二、释疑拓展
c331
1．【解】（1）离心率e＝＝，所以c＝a，b＝a2－c2＝a，
a22222xy
所以椭圆C的方程为2＋2＝1．
4bb83169
因为椭圆C经过点P(，)，所以2＋＝1，
5525b25b2x22
所以b＝1，所以椭圆C的方程为＋y＝1．
4
2
2()2
22524
（2）解法一 设N(n，0)，当l斜率不存在时，A(，y)，B(，－y)，则y2＝1－＝，
55425244→→224
则NA?NB＝(－n)2－y2＝(－n)2－＝n2－n－，
555525→→当l经过左?右顶点时，NA?NB＝(－2－n)(2－n)＝n2－4． 44
令n2－n－＝n2－4，得n＝4．
55
→→2
下面证明当N为(4，0)时，对斜率为k的直线l：y＝k(x－)，恒有NA?NB＝12．
5设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x22
＋y＝1，41616由消去y，得(4k2＋1)x2－k2x＋k2－4＝0，
2525y＝k(x－)，5
???
162162
kk－4525
所以x1＋x2＝2，x1x2＝2，
4k＋14k＋1→→所以NA?NB＝(x1－4)(x2－4)＋y1y2 22
＝(x1－4)(x2－4)＋k2(x1－)(x2－) 55
24
＝(k2＋1)x1x2－(4＋k2)(x1＋x2)＋16＋k2
525162162
k－4k2522542
＝(k＋1)2－(4＋k)2＋16＋k2
54k＋1254k＋1161624
(k2＋1)(k2－4)－k2(4＋k2)＋k2(4k2＋1)
255525
＝＋16
4k2＋1
－16k2－4＝＋16＝12．
4k2＋1
→→所以在x轴上存在定点N(4，0)，使得NA?NB为定值．
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2
解法二 设N(n，0)，当直线l斜率存在时，设l：y＝k(x－)，
5设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x22
＋y＝1，416216222由消去y，得(4k＋1)x－kx＋k－4＝0， 2525y＝k(x－)，
5
???
162162
kk－4525
所以x1＋x2＝2，x1x2＝2，
4k＋14k＋1
→→22
所以NA?NB＝(x1－n)(x2－n)＋y1y2＝(x1－n)(x2－n)＋k2(x1－)(x2－)
5524
＝(k2＋1)x1x2－(n＋k2)(x1＋x2)＋n2＋k2
525162162
k－4k2522542
＝(k＋1)2－(n＋k)2＋n2＋k2
54k＋1254k＋1161624
(k2＋1)(k2－4)－k2(n＋k2)＋k2(4k2＋1)
255525
＝＋n2 24k＋11616
(－n－)k2－4
55＝＋n2． 24k＋1
16161616(－n－)k2－4(－n－)k2－4
5555→→若NA?NB为常数，则为常数，设＝λ，λ为常数，
4k2＋14k2＋11616
则(－n－)k2－4＝4λk2＋λ对任意的实数k恒成立，
55??－16n－16＝4λ，→→5所以?5所以n＝4，λ＝－4，此时NA?NB＝12． ??－4＝λ，2
()2
22524
当直线l斜率不存在时，A(，y)，B(，－y)，则y2＝1－＝，
554252→→224
所以NA?NB＝(－4)2－y2＝(－4)2－＝12，
5525→→所以在x轴上存在定点N(4，0)，使得NA?NB为定值．
9??182?a2?27,?1,???2．【解】：（1）由已知，得?a2b2 解得?227
?b?.?99?2?2?2?1,b?a第 6 页 共 14 页
x2y2??1． 所以椭圆的标准方程为
27272（2）设点C(m,n)(m?0,n?0)，则BC中点为(m?3n?3,)． 22 由已知，求得直线OA的方程为x?2y?0，从而m?2n?3．① 又∵点C在椭圆上，∴m2?2n2?27．②
由①②，解得n?3（舍），n??1，从而m??5． 所以点C的坐标为(?5,?1)． （3）设P(x0,y0)，M(2y1,y1)，N(2y2,y2)． ∵P,B,M三点共线，∴∵P,C,N三点共线，∴
3(y0?x0)y1?3y0?3，整理，得y1?． ?2y1?3x0?3x0?2y0?3y?15y0?x0y2?1，整理，得y2?． ?02y2?5x0?5x0?2y0?3∵点C在椭圆上，∴x02?2y02?27，x02?27?2y02．
3(x02?5y02?6x0y0)3(3y02?6x0y0?27)39??3??． 从而y1y2?2x0?4y02?4x0y0?92y02?4x0y0?1822所以OM?ON?5y1y2?45． 245． 2∴OM?ON为定值，定值为
63x2y2??1；（2）3．答案：（1）；（3）存在定值，2，理由略.
562 解析：（1）由
c622?，设a?3k(k?0)，则c?6k，b?3k， a3x2y2所以椭圆C的方程为2?2?1，因直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点，即
9k3kxA?xB?6k，代入椭圆方程，解得y??k，于是2k?x2y2??1 所以椭圆C的方程为62266，即k?， 33x2y2??1，解得y??1，因点A在第一象限，从而A(3,1)， （2）将x?3代入62第 7 页 共 14 页
由点E的坐标为(3223,0)，所以kAB?，直线AB的方程为y?(x?)， 223337,?)， 55联立直线AB与椭圆C的方程，解得B(?又PA过原点O，于是P(?3,?1)，PA?4，所以直线PA的方程为x?3y?0，
?所以点B到直线PA的距离h?373?552?33， 5故S?PAB?13363?4?? 255（3）假设存在点E，使得
11为定值，设E(x0,0)， ?22EAEB12?2x021111当直线AB与x轴重合时，有， ????EA2EB2(x0?6)2(6?x0)2(6?x02)2当直线AB与x轴垂直时，
11??22EAEB2x022(1?)6?6， 26?x0612?2x026?2， 由，解得，?x??306?x02(6?x02)26?x02所以若存在点E，此时E(?3,0)，
11为定值2. ?EA2EB2根据对称性，只需考虑直线AB过点E(3,0)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)， 又设直线AB的方程为x?my?3，与椭圆C联立方程组，学科网
22化简得(m?3)y?23my?3?0，所以y1?y2??23m?3，， yy?1222m?3m?3又
1111???， 22222222EAmy1?y1(m?1)y1(x1?3)?y1(y1?y2)2?2y1y21111所以， ????EA2EB2(m2?1)y12(m2?1)y22(m2?1)y12y22将上述关系代入，化简可得
11??2. 22EAEB第 8 页 共 14 页