常见函数值域的求解类型和方法：

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(1)配方法是求“二次函数类”值域的基本方法,形如F(x)=af(x)+bf(x)+c的函数的值域问题,均可使用配方法.

(2)函数解析式中含有根式,并且根式内x的次数与根式外的x的次数相同,可用一个新的变量来替代根式,而根式外的x也可以用这个新的变量表示出来,这样就可将原函数表示成这个新变量的一个二次函数形.我们把这种求函数值域的方法叫做“换元法”，形如y=ax+d±

bx?c(ab≠0)的函数均可用“换元法”求值域.需要注意的是换元后的变量的取值范围.

cx?d(c≠0,bc≠ad)可以将其分解成一个常数与一个分式的和或差的形式,并

ax?b11且分式的变量x只在分母中,又因为反比例函数y=及其相应的形式y=的值域为

xax?b(3)形如y=

{y|y≠0},所以这种函数的值域就是不等于此常数的所有实数.我们通常称这种求值域的方

法为“分离常数法”.

a1x2?b1x?c1(4)形如y=(a1、a2不同时为零)的函数,可把函数转化成关于x的二次方2a2x?b2x?c2程F(x,y)=0,通过方程有实根,判别式Δ≥0,从而求得原函数的值域.注意事项:函数定义域应为R(或有有限个断点)，分子、分母没有公因式. ●案例6

在求解下列函数的值域后，你能有什么启发吗？

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（1）y=x+4x-2,x∈R;

2

（2）y=x+4x-2,x∈［-5,0］;

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（3）y=x+4x-2,x∈［-6,-3］;

2

（4）y=x+4x-2,x∈［0,2］.

【探究】 这些函数都是二次函数且解析式都相同,但是各自函数的定义域都是不同的,应该通过“配方”借助于函数的图象来求其函数.

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（1）配方,得y=(x+2)-6,由于x∈R,故当x=-2时,y min=-6,无最大值,所以值域是［-6,+∞).

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（2）配方,得y=(x+2)-6,因为x∈［-5,0］,所以当x=-2时,y min=-6,当x=-5时,ymax=3. 故函数的值域是［-6,3］.

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（3）配方,得y=(x+2)-6,因为x∈［-6,-3］, 所以当x=-3时,y min=-5,当x=-6时,y max=10. 故函数的值域是［-5,10］.

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（4）配方,得y=(x+2)-6,

因为x∈［0,2］,所以当x=0时,y min=-2; 当x=2时,y max=10.

故函数的值域是［-2,10］.

【溯源】 上述四个题目相同但所给的区间不同,最后得到的值域也不同,主要是由于二次函数在不同区间上的单调性不同而产生的,因此在求二次函数值域时一定要考虑函数是针对哪一个区间上的值域和此时图象是什么样子. 1.2.2 1.

主要有三种常用的表示方法，即解析法、列表法和图象法．

（1）解析法：把一个函数用一个式子表示，这种表示函数的方法叫做解析法.

（2）列表法：把两个变量的一系列对应值列成一个表，这种表示方法叫做列表法. （3）图象法：把两个变量之间的关系用图象表示，这种方法叫做图象法. 疑难疏引 用解析式表示函数关系的优点：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质.中学里研究的函数主要是用解析式表示的函数.缺点：有些函数很难用解析式表示.

用列表法表示函数关系的优点：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值.缺点：函数解析式的体现有时不明显.

用图象法表示函数关系的优点：能直观形象地表示出函数的变化情况，更能体现数形结合的思想.缺点：变量的值依赖于图象的精度，不利于精确计算.

由于函数关系的三种表示方法各具特色，优点突出，但大都存在着缺点，不尽如人意，所以在应用中本着物尽其用、扬长避短、优势互补的精神，通常表示函数关系是把这三种方法结合起来运用，先确定函数的解析式，即用解析法表示函数；再根据函数解析式，计算自变量与函数的各组对应值，列表；最后是画出函数的图象. ●案例1

小刚离开家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，跑累了再走余下的路程.在下图所示中，纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图象中较符合小刚走法的是( )

【探究】 首先审清题意，特别是横、纵两轴的含义.纵轴表示离校的距离，所以排除A、C，在B、D中选择答案.由于开始时是跑步前进，所以同一时间内，位置变化大，所以选择D. 【溯源】 实际应用问题是高考考查的重点也是难点，解决此类问题要特别重视实际变量和函数变量之间的对应关系，尤其是图象题经常用直观感觉判断. 2.分段函数

疑难疏引 有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则也不同，这样的函数通常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数是一个函数，在画图象时必须分段画，尤其需注意特殊点，在解决这部分题目时要注意分段定义函数作为一个整体与构成它的局部之间的关系.主要是指根据定义域的分段而产生不同的函数关系式. ●案例2

用分段函数表示f(x)=|x-1|，并求f(0)、f(-2)、f(3)．

【探究】 函数f(x)=|x-1|是一个分段函数,欲求f(0)、f(-2)、f(3),只需观察0、-2、3这三个自变量对应的是此函数的哪一段,从而代入求值. 【答案】 ∵f(x)=??x?1,x?1

?1?x,x?1∴f(0)=1，f(-2)=1-(-2)=3，f(3)=3-1=2.

【溯源】 求分段函数的有关函数值的关键是分段归类,即自变量的取值属于哪一段,就用哪一段的解析式.一般分段函数的问题经常画出函数的图象，应用图象特征解决问题.同时要注意分类讨论思想的应用. 2.映射的概念

映射f∶A→B的定义是：设A、B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射. 疑难疏引

（1）映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等. （2）映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不一样的.

（3）映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应，而这个与之对应的元素是唯一确定的，这种集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心.

（4）映射允许集合B中存在的元素在A中没有元素与其对应.

（5）映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的对应元素，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”.

（6）函数是一种特殊的映射，定义域集合和函数值域集合都是非空的数集；但映射中的两个集合A和B可为任何集合，如人、物、数等. ●案例3

下列对应是不是从集合A到集合B （1）A=R，B={x∈R|x≥0} （2）A=R，B={x∈R|x＞0} （3）A={x∈R|x＞0}，B=R

（4）A={平面α内的圆}，B={平面α内的矩形}，对应法则是“作圆的内接矩形”.

【探究】 只有（1）是映射，因为A中的任何一个元素，在B中都能找到唯一的元素与之对应.

（2）不是从集合A到集合B的映射.因为A中的元素0，在集合B中没有象. （3）不是从集合A到集合B的映射.因为任何正数的平方根都有两个值，即集合A中的任何元素，在集合B中都有两个元素与之对应，象不唯一. （4）不是从集合A到集合B的映射.因为一个圆有无穷多个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应，象不唯一. 【答案】 （1）是；（2）不是；（3）不是；（4）不是.

【溯源】 对于一个A到B的对应，A中的任何一个元素都对应B中的唯一一个元素，或A中的多个元素对应B中的一个元素，这样的对应都是映射，而A中的一个元素对应B中的多个元素的对应就不是映射. 可以简单地说：“一对一”“多对一”的对应是映射，“一对多”的对应不是映射. 活学巧用

1. 下列各组函数中，表示同一个函数的是( )

x2?1

A. y=x－1和y=

x?1

B. y=x和y=1

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C. f（x）=x和g（x）=（x+1）

0

x(2)2D. f（x）=和g（x）=

x(x)2

【思路解析】 看两个函数是否相同，主要看函数的定义域和对应法则.A选项中的两个函数

定义域不相同；B选项中的两个函数的定义域也不同；C选项中的两个函数的解析式不同；只有D选项中的两个函数对应法则相同，定义域也相同. 【答案】 D

2. 下列各组函数是否表示同一个函数? (1)f(x)=2x+1与g(x)=4x2?4x?1;

x2?x(2)f(x)=与g(x)=x-1;

x?t?1,(3)f(x)=|x-1|与g(t)= ?

1?t,??t?1, ?t?1;?(4)f(n)=2n-1(n∈Z)与g(n)=2n+1(n∈Z).

【思路解析】 对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.

【答案】 (1)g(x)=|2x+1|,f(x)与g(x)对应关系不同，因此是不同的函数. (2)f(x)=x-1(x≠0),f(x)与g(x)的定义域不同,因此是不同的函数.

?x?1,(3)f(x)=?

1?x,??x?1,f(x)与g(t)的定义域相同,对应关系相同,因此是相同的函?x?1,?数.

(4)f(n)与g(n)的对应关系不同,因此是不同的函数.

3. 在下列选项中，可表示函数y=f(x)的图象的只可能是( )

【思路解析】 判断一幅图象表示的是不是函数的图象，关键是在图象中能不能找到一个x对应两个或两个以上的y，如果一个x对应两个以上的y，那么这个图象表示的就不是函数的图象.

A的图象表示的不是函数的图象，∵存在一个自变量x的取值(如:x=0)有两个y与之对