2018
年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全
（09解三角形）
一、选择题
1．（2018全国新课标Ⅰ理）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆
构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（ ）
A．p1=p2 B．p1=p3 C．p2=p3
D．p1=p2+p3
1. 答案：A
解答：取AB?AC?2,则BC?22，
112∴区域Ⅰ的面积为S1??2?2?2，区域Ⅲ的面积为S3???(2)?2???2，
222区域Ⅱ的面积为S2???1?S3?2，故p1?p2.
C5，BC?1，AC?5，则AB?（ ） ?25A．42 B．30 C．29 D．25 2．【答案】A
2．（2018全国新课标Ⅱ文、理）在△ABC中，cos?5?C3?1??【解析】因为cosC?2cos2?1?2??， ??5?25???3?所以c2?a2?b2?2abcosC?1?25?2?1?5?????32，?c?42，选A．
?5?
3．（2018全国新课标Ⅲ文、理）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的
2a2?b2?c2面积为，则C?（ ）
4π 23．答案：C
A．B．
π 3 C．
π 4 D．
π 6解答：S?ABC∴C?
1a2?b2?c22abcosC1???abcosC，又S?ABC?absinC，故tanC?1，
4422?4.故选C.
二、填空
1．（2018北京文）若△ABC的面积为取值范围是_________．
精选
32ca?c2?b2?，且?C为钝角，则?B?_________；的?4a1．【答案】60o；?2,???．
321a2?c2?b2sinB22【解析】QSVABC?， ?a?c?b??acsinB，??2ac423sinBsinB?即cosB?，??3，?B?，
cosB333?2???1?sin??A??cosA?????sinAcsinC311?3??2?2?则?????， asinAsinAsinA2tanA2?3?1??0,?3,??， ??C为钝角，?B?，?0??A?，?tanA???3??，tanA36??c故??2,???． a
2．（2018江苏）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，?ABC?120?，?ABC的平分线交
AC于点D，且BD?1，则4a?c的最小值为 ▲ ．
?? 2．【答案】9
【解析】由题意可知，S△ABC?S△ABD?S△BCD，由角平分线性质和三角形面积公式得11111acsin120??a?1?sin60??c?1?sin60?，化简得ac?a?c，??1，因此222acc4ac4a?11?4a?c??4a?c?????5???5?2??9，
acac?ac?当且仅当c?2a?3时取等号，则4a?c的最小值为9．
3．（2018浙江）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=7，b=2，A=60°，则
sin B=___________，c=___________．
3．.答案：
21 3 72172ab，得，所以sinB=. ==7sinAsinBsinB32b2+c2-a214+c2-7由余弦定理，cosA=，得=，所以c=3.
2bc24c解答：由正弦定理
C的对边分别为a，b，c，已知4．（2018全国新课标Ⅰ文）△ABC的内角A，B，bsinC?csinB?4asinBsinC，b2?c2?a2?8，则△ABC的面积为________．
23 3解答：根据正弦定理有：sinBsinC?sinCsinB?4sinAsinBsinC，∴
12sinBsinC?4sinAsinBsinC，∴sinA?.∵b2?c2?a2?8，∴
2b2?c2?a24383123cosA???，∴bc?，∴S?bcsinA?.
2bcbc23234.答案：
精选
三、解答题
1．（2018北京理）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=–
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求AC边上的高．
33π；(2) ． AC边上的高为23431?π?【解析】（1）在△ABC中，QcosB??，?B??,??，?sinB?1?cos2B?．
277??1． 71．【答案】（1）?A?由正弦定理得
ab783，?sinA?． ???2sinAsinBsinA437π?π??π?QB??,??，?A??0,?，??A?．
3?2??2?3?1?14333?（2）在△ABC中，QsinC?sin?A?B??sinAcosB?sinBcosA? ??????．
2?7?2714如图所示，在△ABC中，QsinC??AC边上的高为3333h，h?BC?sinC?7?， ?142BC33． 2
2．（2018天津理）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA?acos(B?).
（I）求角B的大小；
（II）设a=2，c=3，求b和sin(2A?B)的值.
33π；（2）b?7，sin?2A?B??．
143ab【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理，可得bsinA?asinB， ?sinAsinBπ?π???又由bsinA?acos?B??，得asinB?acos?B??，
6?6???π??即sinB?cos?B??，可得tanB?3．
6??π又因为B??0,π?，可得B?．
3π（2）在△ABC中，由余弦定理及a?2，c?3，B?，
3有b2?a2?c2?2accosB?7，故b?7．
3π?2?由bsinA?acos?B??，可得sinA?．因为a?c，故cosA?．
6?77??62．【答案】（1）
精选
431，cos2A?2cos2A?1?， 774311333所以，sin?2A?B??sin2AcosB?cos2AsinB?． ????727214
3．（2018全国新课标Ⅰ理）在平面四边形ABCD中，?ADC?90o，?A?45o，AB?2，BD?5.
（1）求cos?ADB；
因此sin2A?2sinAcosA?（2）若DC?22，求BC.
3.答案：（1）解答：
23；（2）5. 5
（1）在?ABD中，由正弦定理得：
522?,∴sin?ADB?, osin45sin?ADB523∵?ADB?90o,∴cos?ADB?1?sin2?ADB?. 5（2）?ADB??BDC?,∴cos?BDC?cos(??ADB)?sin?ADB， 22?DC2?BD2?BC2∴cos?BDC?cos(??ADB)?sin?ADB,∴cos?BDC?,
22?BD?DC28?25?BC2?∴.∴BC?5. 52?5?22??
精选