在题意要求下，应取 H(s)?Kts 此时，闭环特征方程为：

2s2?(2??KKt?n)?ns??n?0

令： 2??KKt?n?2?1，解出，Kt?2(?1??)/K?n

故反馈通道传递函数为：

H(s)?2(?1??)s

K?n 解毕。

例3-15 系统特征方程为

s6?30s5?20s4?10s3?5s2?20?0

试判断系统的稳定性。

解 特征式各项系数均大于零，是保证系统稳定的必要条件。上述方程中s一次项的系数为零，故系统肯定不稳定。解毕。

例3-16 已知系统特征方程式为

s4?8s3?18s2?16s?5?0

试用劳斯判据判断系统的稳定情况。

解 劳斯表为

s4 1 18

5 s3 8 16

0 s2 8?18?1?168?5?1?0?16 ?5 8816?16?8?5s1 ?13.5 0

16

?

s0

13.5?5?16?0?5

13.5由于特征方程式中所有系数均为正值，且劳斯行列表左端第一列的所有项均具有正号，满足系统稳定的充分和必要条件，所以系统是稳定的。解毕。

例3-17 已知系统特征方程为

s5?s4?2s3?2s2?3s?5?0

试判断系统稳定性。

解 本例是应用劳斯判据判断系统稳定性的一种特殊情况。如果在劳斯行列表中某一行的第一列项等于零，但其余各项不等于零或没有，这时可用一个很小的正数ε来代替为零的一项，从而可使劳斯行列表继续算下去。 劳斯行列式为

s5 1 2 3 s4 1 2 5 s3 ??0 ?2 s2

12??2? 5

?4??4?5?2s

2??2s0 5

由劳斯行列表可见，第三行第一列系数为零，可用一个很小的正数ε来代替；第四行第一列系数为（2ε+2/ε，当ε趋于零时为正数；第五行第一列系数为（－4ε－4－5ε）/（2ε+2），当ε趋于零时为?2。由于第一列变号两次，故有两个根在右半s平面，所以系统是不稳定的。

解毕。

例3-18 已知系统特征方程为

2

?

s6?2s5?8s4?12s3?20s2?16s?16?0

试求：（1）在s右半平面的根的个数；（2）虚根。

解 如果劳斯行列表中某一行所有系数都等于零，则表明在根平面内存在对原点对称的实根，共轭虚根或（和）共轭复数根。此时，可利用上一行的系数构成辅助多项式，并对辅助多项式求导，将导数的系数构成新行，以代替全部为零的一行，继续计算劳斯行列表。对原点对称的根可由辅助方程（令辅助多项式等于零）求得。 劳斯行列表为

s6 1 8 20 16 s5 2 12 16 s4 2 12 16 s3 0 0

由于s行中各项系数全为零，于是可利用s行中的系数构成辅助多项式，即

34P(s)?2s4?12s2?16

求辅助多项式对s的导数，得

dP(s)?8s3?24s s原劳斯行列表中s行各项，用上述方程式的系数，即8和24代替。此时，劳斯行列表变为

s 1 8 20 s 2 12 16

563

s4 2 12 16 s3 8 24 s2 6 16

?

s1

s0 16

新劳斯行列表中第一列没有变号，所以没有根在右半平面。 对原点对称的根可解辅助方程求得。令

2s4?12s2?16?0

得到

s??j2和s??j2

解毕。

例3-19 单位反馈控制系统的开环传递函数为

G(s)?K

s(as?1)(bs2?cs?1)试求： （1）位置误差系数，速度误差系数和加速度误差系数；

（2）当参考输入为r?1(t)，rt?1(t)和rt?1(t)时系统的稳态误差。

解 根据误差系数公式，有

位置误差系数为

Kp?limG(s)?lims?02s?0K?? 2s(as?1)(bs?cs?1)速度误差系数为

Kv?limsG(s)?lims?s?0s?0K?Ks(as?1)(bs2?cs?1)

加速度误差系数为

Ka?lims2G(s)?lims2?s?0s?0K?02s(as?1)(bs?cs?1)

对应于不同的参考输入信号，系统的稳态误差有所不同。

参考输入为r?1(t)，即阶跃函数输入时系统的稳态误差为

?