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经典题（一）
1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO． 求证：CD＝GF．（初二）
证明：过点G作GH⊥AB于H，连接OE ∵EG⊥CO，EF⊥AB
∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E、G、O、F四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG
∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO∽△FHG ∴
EOGO= FGHG∵GH⊥AB，CD⊥AB ∴GH∥CD
GOCO ?HGCDEOCO∴ ?FGCD∴
∵EO=CO ∴CD=GF
2、已知：如图，P是正方形ABCD内部的一点，∠PAD＝∠PDA＝15°。 求证：△PBC是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15°
∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA，AP=AP ∴△MAP≌△BAP
∴∠BPA=∠MPA，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD，MP=CP ∵∠PAD＝∠PDA＝15°
∴PA=PD，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD
∴△BAP≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD
∵∠BPA=∠MPA，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75°
∴∠BPC=360°-75°×4=60°
∵MP=BP，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC是正三角形 精品文档
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3、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN
于E、F．
求证：∠DEN＝∠F．
证明:连接AC，取AC的中点G,连接NG、MG ∵CN=DN，CG=DG ∴GN∥AD，GN=
1AD 2∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM，AG=CG ∴GM∥BC，GM=
1BC 2∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM
∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F
经典题（二）
1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M． （1）求证：AH＝2OM；
（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二） 证明：（1）延长AD交圆于F，连接BF，过点O作OG⊥AD于G ∵OG⊥AF ∴AG=FG ⌒ =AB⌒ ∵AB
∴∠F=∠ACB
又AD⊥BC，BE⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD
∴BH=BF又AD⊥BC ∴DH=DF
∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH）=2GD 又AD⊥BC，OM⊥BC，OG⊥AD ∴四边形OMDG是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB、OC
∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC，OM⊥BC ∴∠BOM=
1∠BOC=60°∴∠OBM=30° 2∴BO=2OM
由（1）知AH=2OM∴AH=BO=AO 精品文档
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2、设MN是圆O外一条直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E，连接CD并延长交MN于Q，连接EB并延长交MN于P. 求证：AP＝AQ．
证明：作点E关于AG的对称点F，连接AF、CF、QF ∵AG⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°
又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF
∵E、F、C、D四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF⊥AG，PQ⊥AG ∴EF∥PQ
∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE
∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF 在△AEP和△AFQ中 ∵∠PAF+∠QAF=180° ∠AFQ=∠AEP ∴∠FCQ=∠QAF AF=AE ∴F、C、A、Q四点共圆 ∠QAF=∠PAE ∴∠AFQ=∠ACQ ∴△AEP≌△AFQ 又∠AEP=∠ACQ ∴AP=AQ ∴∠AFQ=∠AEP
3、设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q． 求证：AP＝AQ．（初二）
证明：作OF⊥CD于F，OG⊥BE于G，连接OP、OQ、OA、AF、AG ∵C、D、B、E四点共圆 ∴∠B=∠D，∠E=∠C ∴△ABE∽△ADC ∴
ABBE2BGBG ???ADDC2FDDF∴△ABG∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN， ∴OA⊥MN 又OG⊥BE，
∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O、A、Q、E四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP
又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA ∴△OAQ≌△OAP ∴AP=AQ 精品文档
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4、如图,分别以△ABC的AB和AC为一边,在△ABC的外侧作正方形ABFG和正方形ACDE，点O是DF的中点，OP⊥BC
求证：BC=2OP（初二）
证明：分别过F、A、D作直线BC的垂线，垂足分别是L、M、N ∵OF=OD，DN∥OP∥FL ∴PN=PL
∴OP是梯形DFLN的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG是正方形
∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL
又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL≌△ABM ∴FL=BM
同理△AMC≌△CND ∴CM=DN
∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP
经典题（三）
1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F． 求证：CE＝CF．（初二）
证明：连接BD交AC于O。过点E作EG⊥AC于G ∵ABCD是正方形 ∴BD⊥AC又EG⊥AC ∴BD∥EG又DE∥AC ∴ODEG是平行四边形 又∠COD=90° ∴ODEG是矩形 ∴EG=OD=
111BD=AC=AE 222∴∠EAG=30°
∵AC=AE
∴∠ACE=∠AEC=75° 又∠AFD=90°-15°=75°
∴∠CFE=∠AFD=75°=∠AEC ∴CE=CF 精品文档