例15 如图7，△OAB是一块三角形形状的木版，∠AOB＝90o，
OA＝6㎝，OB＝4㎝，在边AB上求一点P，作PC⊥OB，PD⊥OA，垂足分别是C，D，使得矩形OCPD的面积为最大，并求面积的最大值。
分析 对于这个问题，单纯由 图形的性质进行考察，或者单纯由 问题的数量关系进行考察，都很难 确定点P的位置。如果采用坐标法， 设P（x，y），则确定点P的位置问 题，就转化为求x与y的值的计算问题了。
解 建立如图7所示的坐标系，则A（6，0），B（0，4）。 由于直线AB过点B，因而可设其函数表达式为y?kx?4， 将点A的坐标（6，0）代入y?kx?4，得到 k??，
所以，直线AB的函数表达式为y??x?4. 设点P（x，y），则矩形OCPD的面积为 s?xy??x2?4x??(x?3)2?6, ∴ 当x?3时，S取得最大值6.
此时，y???3?4?2， AP＝AD2?PD2?(6?3)2?22?13,
∴ 当AP＝13㎝时，即当点P为AB的中点时，矩形OCPD的面积为最大，最大值
2323232323B C P（x，y） Y O D 图7
A X
为6㎝2.
数形结合是数学中十分重要的思想方法，其基本点在于把问题涉及的数（数量关系）与形（空间形式）结合起来考察。根据不同问题的不同特点，或者采用以数辅形，把图形性质问题转化为数量关系问题来研究，或者采用以形辅数，把数量关系问题转化为图形性质问题来处理，或者运用坐标法，把图形的性质与数量关系作综合考察，从而把复杂问题简单化，把抽象问题具体化，达到化难为易的目的。
（五）分类思想
当面临的数学问题不能以统一的形式进行解决时，可以把已知条件涉及的范围分解为若干子集，在各个子集内分别研究问题局部的解，然后通过组合各局部的解而得到原问题的解答，这就是分类思想。
在初等数学中，研究解方程问题、不等式问题、函数单调性问题等，分类思想是一种行之有效的思想方法。运用分类讨论解决问题时，把已知条件涉及的集合进行科学的划分是十分必要的，必须遵循划分的规则，防止划分中的重复与遗漏。
例16 解方程 6x?3x?1??m2x.
解 在原方程中显然有x?0，于是原方程化为
6x?(1?3x)??m2x,
9x?1??m2x,1?9x??mx,(9?m2)x?1.2
下面进行分类讨论：
（1）当m??3时方程无解；
1?0，由于应有x?0，故舍去； 9?m21?0，此为原方程的解。 （3）当m??3或m?3时x?9?m21 ∴ 原方程仅在m??3 或 m?3时有解 x?. 29?m （2）当?3?m?3时x?一般来说，研究含有绝对值的方程都要运用分类思想。 例17 求函数 y?(?k)x2?(k?3)x? 的图像与x轴的交点。
分析 由于已知函数可能是一次函数，也可能是二次函数，所以必须运用分类思想。 解 （1）当 ?k＝0时，即k?时，已知函数为y??x?，这是一次函数，它的图像是一条直线，与x轴的交点为（1，0）；
（2）当 ?k≠0 ，即k?时，已知函数为二次函数，其图像是抛物线，其判别式为 ??(k?3)2?4(?k)??(k?2)2，
当 k?2时，??0，这时函数图像与x轴交点的纵坐标y应满足 (?2)x2?(2?3)x??0， 即x2?x??0， 解得 x1?x2?1，这时函数图图像与x轴的交点为（1，0）；
当k?2时，?＞0，由方程 (?k)x2?(k?3)x??0 得到 x??(k?3)?(k?2)1， 从而有 x1?1， x2?，
5?2k5?2k52125212121252125252525212125212
这时函数图像与x轴的交点为（1，0）与（
1，0）. 5?2k∴ 当k?2 时，函数图像与x轴有唯一的交点（1，0）； 当k? 且k?2 时，函数图像与x轴有（1，0）和（
52521，0）两个不同的交点。 5?2k在例2中，首先按照 ?k 的值是否为0进行分类讨论，在（2）中又针对 k?2 和
k?2 两种情况进一步进行分类讨论，两次运用了分类思想。
一般来说，对于含有参数的方程的讨论，常常要运用分类思想。
例18 ⊙O的半径为5㎝，AB，CD是⊙O的两条弦，AB＝6㎝，CD＝8㎝㎝，求AB与
CD的距离。
ACFOCODEBDAEBF
图8（1）
图8（2）
分析 如图8，符合题意的图形有（1）（2）两种，在这两种情况下问题的解法与答案是不同的，因而必须运用分类思想。
解 （1）如图8（1）所示，当弦AB，CD位于圆心O的同侧时，过点O作AB的垂线交AB于点E，交CD于点F，连接OB，OD .
由AB∥CD 和 OE⊥AB可知， OF⊥CD .