初速度?0=60.0m/s由地面竖直上抛 ，空气阻力F?k?,k?0.03N/?m/s?. 求物体上升的最大高度和所用的时间.
解：取向上为正方向,有
d???mg?k?, (1) dtd?k分离变量，得 ??dt, (2)
mgm??kmk?tmm积分,得 ??(?0?g)em?g. (3)
kk令??0，得上升到最大高度所用的时间: t?6.11s. 由(3)式可得最大高度
k?t?mm? H???dt???(?0?g)em?g?dt?183m.
kk?00?tt2-23 质量为m的物体以初速度?0由地面竖直上抛 ，空气阻力F?km?2,k是常数. 求：物体上升的最大高度和回到地面所用的时间.
解：（1）上升段：同上题，向上为正,有
d?－mg－km?2＝m, （1）
dt 17
得 dt??d? （2） 2g?k?令??0, 可得上升到最大高度所用的时间:
?d?1k?. t1????arctg??0?2??g?k?gkg?0??0dy, （3） dt将（2）代入上式积分, 得物体上升的最大高度
又 ?? H??H0g?k?021?d?ln. dy???dt????22kgg?k???0000（2）下降时有 mg?km?2?m即 dt???d?, dtd?. （5）
g?k?2kg?k??d?1积分, 得下降时间 t2??. （6） ?ln2g?k??2kgkg?k?0又??dy,由（5）得 dt????k?2?g0d???dy.
H0得落地时速度 ????01?k?g20 （7）
将（7）代入（6）可得下降时间:
2g?k?0?k?01t2?ln.
22kgg?k?0?k?0最后,得回到地面所用的时间
2??g?k?0?k?0?k?1?arctg??0?. ?ln???2g?2?g?k?0?k?0????2-24 一个半径为R的圆环固定在水平桌面上，一个物体紧贴着圆环内表面
1t?t1?t2?kg运动，滑动摩擦系数为?. 若物体初速率为?0，问：(1)t时刻物体速率是多少? (2) 什么时候物体速率等于
?0? 此时的路程是多少? 2解：(1)设物体质量为 m，取桌面为参考系，根据牛顿定律，有
d?切向： f??N?mat?m, （1）
dt18
法向： N?m?2R, （2）
d?????2R, dtd??即 2??dt.
?R由上两式得
?积分,得
???0d?2???tdt, ?R0即 ??R?0 （3）
R??0?tR（2）将???02代入（3），得 t＝
s??0t （4）
ds 又 ?? 所以 ?ds???dt.
dt00积分, 得路程 s?R?ln2 （5）
2-25 一个箱子静止在行驶的卡车上，箱子到前面挡板的距离为l?2m，与车之间的摩擦系数为??0.5. 若刹车时车的加速度为a?7.0m/s2, 箱子碰到挡板时相对车的速度是多少?
解： 刹车时箱子受到的摩擦力的大小为
f??mg,
因此, 刹车时箱子相对于车的加速度为
fa??a??a??g?2.1m/s2.
m注意到箱子相对于车的初速度为零, 则箱子相对于车的的位移
121?2 l?a?t?,
?22a所以, 箱子碰到挡板时相对车的速度为 ??2a?l?2.9m/s.
2-26 一个电梯以加速度a由地面开始上升，两个质量为m1和m2的物体用一根细绳连着跨过固定在电梯天花板上的一个定滑轮，m1>m2. 忽略滑轮质量及其与细绳之间的摩擦，求两个物体相对于地的加速度和绳子的张力.
解：设绳子的张力为T，两个物体相对于地的加速度大小为a1和a2,则有
19
m1g?m1a?T?m1a?,
T?m2g?m2a?m2a?.(1)(2)
其中的m1a和m2a分别是两个物体所受惯性力的大小, a?是物体相对于电梯的加速度的大小. (1)?(2),得 a??(m1?m2)(a?g).
m1?m2注意到对于m1, a??a1?(?a)?a1?a; 对于m2, ?a??a2?a, 于是, 两个物体相对于地的加速度为
a1?a??a?(m1?m2)g?2m2a,
m1?m2a2??(a??a)??(m1?m2)g?2m1a.
m1?m2(1)?(2)得绳子的张力 T?
2m1m2(a?g).
m1?m2习 题 3
3-1 已知地面上的石块质量为20kg，用力推石块，力的方向平行于地面. 当石块运动时，推力随位移的增加而线性增加，即F?6x（SI）. 试求石块由x1?16m移动到x2?20m的过程中推力所作的功.
解：AF??baF?ds??20166x?dx=3(202?162)?432(J).
3-2如图所示，一细绳跨过无摩擦
的定滑轮，系在质量为1.0kg的物体上， 起初物体静止在无磨擦的水平面上. 若
用5.0N的恒力拉绳索的另一端，使物 5N 1m 体向右作加速运动,当系在物体上的绳 30o 37? 索从与水平面成30o角变为37o角时，力 题3-2图 对物体作多少功？已知滑轮与水平面的距离为1m.
解：x?Hctg?, 有dx??Hcsc2?d?, AF??baF?ds???2?1fcos?(Hcsc?)d?=Hf?237o302csc?dsin??1.69(J). o3-3一物体按规律x?ct3作直线运动. 设媒质对物体的阻力正比于速度的
20
平方,试求物体由x0?0运动到x?l时阻力所作的功, 已知阻力系数为K.
解：由题意， ??dx?3ct2， （1） dt22343阻力 f??K???9Kcx （2）
阻力作功 Af??xx02727f?dx??K??dx=?KC3l3.
07l23-4一根质量为m、长为l的柔软链条，4/5长度在光滑桌面上，其余1/5自由悬挂在桌子边缘. 试证将此链条悬挂部分拉回桌面至少需要作功mgl/50.
解：将此链条悬挂部分拉回桌面至少要作的功为
l/5A??0mg1xdx?mgl. l503-5电子质量为9.1?10?28g,速率为3?107m?s-1. 问：电子的动能是多少？电子从静止到获得这样大的动能需要对它作多少功？ 1解：电子的动能 m?2?4.10?10?16J,
2电子从静止到获得这样大的动能需要对它作的功等于电子动能的增量
A??Ek?4.10?10?16J.
3-6 一质量为0.20kg的球，系在长为2m的绳索上，绳索的另一端系在天花板上. 把小球移开，使绳索与铅直方向成30o角，然后从静止放开. 求: (1) 在绳索从30o角到0o角的过程中，重力和张力所作的功. (2) 物体在最低位置时的动能和速率. (3) 在最低位置时绳子上的拉力.
解：(1) 张力始终与运动方向垂直, 不作功. 重力作功为
A?mgR?1?cos30o?＝0.525J.
(2) 以最低处为势能零点，在整个过程中只有重力作功，机械能守恒，
1最低位置时的动能 Ek?m?2?0.525J,
2因此, 速率 ??2Ek=2.29（m/s）. m(3) 设在最低位置时绳子上的拉力为T, 则有 T?mg?m?2R,
21
于是得 T?mg?m?2R=5.42 N.
3-7 一乒乓球自高于桌面70cm处自由下落，落至桌面后又跳起50cm高，如果球的质量为2.5g，试计算在此过程中它损失的机械能.
解：在此过程中它损失的机械能即为重力势能的增量:
?E?mg(h2?h1)??4.90?10?3J.
3-8 弹性系数为100N?m?1 的弹簧垂直地放在地板上，一个25g的物体放在弹簧的顶端，但没有系在弹簧上. 若把弹簧压缩5.0cm然后物体从静止被释放出来, 问此物体抛出的高度比原弹簧高多少？
解：设物体放在弹簧顶端时弹簧被向下压缩了y0且静止, 则有 ky0?mg,
mg?2.45?10?3m. k取物体从静止被释放时的位置为重力势能的零点. 物体弹起的过程中只有保守力作功，机械能守恒. 设物体抛出的高度比原弹簧高h, 则有
12 mg?h?y0?y??k?y0?y?,
2即 y0??1k?1?ky?即 h??y?y?1y?y??0???0???1??y0?y??0.51m.
2?mg??2mg?3-9 设两个粒子之间的相互作用力是排斥力, 大小是F?k/r2,k为常数. 设力为零的地方，势能为零，试求两粒子相互作用的势能函数.
解法1: 设两粒子相互作用的势能函数为V(r). 显而易见, 在r??处力为零,故令V(?)?0.根据教材第40页的公式(3-3-8)式, 取参考点势能V(?)?0, 则
V(r)＝?F?dr??r??rkk. dr?r2r解法2：由于 F??dV, dr??r得 V(?)?V(r)??dV???F?dr.
r由于V(?)?0, 得 V(r)＝?F?dr??r??rkkdr?. r2r注意下面的写法是错误的:
V(r)＝?F?dr??0rr0kk. dr?2rr 22
3-10如果一物体从高为h处静止下落. 试以(1)时间为自变量，(2)高度为自变量，画出它的动能和势能图线. 并证明两曲线中动能和势能之和相等.
1解：(1)以时间为自变量. 物体下落过程中速率为??gt, 高度为y?h?gt2,
211故动能 Ek(t)?m?2＝mg2t2,
221势能 Ep(t)?mgy＝mgh－mg2t2,
2动能和势能之和为 Ek(t)?Ep(t)?mgh.
1(2) 以高度为自变量. 由y?h?gt2得?2?2g(h?y), 则动能
21 Ek(t)?m?2?mg(h?y),
2势能 Ep(t)?mgy, 动能和势能之和为 Ek(t)?Ep(t)?mgh. 显然两曲线中动能和势能之和均为mgh.
3-11设质点在力F?4i?3j（N）的作用下，由原点运动到x=8m、y=6m处. (1) 如果质点是沿直线从原点运动到终了位置，问力作多少功？(2) 如果质点先沿x轴从原点运动到x=8m、y=0处，然后再沿平行于y轴的路径运动到终了位置，问力在每段路程上所作的功以及总功为多少？(3) 如果质点先沿y轴运动到x=0、y=6m处，然后再沿平行于x轴的路径运动到终了位置，问力在每段路程上所作的功以及总功为多少？比较上述结果，说明这个力是保守力还是非保守力？
3解：(1) r＝xi＋yj＝xi＋x j,
4A?
?r2r1F?dr＝50J.
x2y2x1y1 (2) A＝A1+A2＝?F?dr+?F?dr
＝?(4i?3j)?idx＋?(4i?3j)?jdy
0086＝?4dx＋?3dy
0086＝32J＋18J＝50J.
(3) A＝A1+A2＝?F?dr＋?F?dr
y1x1y2x2＝?(4i?3j)?jdy＋?(4i?3j)?idx
0068＝?3dy＋?4dx
0068＝18J＋32J＝50J.
23
可见,该力作功与路径无关，是保守力.
3-12一斜面高1.0m长为2.0m. 把一质量为10kg的物体放在斜面上，物体与斜面间的摩擦系数为0.1. 若物体在斜面最低点时的速率为零，在最高点时的速率为0.2m?s-1, 问沿斜面需用多大的力推物体才行？
解：由题可知斜面倾角??30o，令斜面高h=1.0m, 长度l=2.0m, 物体末速率为??0.2m?s-1.根据动能定理,有
Fl?mgh??mgcos?l?12m?, 2m?2/2?mgh??mgcos?l于是得 F?=57.6N.
l F k m 1 m x m
题3-12图 题3-13图 3-13如图3-13所示，一质量为m的物体，在与水平面成?角的光滑斜面上系于弹性系数为k的弹簧一端，弹簧另一端固定. 设物体在弹簧未伸长时的动能为Ek1，弹簧的质量可以忽略不计，试证物体在弹簧伸长为x时的速度可由下式得到:
11m?2?Ek1?mgxsin??kx2. 22证明：取物体与弹簧为系统，光滑斜面，只有重力和弹力作功，机械能守
恒. 以弹簧未伸长处为势能零点，则该处机械能为Ek1,则有
112m??mgxsin??kx2＝Ek1
2211 故 m?2?Ek1?mgxsin??kx2
223-14 如图3-14所示，质量为0.1kg的木块， ? k
在一个水平面上和一个倔强系数为20.0N?m?1
m 的轻弹簧碰撞，木块将弹簧由静止位置压缩0.4m. 题3-14图
假设木块与水平面间的摩擦系数为0.25. 问在开始碰撞时木块的速率为多少？
解：设开始碰撞时木块的速率为?，碰撞后非保守力只有摩擦力f＝?mg作
11功,则有 fx ＝m?2－kx2.
22可解得：?＝5.83（m?s-1）
24
3-15有一物体与斜面之间的摩擦系数为0.2，斜面的倾角为45o. 设物体以求物体能达到的高度. 当该物体返回最低点时，其速10m?s-1的速率沿斜面上滑，率又为多少？
解：非保守力只有摩擦力f＝?mgcos?作功，设物体达到的高度h，以斜面最低点为重力势能零点，根据机械能定理,有
12 ?mgcos??hcsc??m?0?mgh.
2解得：h=4.25m. 同理, 物体返回最低点时,有
1 ?mgcos??hcsc??mgh?m?2.
2可得 ??8.16m?s-1 .
3-16 如图3-16所示，自动卸货矿车满
载时的质量为m?，斜面倾角为??30o，斜 A 面对车的阻力为车重的1/4. 当车下滑距离 l 为l时，车压弹簧一起向下运动，到达最大 ? 压缩量时自动卸货，然后借助弹簧作用回
到初位置重新装货. 问：要完成这个过程, 题3-16图 空载时车的质量为多大？
解：设空载时车的质量为m，弹簧最大压缩量l0, 非保守力只有斜面对车的阻力f＝mg/4作功. 以弹簧最大压缩量处为势能零点，根据机械能定理,有
11mg(l?l0)?mg(l?l0)sin??kl02, (1) 42m?g?kl0. (2)
1 得 m＝m?.
3
习 题 4
4-1一质量为m，速率为?的球与一平面垂直碰撞，碰撞后小球以原先的速率沿反方向运动. 设球与平面碰撞时间为t, 问球与平面碰撞时，球对平面作用的平均冲力为多少？
解：设平均冲力为F，由质点动量定理
I ＝F?t =?P
? F=?P/?t =2m?/t.
25
4-2 质量为5.6g的子弹水平射入一静止在水平面上, 质量为2kg的木块内，木块和平面间的摩擦系数为0.2. 子弹射入木块后，木块向前移动了50cm，求子弹的初速.
解：设子弹的初速度为?0，射入后子弹与木块一起以初速度?1运动。取木块和子弹为系统，射入过程在水平方向动量守恒:
m?0?(M?m)?1. (1) 子弹射入木块后与木块一起作末速度为零的匀减速运动,阻力为
?(M?m)g?(M?m)a, (2)
2 ?2??12?2a?S?0. (3)
由以上三式可解得：?0＝501m?s?1.
4-3 在冲击摆实验中，质量为9.6g的子弹射入质量为5kg的砂箱，砂箱摆高10cm，求子弹的初速.
解：解：子弹进入沙箱和沙箱上摆是同时进行的，但为了便于分析，可把这个实际过程看作两个先后进行的过程：先是子弹进入沙箱，沙箱保持静止, 然后沙箱带着子弹以某个共同初速度开始上摆.
第一个过程是子弹与沙箱发生完全非弹性碰撞，系统动量守恒. 设子弹进入沙箱的初速率为?0，沙箱上摆的初速率为?，有
(m?m?)??m??0. 在第二个过程中，只有重力做功，系统机械能守恒. 取沙箱初位置为重力势能零
1点，有 (m?m?)gh?(m?m?)?2. .
2m?m?联立以上两式，得 ?0?2gh＝730.6m?s?1.
m?4-4质量为m的物体，以速率?0沿x轴正向运动，运动中突然射出一块物体，
1其质量为m,并以速率2?0沿y轴正向运动，求余下部分的速度.
3解：设余下部分的速度为?=?xi＋?yj , 射出物体过程在x和y轴方向动量
2m?x, 322 0?m?0?m?y.
333可得： ?x＝?0, ?y＝－?0.
2均守恒: m?0?故余下部分的速度为 ?=1.5?0i??0j.
26
4-5质量为2.0kg的木块系在一弹簧的末端，静止在光滑的平面上，弹簧的弹性系数为200N?m?1，如图所示. 一质量为10g的子弹射进木块后，木块把弹簧压缩了5cm，求子弹的速率. ?
题4-6图
m o M 题4-7图
解：设子弹的速率?0，由题意m＝10g＝0.01 kg, M=2kg，k＝200N?m?1. 射入过程在水平方向动量守恒:
m?0?(M?m)?1. (1)
射入后子弹与木块一起以初速度?1运动，机械能守恒:
11(M?m)?12?kx2, (2) 22其中，x＝5cm＝0.05m. 由以上两式可得：
?0＝100.2m?s?1.
4-6如图所示，质量为1.0kg的钢球系在长为0.80m的绳子一端，另一端固定. 把绳拉到水平位置后，再把球由静止释放，球在最低点与质量为5.0kg的钢块作完全弹性碰撞，问碰撞后钢球能达到多高？
解：由题意m＝1 kg, M=5kg，R＝0.8m. 以碰撞处为势能零点，下落过程机
1械能守恒 mgR＝m?12. (1)
2完全弹性碰撞过程中动量和动能都守恒:
m?1?m?2?M?3, (2)
12121m?1?m?2?M?32. (3) 222碰撞后小球上升过程中机械能守恒:
12 m?2?mgh. (4)
2由以上4式可得钢球上升高度 h=0.356m.
4-7 两个质量不同的球A与B相互碰撞, A球原来静止，B球速率为?. 碰撞后，B球速率为?/2, 方向与原来路线垂直，求碰撞后A球的运动方向.
解：设A球原来位置为原点；B球速率?方向为x轴正向，碰撞后B球速率
为?/2，方向为y轴方向. 设碰撞后A球速度?=?xi＋?yj, 碰撞过程在x和y轴方向动量均守恒: m1??m2?x,
0??m1?/2??m2?y.
27
可得： ?x?mm1?, ?y??1?,
2m2m2m1m?i?1?j. m22m2即 ?=
?1?速度与x轴夹角为 ??tg?1????26o34?.
?2?4-8 地球的质量约为6.0?1024kg，近似地绕太阳作匀速圆周运动，周期（即一年）约为3.18?107s. 求1/2年里太阳引力对地球所作的功和地球所受的冲量. 地球与太阳之间的距离为1.5?1011m.
解：由题意T=3.18?107s，M=6.0?1024kg。1/2年里，太阳引力与运动方向始终垂直，故太阳引力对地球所作的功为零,而冲量
2?I＝?P＝M?V＝2MV＝2MR?＝2MR＝3.56?1029N?s
T4-9 在一质量为m1的气球上连接一绳梯，在绳梯的中间站着一个质量为m2的人. 开始时，气球与人均相对地球静止不动. 如果人以速率?相对绳梯往上爬，气球将向哪个方向运动，其速率多大？
解：以向上为正向，取人与气球及绳梯为系统，动量守恒：
m1?1?m2?2?0. (1) 相对运动，相对速度为?，则
?2??1??. (2)
由以上两式可得气球速度： ?1??m1?.
m1?m24-10 质量为m1的人手里拿着一个质量为m2的物体. 此人以与水平面成?角的速率?0向前跳去. 当它达到最高点时，他将物体以相对人为u的水平速率向后抛出. 问: 由于人抛出物体，他跳的距离增加了多少？假设人可视为质点.
解：设出发点为原点，水平前进方向为x轴正向，向上为y轴正向. 设从出发点到最高点时间为t1,则
t1??0sin?g, (1)
28
到最高点时人与物体的共同速度为?0cos?，物体抛出前后水平方向动量守恒:
(m1?m2)?0cos??m1?1?m2?2 (2) 题给相对速度为-u,即 ?2??1??u. (3) 将(3)代入(2,得) ?1??0cos??m2u.
m1?m2由于在垂直方向上速度不变，人下落时间不变, 仍为t1，他跳的距离增加了
?x???1??0cos??t1?m2?0usin?.
(m1?m2)g4-11一作斜抛运动的物体在最高点炸裂为质量相等的两块, 最高点距离地面为19.6m. 爆炸后1秒钟，第一块落到爆炸点正下方的地面上，此处距抛出点距离为100m. 第二块落在距抛出点多远的地面上? 不计空气阻力.
解：取抛出点为坐标原点，水平前进方向为x正向，向上为y轴正向.由题意H=19.6m. 设从抛出到最高点的飞行时间为t1，则有
1 H?gt12,
2即t1?2H物体分为两块, m1?m2?m/2. 第一块m1落到爆炸点?2s. 爆炸时，
g1正下方的地面上，故 ?H??1yt1??gt1?2,
21其中t1??1s, 因此, ?1y?g?H??14.7m/s.
2爆炸前后动量守恒, 且爆炸后m1的?1x?0,故有
m?x?m2?2x,
0?m1?1y?m2?2y.
即 ?2x?2?x?2100?100m/s, t1?2y???1y?14.7m/s.
/设第二块爆炸后飞行时间为t2,则有
12??gt2?, ?H??2yt22??4s.而第二块落在地面上的位置距抛出点的距离为 所以t2 29
??500m. x?100??2xt24-12 上题中，若爆炸后第一块沿原来的轨道返回出发点, 问：（1）第二块将
沿怎样的方向飞行？（2）到达地面时的速率是多少？（3）第一和第二两块能否同时到达地面？
解：与上题相同,从抛出点到最高点的飞行时间仍为t1?2H?2s,且gm1?m2?m/2. 爆炸后, 因第一块m1沿原来的轨道返回出发点，故爆炸后m1的
?1x???x,?1y?0. 又因爆炸前后动量守恒，故有
m?x??m1?x?m2?2x,
0?m2?2y.
即?2x?3?x?150m/s, ?2y?0, 故爆炸后两块都作平抛运动, 并同时到达地面.
?y, 其中?2?y可由?x和?2?x??2x?150m/s,而?2设第二块落地时的速度分量为?2关系式H??2?2y2g求出. 所以,第二块到达地面的速率为
22?1???2?2??2?????2gH151.3m?s＝. x2y2x4-13如图所示，m1和m2用质量可略去不计的刚性细杆相连接, m1和m2分别为10kg 和6kg. 开始时它们静止在xy平面上. 它们受到如图所示的外力作用，
F1?8iN, F2?6jN. 试求（1）它们质心的坐标与时间的函数：（2）系统总动量
与时间的函数.
y
F1 m1 ? 3m F2 m2 x
o F 4m 题4-13图 题4-14图
解：(1)设初始时刻的质心位置为?x0,y0?,则有(根据教材62页(5-3-3)式) x0?
4m23m1315?, y0??.
m1?m22m1?m2830
对式子 m?C＝?mi?i
i(即教材62页(5-3-6)式)两边求时间的一阶导数,得
md?id?C＝?mi,
dtdtii即 FC??Fi. 这表明刚体质心所受合力等于刚体中各质点所受合力的矢量和,或者说, 刚体中
各质点所受合力的矢量和就是刚体质心所受合力. 所以，由题给条件可知，质心加速度的两个分量是
d2xCF1 ??0.5m/s2， 2dtm1?m2d2yCF22 。 ??0.375m/s2dtm1?m2对以上两式积分,得质心速度的两个分量: ?Cx?0.5t, ?Cy?0.375t. 再积分一次, 得质心坐标的两个分量:
xC?(1.5?0.25t2)m ;
yC?(1.875?0.1875t2)m;
(2) 质心动量P??m1?m2? (?Cxi+ ?Cyj )=?8i?6j)t(N?s).
4-14 如图所示，一质量为m1的平板车从传输砂子的漏斗下面经过，单位时
dm的砂落在平板车上. 若使平板车维持恒定的速率?，应给平板车多大dt的拉力？设平板车与铁轨间的摩擦略去不计. 间内有
解：由于?p??dmdm?t?F?t, 得 F??. dtdt4-15一质量均匀的柔软细绳竖直悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上. 如
果把绳的上端放开, 试证明，在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面上的压力等于已落到桌面上绳重量的三倍.
证：把链条看成无穷多个小段，链条下落时，这些小段连续撞击地面. 由于链条均匀，长度为dh的小段的质量为dm?mdh/L。当链条上端下落高度为h时，撞击地面的是原来距地面高h的那个小段. 此小段即将撞击地面前的下落速率为
??2gh，撞击地面后静止，动量的增量为?dm. 设地面对小段的冲力为F，则
31
有 ?F?gdm?dt??dm,
忽略上式左边的二阶小量，得 Fdt??dm. 所以，小段对地面的冲力为
dm?22mghmdh＝m＝. F??F??dt＝?LLdtL又因为上端下落h时，长度为h的一段链条已在地面上，它对地面的压力是故链条对地面的作用力为
3mgh. Lmgh，L4-16一火箭竖直向上发射, 每秒钟排出的气体质量恒为5?10?2m0kg, 其中
m0是火箭最初的质量. 火箭排出的气体相对于火箭的速率为5?103m?s-1, 求发
射10s后火箭的速度和高度.
解：(1) 利用书上的公式(4-3-3)得
??uln2?3.47?103m/s
??m?m0m0??mt (2) ??uln??uln??uln?1?t?,
m0??mtm0m0??所以,上升高度为
10??m??m100?m4h???dt??u?ln?1?t?dt?utdt?u?1.25?10m ?mm2m0?000?0010104-17一初质量为500?103kg的火箭喷出气体的速度为2.0?103m?s-1. （1）每秒喷出多少气体，才能使火箭最初的向上加速度为4.9m?s?2? （2）若火箭的质量比为6，求火箭的最后速率.
d?dm解：(1) 因为 m0a?m0, 得 ??F?udtdtdma?g ?m0?3.68?103kg/s
dtu(2) ??uln6?3.58?103m/s
4-18如图所示，一个带孔的木块静止于无摩擦
的水平面上，孔里是一个弹性系数为k的轻弹簧.一 ? 质量为m的钢球以水平速度?射入小孔中，求弹簧 的最大压缩量. 木块质量为M. 题4-18图
解：设弹簧的最大压缩量x，到达最大压缩量时小球和木块速度同为?1，根据动量守恒守恒和机械能守恒定律,有
32
(M?m)?1?m?.
由以上两式得
1211kx?(M?m)?12?m?2. 222x?Mm?k(M?m).
4-19 如图所示，在无摩擦的水平面上 O A 有一个质量为m?的容器，其内壁为半径为
R的光滑半球面，一质量为m的小球从内 B 壁边缘A点处滑下. 开始时容器与小球都
静止，当小球滑过容器内最低点B时所受 题4-19图 支持力多大？
解：设当小球滑过容器内最低点B时，小球速度为?1，容器速度为?2，小球与容器系统在水平方向动量守恒:
m?1?m??2?0. (1) 小球下落，系统机械能守恒:
1212. (2) m?1?m??222小球相对与容器作圆周运动，设小球滑过容器内最低点B时二者相对运动速度 mgR?为u,则有 ?1??2?u. (3) 小球滑过容器内最低点B时所受支持力为
u2 F?mg?m. (4)
R2m??右以上4式可解得样 F?mg?3??
?m??
习 题5
5-1一汽车发动机曲轴的转速在12s内由每分钟1200转均匀地增加到每分钟
7200转，求（1）角加速度；（2）在此时间内曲轴转了多少转？ 解：由题意可知
d????（1）角加速度 ??=52.3(rad/s2)= 8.3rev?s?2 dt?t(2) 在此时间内曲轴转过的圈数是N?12?12???t??t?=837.6rev. ?02??5-2一辆汽车以16.67m?s-1的速度行驶，其车轮直径为0.76m.（1）求车轮绕
33
轴转动的角速度；（2）如果使车轮在30转内匀减速地停止下来, 角加速度多大？（3）在刹车期间，汽车前进了多远？
解：（1）车轴速度?0?16.67m?s-1，车轮绕轴转动的角速度 ?0??0r?43.9rad?s-1
(2) 由???0??t 可得角加速度?＝?5.11rad?s?2.
1 （3）由???0??0t??t2可得在刹车期间，汽车前进了?s?r??＝71.6m
25-3一质点在半径为r的圆周上运动，在某一时刻其角加速度为?，角速度为?. 试证明该时刻的线加速度为a?r(???).
证：切向加速度at?r?，法向加速度an?r?2
线加速度为 a?r(???).
5-4一刚体由静止开始，绕一固定轴作匀角加速转动. 由实验可测得刚体上某点的切向加速度为at，法向加速度为an，试证明an/at?2?，?为任意时间内转过的角度.
解：，切向加速度 at?r?，
法向加速度 an?r?2，
42124212?2??02?2??
故 an/at??2/??2?.
5-5设某机器上的飞轮的转动惯量为63.6kg?m2，角速度为31.4s?1，在制动力矩的作用下，飞轮经过 20s匀速停止转动，求角加速度和制动力矩.
d?解：角加速度 ??＝31.4/20=?1.57s?2.
dt由角动量原理
?Mdt?J??J?0t0
得制动力矩 M=?99.9N?m.
5-6一飞轮由一直径为30cm、厚度为2.0cm的圆盘和两个直径为10cm、 长为8.0cm的圆柱体组成，设飞轮的密度为7.8?103kg?m?3，求飞轮对转轴的转动惯量.
解：设密度?＝7.8?103kg?m?3，圆盘半径为R，厚度为d,圆柱体半径为r，
34
长度为l,则飞轮转动惯量
111J?MR2?2?mr2??R2?dR2??r2?lr2＝0.136kg?m2.
2225-7如图所示，圆盘的质量为m, 半径为R. 轴O?O? 过盘的边缘并平行于过盘心的转轴OO.求圆盘对O?O?轴的转动惯量.
解：圆盘、圆柱（通过中心轴）的转动惯量
1Jc?mR2.
2由平行轴定理, 求圆盘对O?O?轴的转动惯量.
3Jo＝Jc＋mR2=MR2.
225-8试证明质量为m、半径为R的均匀球体对直径的转动惯量为mR2. 如
5果以和球体相切的直线为轴,其转动惯量又为多少？
m证：均匀球体的体密度为 ??，则半径为 r 厚度为 dr 的薄球壳质43?R3量dm?4?r2?dr,于是均匀球体对直径的转动惯量为
2Jc??rdm=?r24?r2?dr==mR2.
05由平行轴定理, 以和球体相切的直线为轴,其转动惯量为
7Jo＝Jc＋mR2=MR2.
55-9均匀矩形板的质量密度为?，试证矩形板相对于垂直过板面几何中心的
?ab2转轴的转动惯量为(a?b2), 其中a为矩形板的长，b为它的宽.
12 证明：取方块面元dxdy，则dm＝?dxdy，相对于垂直过板面几何中心的转轴的转动惯量为
b/2a/2?ab2 Jc??r2dm＝??r2?dxdy＝?dy?(x2?y2)?dx＝(a?b2).
?b/2?a/2122R5-10一长为l的细杆两端附着质量分别为m1和m2两个小球，m1?m2. 此杆可绕其中点在竖直平面内转动. 先把杆放置在水平位置，然后由静止释放，求（1）
开始运动时杆的角加速度，（2）杆经过竖直位置时的角速度. 不计细杆质量.
解：对过中点与转动面垂直的转轴的转动惯量
1 J＝?miri2＝l2(m1?m2).
4i对过中点与转动面垂直的转轴的力矩为 1rrM＝?r?F＝lg(m1?m2)
2由转动定律 M外?J?
35
可得角加速度: ?＝
2g(m1?m2).
l(m1?m1)2?2?? 再由 ?2??0杆经过竖直位置时???2, 取?0?0, 得杆经过竖直位置时的角速度
?=2
g(m1?m2).
l(m1?m2)R r m2 m2 m2 m1m1题5-11图 题5-12图 题5-13图 5-11如图所示，质量m1=16kg的实心圆柱体，半径r=15cm，可绕其固定水平轴转动，阻力忽略不计. 一条柔绳绕在圆柱体上，其另一端系一质量m2=8.0kg的物体. 求（1）由静开始过1.0s后，物体m2下降的距离；（2）绳的张力.
解：设绳的张力为T，圆柱体转动惯量：
1J?m1R2, (1)
2 对于m2, m2g?T?m2a. (2) 对于圆柱体, TR?1m1R2?. (3) 2 又有 a?R?. (4) 经过t＝1s后，物体m2下降的距离为
12at. (5) 2由以上可得 x?2.45m, T?39.2N.
5-12如图所示为阿脱伍德 (Atwood) 机. 一细绳跨过一定滑轮，绳的两端分 x?别悬有质量为m1和m2的物体, m1?m2. 设定滑轮是一质量为m?、半径为r的圆盘，绳与滑轮无相对滑动. 试求物体的加速度和绳的张力. 如果略去滑轮的运动，
36
将会得到什么结果？
解：（1）设物体加速度为a，绳的张力T1，T2
对m1, 对m2,
m1g?T1?m1a. (1)
T2?m2g?m2a (2)
1对圆柱体, (T1?T2)R?m'R2?. (3)
2 又有： a?R?. (4) 联合解得：
a＝
m1?m2g, 1m1?m2?m21??2m?m'2??2T1?m1g?,
1??m1?m2?m'??2?1??2m?m'1??2T2?m2g?.
1??m1?m2?m'??2?(2) 如果略去滑轮的运动,则m?=0
?2m2m1? T1?T2?g??
m?m?12?5-13质量为m1和m2的两物体分别悬挂在如图所示的组合轮两端. 两轮的半径分别为R和r，转动惯量分别为J1与J2，轮与轴承间，细绳与轮间的摩擦均略去不计, 试求两物体的加速度和绳的张力.
解：设m1的加速度为a1, 张力为T1；m2的加速度为a2, 张力为T2; 对m1: m1g?T1?m1a1, (1)
对m2:
T2?m2g?m2a2, (2)
对组合轮： T1R?T2r??J1?J2??, (3) 又有： a1?R?, (4) a2?r?. (5)
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联合解得： a1?Rg(m1R?m2r);
J1?J2?m1R2?m2r2rg(m1R?m2r);
J1?J2?m1R2?m2r2a2=
J1?J2?m2r2?m2RrT1?m1g;J1?J2?m1R2?m2r2 J1?J2?m1R2?m1RrT2?m2gJ1?J2?m1R2?m2r2
5-14质量为0.50kg、长为0.40m的均匀细棒可绕过棒的一端的水平轴在竖直面内转动. 如将此棒放在水平位置，然后任其落下，求：（1）开始转动时的角加速度；（2）下落到竖直位置时的动能；（3）下落到竖直位置时的角速度.
解：(1) 均匀细棒可绕过棒的一端的转动惯量
l1l1J＝Jc?m()2?ml2?m()2?ml2.
212231 开始转动时 lmg?J?,
2开始转动时的角加速度 ?＝36.8s?2. (2)下落到竖直位置过程中重力的功 A=mgh＝Ek 下落到竖直位置时的动能Ek＝0.98 J. (3)设下落到竖直位置时的角速度为?, 则
1Ek?J?2
2可得 ?＝8.57s?1.
5-15一质量为1.12kg 、长1.0m的均匀细棒，支点在棒的上端点. 开始时棒静止于竖直位置. 若以100N的力击其下端点、打击时间为1/50 s, 求击打前后其角动量的变化和棒的最大偏转角.
解：设打击结束细棒角动量?，最后棒的最大偏转角?。均匀细棒可绕过棒
1的一端的转动惯量J＝ml2，打击力F＝100N. 由刚体角动量原理有
3?Mdt?J??J?0t0,
即 Flt＝J?. (1) 细棒摆动过程中机械能守恒:
1lJ?2?mg(1?cos?). (2) 22可得 ?＝2.0N?m?s,
?＝88.64o.
38
5-16 在光滑的水平面上有一木杆，其质量为m1=1.0kg、长l?40cm，可绕过其中点并与之垂直的轴转动. 一质量为m2=10g的子弹以v?200m?s-1的速度射入杆端，其方向与杆及轴正交. 若子弹陷入杆中，试求所得到的角速度.
解：设所得到的角速度?，子弹与杆碰撞，角动量守恒:
l?1L2?2m2???m1l?m2??,
2?124?可得 ?＝29.1s?1.
5-17一水平圆盘绕竖直轴旋转，角速度为?1，转动惯量为J1. 现在其上有一转动方向相同，并以角速度?2转动的平行圆盘，这圆盘对同一转轴的转动惯量为J2. 现使上盘落下，两盘合成一体.(1)求两盘合成一体后的角速度?；(2)第二盘落下后，两盘的总动能改变了多少？(3)两圆盘总动能的改变怎样解释？
解：(1)设两盘合成一体后的角速度为?. 由角动量守恒
J1?1＋J2?2＝(J1?J2)? 得 ?＝ (2) 动能增量
J1?1?J2?2.
J1?J21111 ?Ek转??(J?2)＝(J1?J2)?2?(J1?12?J2?22)
2222J1J2(?1??2)2＝?.
2(J1?J2) (3) 两圆盘总动能减少是因为两圆盘之间摩擦力(矩)作功.
5-18 光滑水平面上一个质量为m，长度为L的均匀细杆以角速度?绕其中点 自由转动. 如果细杆的转轴突然平行地从过中点变为过一个端点，求新角速度和转动能的变化量.
1解：均匀细杆以角速度?绕其中点自由转动，转动惯量J1?ml2.
121 转轴突然平行地从过中点变为过一个端点，转动惯量J2=J2?ml2.
3 角动量守恒： J1??J2?2, 于是得新角速度 ?2? 转动能的增量 ?Ek转. 4111??(J?2)＝J2?22?J1?2＝?ml2?2/32.
22239
?
5-19 如图5-19所示, 一个质量为m， 连着细绳的小球在光滑水平面上以角速度 ?0做半径为r0的匀速圆运动. .向下拉细绳
直到小球的运动半径变为r0/2，求新的角 F 速度和拉力的功. 题5-19图
解：以过圆心垂直方向为轴，小球所受外力矩为零，角动量守恒:
故新的角速度 拉力的功
2 mr2?r?0?0?m?0?2???,
?= 4?0, A＝Ek2?Ek1?1132J?2?22J0?0＝2mr2?200. 40