不象归纳法那样局限于同类事物，也不象演绎法那样受到一般原理的严格制约。运用类比法，不仅可以跨越各类事物的界限，进行不同事物的类比，而且既可以比较事物的本质属性，也可以比较非本质属性。同时，类比法比归纳法更富于想象，因而也就更具有创造性。事实上，人类在科学研究中建立的不少假说和数学中许多重要的定理、公式都是运用类比提出来的，工程技术中许多创造和发明也是在类比法的启迪下而获得的。因此，类比法已成为人类发现发明的重要工具。

例如，数学家伯努里（1654—1705）为解决级数

1111????????????????? 2222123n的求和问题曾经大伤脑筋，他甚至公开悬赏征答，但一直无人问津。直到18世纪上叶，才由欧拉（1707—1783）给出了结果

1111?2 2?2?2????????2????????

6123n欧拉解决这一数学名题，就是运用了类比的方法。

类比法在数学问题解决中有启迪思路和触类旁通的作用。著名哲学家康德说过：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这种方法往往能指引我们前进。”当人们面临一个比较生疏或比较复杂的数学问题时，往往寻找一个比较熟悉或比较简单的问题作为类比对象（类比源），它或者可以提供一种解决问题的方法模式，或者可以为问题解决提供一种思考的途径，从而有助于问题的解决。

例28 解方程

32x?12x?110＋3＝.

32x?12x?1分析 已知方程是比较复杂的无理方程，用常规解法显然十分繁琐。注意到方程左边的两个根式互为倒数，右边的

1011可以写成3?，其中3与也互为倒数，于是取方程333111x??a?为类比源，这个方程的解显然为 x?a，或x?，由原方程得到 xaa 从而有

32x?1＝3，或 2x?1312x?1＝， 32x?12x?12x?11?27 或 ?， 2x?12x?12777解得 x1?， x2??. 检验可知，它们都是原方程的根。

1313例29 解方程组

?x?y?z?6? ?x2?y2?z2?14

?x3?y3?z3?36?①② ③

分析 显然，用代入法或加减法消元都比较繁琐，取方程组

?x?y?3 ?22

?x?y?5④ ⑤

作类比。由（④2－⑤）÷2得 xy?2，由韦达定理可知，x，y是方程

?x?1?x?2u2?3u?2?0的两个根，于是有? 和 ?.

y?1y?2??因为两个方程组的结构是类似的，因此可以按照这种思路求原方程的解。 解 由（①2－②）÷2得 xy?yz?zx?11，