2011年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（全国卷Ⅰ）

19.（本小题满分12分）

某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

A配方的频数分布表 指标值分组 频数 [90,94） 8 [94,98） 20 [98,102） 42 [102,106） 22 [106,110） 8 B配方的频数分布表 指标值分组 频数 [90,94） 4 [94,98） 12 [98,102） 42 [102,106） 32 [106,110） 10 （Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；

??2,t?94?（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为y??2,94?t?102 ,

?4,t?102?从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）

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20.（本小题满分12分）

uuuruuruuuruuuruuuruur 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA， MA?AB?MB?BA，

M点的轨迹为曲线C. （Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值.

21.（本小题满分12分）

已知函数f(x)?alnxx?1?bx，曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x?2y?3?0. （Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）如果当x?0，且x?1时，f(x)?lnxx?1?kx，求k的取值范围.

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2011年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（全国卷Ⅰ）

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，D，E分别为?ABC的边AB，AC上的点，且的顶点重合.已知AE的长为n，AD，AB的长是关于x的方

不与?ABC程

x2?14x?mn?0的两个根.

（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；

（Ⅱ）若?A?90?，且m?4,n?6，求C，B，D，E所在圆的半径.

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2011年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（全国卷Ⅰ）

23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为??x?2cos?（?为参数）

y?2?2sin??M是C1上的动点，P点满足OP?2OM,P点的轨迹为曲线C2 (Ⅰ)求C2的方程

(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线??uuuvuuuv?与C1的异于极点的交点为A，与C2的异

于极点的交点为B，求AB.

24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

设函数f(x)?x?a?3x,其中a?0.

（Ⅰ）当a?1时，求不等式f(x)?3x?2的解集； （Ⅱ）若不等式f(x)?0的解集为?x|x??1? ，求a的值.

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